2020學(xué)年上海市寶山區(qū)高二下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題

—————教育源享步入識(shí)洋——————上海市寶山區(qū)高二下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1

的邊

上有一點(diǎn)D滿DCAD可表示為()．ADC．

ABAB5

BD．AD

ABAB【答案】D【解析】由【詳解】由題意可知

AD

，結(jié)合題中條件即可得解.ADABBD

4BCABAB5

.故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2l示直線，是平內(nèi)的任意一條直線，則l是l”成立的（）條件充要C.必要不充分

B.分不必要既不充分也不必要【答案】A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可?！驹斀狻恳?yàn)閙是平的任意一條直線，有任意性，lm由線面垂直的判斷定理，l

，所以充分性成立；反過(guò)來(lái)，l

m平的任意一條直線，lm金戈鐵騎

，所以必要性成

231515—————————教資共步入識(shí)洋—————立，231515故lm是l”成立的充要條件。故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的判斷，意在考查考生對(duì)基本概念的掌握情況。3已知單位向,的夾角，則為（）等腰三角形

B.等邊三角形C.直角三角形等腰直角三角形【答案】C【解析】OCOAOB,OCOAOB，OA2,AC

OA

OB

夾角60，且，角形，故選

ABAC

為直角三4在等比數(shù)列中，若A.

，3B.

，則

17

C.

2【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則q32

，1aq341二、填空題

.故選5已知

i

3z

i虛數(shù)單位

的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_______金戈鐵騎

2—————————教資共步入識(shí)洋————【答案】22【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解?！驹斀狻縤

3z

，

2ii3i

，共軛復(fù)數(shù)為故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題。6已知定點(diǎn)A

和曲線x2

上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)P軌跡方程為_(kāi)_______【答案(x2y22【解析】通過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，把點(diǎn)P

的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到

上，把點(diǎn)

的坐標(biāo)代入曲線方程，整理可得點(diǎn)的軌跡方程?！驹斀狻吭O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(4x0y2

，點(diǎn)B(,b)

，因?yàn)辄c(diǎn)是段的中點(diǎn)，所以2x解得，把點(diǎn)Bb

的坐標(biāo)代入曲線方程可得

x4)

2

y

2

，整理(x2y2，所以點(diǎn)P軌跡方程(故答案為：

(x2)

y

【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，屬于中檔題。金戈鐵騎

2——————教育資共步入識(shí)洋————27如果球的體積為

，那么該球的表面積為_(kāi)_______【答案】4【解析據(jù)球的體積公式V3

r

出球的半徑r

后由表面積公式：S

r

即可求解?！驹斀狻?V3r又因?yàn)?/p>

，

r

，所以故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查球的體積、表面積公式，屬于基礎(chǔ)題。8已知點(diǎn)B(

，則△

的面積是________【答案【解析】首先求出直線方程：4xy

，線段的長(zhǎng)度；然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線BC可求解?！驹斀狻?/p>

的距離，根據(jù)三角形的面積公式即因?yàn)?

C(1,由兩點(diǎn)間的距離公式可得BC8268，又k

所以BC直線方程為yx

，整理可得4xy

，由點(diǎn)到直線的距離公式

2

，金戈鐵騎

——————教育資共步入識(shí)洋————所以△

的面積S

1BC6822故答案為【點(diǎn)睛】本題考查平面解析幾何中的兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)斜式求直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題。9已知2i方程

()

的一個(gè)根，則【答案】14【解析】利用實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對(duì)原理即可求出?！驹斀狻?i關(guān)于方程2

()

的一個(gè)根，

也是關(guān)于方程2

(q)

的一個(gè)根，i

，(i

，解得

，q10

，14故答案為：14【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的虛根成對(duì)原理、韋達(dá)定理，屬于基礎(chǔ)題。10已知拋物線5【答案】2

xpy上的點(diǎn)

2)

，則到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，求出p，然后求解準(zhǔn)線方程，即可推出結(jié)果?！驹斀狻拷鸶觇F騎

77n7771—————————教資源享步知?！?7n7771由拋物線2上的點(diǎn)

A(2,2)

可得

，所以拋物線方程：

y

，準(zhǔn)線方程為x，則A到準(zhǔn)線的距離為

52故答案為：

52【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程，需熟記拋物線準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。11在等比數(shù){}n

