20 投影與視圖(課程講義例題練習)

投影與視圖知識講解【習標1.在觀察、操作、想象等活動中強對空間物體的把握和理解能力；2.通過實例了解中心投影與平行影；3.會畫直棱柱、圓柱、圓錐和球三種視圖；4.能根據(jù)三種視圖描述簡單的幾.【點理要一投投現(xiàn)物體在光線的照射下，會在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投現(xiàn).影所在的平面為投影.中投手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影稱為中心投影相應地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時如圖1所，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點源遠的物體它的影子.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還.在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位.要詮：光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩.平行投1.平行投影的定義太陽光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱行影相應地，我們會得到兩個結(jié)論：①等高的物體垂直地面放置時，如圖1示，在太陽光下，它們的影子一樣.②等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長.

2.物高影長的關(guān)系①在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東→東，影長也是由長變短再變長.②在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比.即：.利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度.注：用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻影要詮：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生.利平行投影知識解題要分清不同時刻和同一時刻2．物體與影子上的對應點的連線是平行的就說明是平行光.、正影如圖所示，圖(中投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影圖2)中投線斜著射投影面(中投影線垂直照射投影(即投影線正對著投)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影.圖3)樣，當平行光線與投影面垂直時，這種投影稱投.要詮：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投.要二中投與行影區(qū)與系區(qū)別：（1）太陽光線是平行的，故太光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例（2）同一時刻，太陽光下影子方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影通的平行光線有太陽光線光等而中心投影是從一點發(fā)出的光線所形成的投影通常狀下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發(fā)射出來的光.（2）在平行投影中，同一時刻變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變.在心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變.要詮：在解決有關(guān)投影的問題時必須先判斷準確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特進一步解決問題.

要三視三視圖（1）視圖用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體視圖（2）三視圖在實際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個不同方向觀察一個物體，分別得到這物體的三個視圖通常們把從正面得到的視圖叫做主視，從面得到的視圖叫做左視，從面得到的視圖叫做俯圖主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視三視圖間關(guān)（1）位置關(guān)系一般地，把俯視圖畫在主視圖下面，把左視圖畫在主視圖右面，如(1)所.（2）大小關(guān)系三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，視圖與俯視圖的寬相等的原.如(2)示要詮：三視圖把物體的長、寬、高三個方面反映到各個視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長和高俯視圖反映物體的長和寬視反映物體的高和寬住些特征能為畫物體的三視圖打下堅實的.畫幾何的視畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖長對(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖高平俯視圖寬相”幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線要畫成虛.要詮：畫一個幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結(jié)；最后，三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視.由三視想幾體形由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖.要詮：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長、寬、高；根實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)記一些簡單的幾何體的三視圖會對復雜幾何體的想象幫

助；利由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復練習，不斷總結(jié)方.【型題類一投的圖計1．如何才能使如圖所示的兩棵在同一時刻的影長分別與它們的原長相等，試畫圖說明．【答案與解析】(1)如圖所示．可在同一方向上出與原長相等的影長，此時為平行投影．(2)如所示，可在兩樹外側(cè)不同方向上畫出與原長相等的影子，連結(jié)影子的頂點與樹的頂點．交于點．此時為中心投影，點即光源位置．【總結(jié)升華連結(jié)物體頂點與其影長的頂點如果得到的是平行線即平行投影如得到相交直線，則為中心投影，這是判斷平行投影與中心投影的方法，也是確定中心投影光源位置的基本做法但若中心投影光源在兩樹同側(cè)時，圖中的兩棵樹的影長不可能同時與原長相等，所以點光源可以選在樹之間．特別提醒：易錯認為只有平行投影才能使兩棵樹在同一時刻的影長分別與它們的原長相等從而漏掉上圖這一情形．舉反：【變】一盞路燈相對，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花一棵樹AB．晚上，幕墻反射路燈，燈光形成那盆花的影子DF樹影BE是路燈燈光直接形成的，如圖所示，你能確定此時燈光源的位置嗎【答案作法如下：①連結(jié)FC并延長交玻璃幕墻于點；②過點作線OG垂直玻璃幕墻面；