中，已知a23

，且

4

與2a7

5的等差中項(xiàng)為，則45【答案】31【解析aa23所以可以求出

2與4

5的等差中項(xiàng)為a，4

，16，即可求出S1

【詳解】依題意，數(shù){}等比數(shù)列，a，即2q5q23

，所以a，4又a與4

5的等差中項(xiàng)為，所以24

，即a4

，所以

3

784

，所以q

a，所以a4，q35

116)2112

5

31故答案為：31【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，需熟記公式。金戈鐵騎

cdy0cdy012向量經(jīng)過(guò)矩陣變換后的向量是________3【答案】【解析】根據(jù)

即可求解?！驹斀狻扛鶕?jù)矩陣對(duì)向量的變換可得故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查向量經(jīng)矩陣變換后的向量求法，關(guān)鍵掌握住變換的運(yùn)算法則。13若雙曲線

x29

(0)

的一個(gè)焦點(diǎn)(0,13)，則該雙曲線的漸近線方程是______2【答案】x3【解析】利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解a，然后求解雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻侩p曲線

x29

(a0)一個(gè)焦點(diǎn)(0,13)得

a2得a所以雙曲線

yx漸近線方程是

2y32故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題。金戈鐵騎

————————教資共步入識(shí)洋————14知直l

經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(

點(diǎn)

l

的距離等于直l

的方程為_(kāi)___【答案】xy【解析當(dāng)直l斜率不存在時(shí)，直l方程為x

，不成立；當(dāng)直線l

的斜率存在時(shí)，直線l

的方程為

kxk，A(

l

的距離等于5，解得或【詳解】

，由此能求出直l的方程。直l過(guò)點(diǎn)

(

，當(dāng)直l

的斜率不存在時(shí)，直l

的方程為x

，點(diǎn)(

l

的距離等于d

，不成立；當(dāng)直l斜率存在時(shí)，直l的方程為xkxk，

，即點(diǎn)A

l

的距離等于，

kk

kk

，解得k

或，直l方程為

yx2)

或y(x2)

，即xy或xy故答案為：2xy【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)斜式求直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式，在求解時(shí)注意討論斜率存在不存在，屬于常規(guī)題型。15已知數(shù)列{2________．

n·a的前n項(xiàng)和S＝9，則數(shù)列{a的通項(xiàng)公式是nnn金戈鐵騎

,———————教育資共步入識(shí)洋——————3,,【答案】n{32【解析】當(dāng)n＝12

0·a＝S＝3∴a＝3.11當(dāng)n≥2時(shí)，2n－1·a－S＝－6.nnn∴a＝－n

.3,∴數(shù)列n的通項(xiàng)公式為n{

.16若向量m，

)

mx

，v且x

x，

v

的夾角等于________【答案】

【解析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算的：x3x

，與

的夾角等于

【詳解】由，

,)

，所以

m，所以

x

x

，與v的夾角等于故答案為：2

2

，【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的夾角公式、向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題。金戈鐵騎

1BCDE——————————教資共步入識(shí)洋——————三、解答題1BCDE17在長(zhǎng)方ABCD中DA1的中點(diǎn).

DC，

是AB（1求四棱錐ABCDE的體積；（2求異面直線AEC成角的大?。ńY(jié)果用反三角形函數(shù)值表示）11【答案

BCDE

【解析

BCDE

ABCD

,由此能求出四棱錐

ABCDE的體積。（2以為原點(diǎn)，DA為x軸，為軸，DD為1

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AEB成角的大小。11【詳解】（1在長(zhǎng)方體CD中DA61中點(diǎn).

DC2

3是AB的

BCDE

ABCD

ADE

366，2四棱錐

的體積

V

ABCDE

1362AA332金戈鐵騎

————————教資共步入識(shí)洋—————（2以為原點(diǎn)，DA為x軸，則

為y

軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，1A(6,0,1

，E(6,1,0)，(6,2,3)1

，

(0,2,0)，E3)1

，3)1

，設(shè)異面直線

AE與BC成角為，11cos

C

1，92

arccos

異面直線AE與B成角11

【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積公式，解題的關(guān)鍵是熟記棱錐體積公式，同時(shí)也考查了用空間直角坐標(biāo)系求立體幾何中異面直線所成的角，此題需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題。18已知平行四邊形中45

，F(xiàn)是BC邊上的點(diǎn)，且

BF

，若AF與BD交于點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo).（1求點(diǎn)的坐標(biāo)；金戈鐵騎

—————————教資共步入識(shí)洋——————（2求

AF

.【答案

82F(,)3

.【解析據(jù)題意寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用

BFFC

求得點(diǎn)F的坐標(biāo)。（2根據(jù)