③在另一作POG＝∠FOG交EA延長于點．P點即此時路燈光源位置，如圖示．2.（·鹽城校級模擬）如圖，小與同學合作利用太陽光線測量旗桿的高度，身高的小明落在地面上的影長為BC=2.4m（1）請你在圖中畫出旗桿在同一時刻光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明測得此刻旗桿落在地面的長EG=16m，請求出旗桿DE的度．【思路點撥】（1）連結(jié)AC過D點作DGAC交于G點則GE為求；（2）先證明eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC△，后利用相似比計算DE的長．【答案與解析】解）子EG如所示；（2DGAC，G=，eq\o\ac(△,)ABC△RtDGE，

=

，即

=

，解得

，旗的高度為

．【總結(jié)升華】本題考查了平行投，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．舉反：

【變】圖，小亮利用所學的數(shù)學知識測量某旗桿AB的高．（1請你根據(jù)小亮在陽光下的影，畫出旗桿AB在光下的投影．（2已知小亮的身高為1.72m在同一時刻測得小亮和旗桿AB的影長分別為0.86m和6m，求桿AB的高．【答案解）如圖所示：（2如圖，因為，AB都直地面，且光線DF∥AC，所以eq\o\ac(△,Rt)DEF∽Rteq\o\ac(△,，)ABC所以

DE

，即

1.720.866

，所以AB=12（m答：旗桿AB的高12m．類二三圖3．如圖，分別從正面、左面、面觀察該立體圖形，能得到什么平面圖形．【答案與解析】從正面看該幾何是三角形，從左面看該幾何體是長方形，從上面看該幾何體是一長方形中帶一條豎線．如圖：

【總結(jié)升華】本題考查了幾何體三視圖的判斷．舉反：【變】圖，畫出這些立體圖形的三視圖．【答案）如圖：（2）如圖：（3）如圖：

（4）如圖：4州校級月考圖是由個小立方體所搭幾何體的俯視圖小正方形中的數(shù)字表示該位小立方體的個數(shù)，請畫出這個幾何體的主視圖和左視圖．【思路點撥】由已知條件可知，視圖有，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為，2，左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為，3．據(jù)此可畫出圖形．【答案與解析】解：如圖所示：【總結(jié)升華本考查幾何體的三視圖畫法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．類三三圖有計5．某工廠要對一機器零件表面行噴漆，設(shè)計者給出了該零件的三視(如圖所示，你根據(jù)視圖確定其噴漆的面積．

【思路點撥】首先要根據(jù)立體圖的三視圖，想象出物體的實際形狀，然后再計算表面.【答案與解析】解：長方體的表面積(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm，圓柱體的側(cè)面積為3.14×20×32＝2010(cm)其噴漆的面積為5900+2010＝7910(cm)．【總結(jié)升華由機械零件的三視圖，可想象它是一個組合體，是由一個長方體和一個圓柱體組．其表面積是一個長方體的六個面與圓柱體的側(cè)面構(gòu)成．圓柱的上表面補在長方體的上表面被圓柱體遮擋的部)該組合體是由一長方與一圓柱體組合而成，但不能認為組合體的表面積就是兩幾何體的表面積之和．舉反：【變】某體的三視圖如圖：（1）此物體是什么體；（2）求此物體的全面積．【答案】解）根據(jù)三視圖的知識，主圖以及左視圖都為矩形，俯視圖是一個圓，故可判斷出該幾何體為圓柱．（2根據(jù)圓柱的全面積公式可20π×40+2×π×10=1000．

投影與視—鞏固練習【固習一選題1.如所示，身高為1.6米某學生想測量學校旗桿的高度，當他站在C處時他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測得AC＝2.0米BC＝8.0米，則旗桿的高度是)A．6.4米B米C．8.0米．9.02淄模擬）下列圖形中，示兩棵小樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是（）A

B

C．

D．3．有一正方體，六個面上分別有數(shù)字、2、4、5、6有三個人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記6的面的數(shù)字為a，2對面的數(shù)字為，那么a+b的值為)ABC4．如圖所示是一個幾何體的實圖，則其主視圖是(5．如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C時，測得影子CD的為米，續(xù)往前走3米達E處，測得影子EF的為2米已知王華的身高是1.5，那么路燈A的度AB等于)A．4.5米B．6米C．7.2米．8第5題

第6題6．由n個同小正方體堆成的幾何體，其視圖如圖所示，則n的大值是)A．1813C．21

二、填空題7．如圖所示上體育課，甲、乙名同學分別站在C、D位置時，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲、乙同學相距1米甲身高1.8，乙身高米，則甲的影長是________米第7題

第8題8．如圖所示，小明在時得樹的影長為2m，B又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光互相垂直，則樹的高度為________m9．圖，四個幾何體中，它們自的三個視圖（主視圖、左視圖和俯視圖）有兩個相同，而另外一個不同的幾何體是_____________寫序號）10牡江）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，如圖所示，則搭該幾何體的小正方體最多是個11.下是由兩個長方體組合而成的一個立體圖形的三視圖，根據(jù)圖中所標尺寸(位：mm)，算出這個立體圖形的表面積________mm12．如圖是一個由若干個正方體建而成的幾何體的主視圖與左視圖，那么下列圖形中可以作為該幾何體的俯視圖的序號是____________多填或錯填得分少填酌情給分

三解題13.明小麗在操場上玩耍，小麗突然高興地對小明說到的‘腦袋’了圖表示此時小明和小麗的位置．（1請畫出此時小麗在陽光下影子；（2已小明身高為1.60m小明和小麗之間的距離為而小麗的影子長為1.75m求小麗的高．14石子校級月考畫出圖中的塊立方塊搭成幾何體的視圖、左視圖和俯視圖．（2）一個由幾個相同的小立方體搭成幾何體的俯視圖如右圖所示，方格里的數(shù)字表示該位置的小立方體的個數(shù)，請你畫出這個幾何體的主視圖和左視圖．15．學習投影后，小明、小穎利燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子長度的變化規(guī)律．如圖所示，在同一時間，身高為1.6m的小(AB)影子BC長3m，而小穎EH)剛好在燈燈泡的正下方H點并測得HB＝6m(1)請在圖中畫出形成影子的光，并確定路燈燈泡所在的位置G；求燈燈泡的垂直高度GH；如小明沿線段BH向穎點H)去，當小明走到中點B處，求其影子BC的；當小1繼續(xù)走剩下的路程的到B處影子的長明續(xù)走剩下路程的到B處3

按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當小明走剩下路程的

1n

到處，其影子n

nn

的長為_______m(直接用含的數(shù)式表)．【案解】一選題1.【答案】C；【解析】由題意得，

該學生的身高AC1.6，即旗桿的高度旗桿高8.0

，∴旗的高度為8.0米．2.【答案】A；【解析A影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子故本選項正確；B影子的方向不相同，故本選項錯誤；C、子的方向不相同，故本選項錯誤；D、同高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項錯誤．故選A3.【答案】B；【解析】可在一小正方體各個面上按圖示要求標上數(shù)字，也可發(fā)揮空間分析與想象力作出判斷a，b，．4.【答案】C；【解析】觀察一個物體，主視圖是從正面看到的圖形，本題中物體由上下兩個部分組成，上面物體從正面看到的是一個等腰梯形，下面是一個長方體，從正面看到的是一個長方形，再由上面的物體放置的位置特征可知選C5.【答案】B；【解析】如圖所示，⊥BC，AB，∴GC∥AB．∴eq\o\ac(△,∽)eq\o\ac(△,，)ABD∴

DBAB

．設(shè)BC＝x，

1．同理，得xx

．∴x．∴∴AB＝6．6.【答案】A；

11.53

．【解析】這道題在俯視圖上操作，參照主視圖從左到右，最左邊一列3層，每個方格上最大標3，中間一列有2層每個方格上最大標上2最右邊一列有3，每個方格上最大標上3，共計18，即n的大值是18(如圖．

二填題7案6；【解析】eq\o\ac(△,∽)AEDeq\o\ac(△,，)∴8案4；

BC，即．∴AD＝5．∴＝CD+AD＝6.ACADAD【解析】首先將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，如圖所示，已知EDF＝90°⊥EF于G，EG＝2，GF＝8，求DG．證△DEG∽eq\o\ac(△,，)∴

DGEGDG

．即DG＝2×8＝16∴DG＝4(m)．9案③④【解析】正方體的主視圖、