BD

求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算AF、，求出數(shù)量積。【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，O，B

，(1,1)(1,1)由

BF

，所以

2BF3

，設(shè)(x,)

，則BF),所以所以

2()382(,)33

，解得x

，y（2根據(jù)題意可知

EDO

，所以

BE

2BD,)5

,823所以)，從而,),)33362AF15

?！军c(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。19如圖，在半軸上的點(diǎn)有一只電子狗，B

點(diǎn)有一個(gè)機(jī)器人，它們運(yùn)金戈鐵騎

—————————教資源享步知海———————?jiǎng)拥乃俣却_定，且電子狗的速度是機(jī)器人速度的兩倍，如果同時(shí)出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或同時(shí)到達(dá)某點(diǎn)，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子狗失敗，這一點(diǎn)叫失敗點(diǎn)，若ABBO

.（1求失敗點(diǎn)組成的區(qū)域；（2電子狗選擇正半軸上的某一點(diǎn)P應(yīng)在何處？

，若電子狗在線段上獲勝，問(wèn)點(diǎn)【答案(0,2)軸正半軸上.

為圓心2為半徑的圓上和圓內(nèi)所有點(diǎn)

應(yīng)在【解析敗點(diǎn)(xy)

，則A(0,6)

，

，不妨設(shè)機(jī)器人速度為V

，則電子狗速度為2，由題意得

，代入坐標(biāo)計(jì)算求解即可。VV（2設(shè)P,0)

(

由題意有

PBPA，代入坐標(biāo)計(jì)算求解即可。V2【詳解】（1設(shè)失敗點(diǎn)為My

，則(0,6)

，

(0,3)

，不妨設(shè)機(jī)器人速度V，則電子狗速度為2V

VV

2

2

為M的軌跡為(0,2)圓心，2半徑的圓上和圓內(nèi)所有點(diǎn)。故失敗點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)椋?0,2)

為圓心，2半徑的圓上和圓內(nèi)所有點(diǎn)。（2設(shè)P,0)

(

由題意有

PBPA，V2則

22

22

，即

，所以P

應(yīng)在x軸正半軸上點(diǎn)。金戈鐵騎

————————教育資共步入識(shí)洋——————【點(diǎn)睛】本題考查方程組法求點(diǎn)的軌跡方程，解決此題關(guān)鍵是理解題意，列出不等關(guān)系。20已知橢圓

xy（aa2b2

）的左右焦點(diǎn)為

FF，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為

，

.（1求直線的方向方量；（2Q是橢圓上的任意一點(diǎn)，的最大值；12（3過(guò)F作的平行線交橢圓

、D兩點(diǎn)，|

，求橢圓的方.【答案(2,1)(

224

.【解析據(jù)題意可得

ac

2

2

b

，

kAB

2b

，即直線的方向方量可以((2,。（2在中，設(shè),n112cosFQF1

)2()c2b2，即可求解。222（3設(shè)橢圓方程為

2y2，直的方程為x，用韋達(dá)bb定理、弦長(zhǎng)公式計(jì)算?！驹斀狻拷鸶觇F騎

，41—————————教育源享步知?！?1（1

c2

，右頂點(diǎn)A(2,0)，上頂點(diǎn)B(0,b

，則

k

b

，

直線AB的方向方量(2,1)(。（2在中，設(shè),n112則

FQF12

m2c)2m)2c2b2mn2mn

b2m)

b22當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí)，Q為上（或下）頂點(diǎn)時(shí)FQF的最大值，最大值為12

.（3設(shè)橢圓方程為

2y2，bbAB，直的方程為x2x2由b

可得422by2

x212

b2y，1

yk22

解得b

，金戈鐵騎

n23123————————教資共步入識(shí)洋———————n23123橢圓方程為

24【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，橢圓方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦長(zhǎng)公式等，綜合性比較強(qiáng)，需熟記公式；同時(shí)本題也需有一定的計(jì)算能21已知數(shù)列{}n

的和S

，通項(xiàng)公式

，數(shù)列n

的通項(xiàng)公式為bnn（1n

n

，求數(shù){}項(xiàng)和n

T

及

limT

的值；（2en

(5)(7)n

，數(shù)列{}n

的和為，E的值，13根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)關(guān)n的達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（3對(duì)任意正整，

1(S)成立，求2

t

的取值范圍.【答案

[1)n]3

，

T

32

E，，E，n

n

；證明見(jiàn)解析（

2t(

.【解析據(jù)等比數(shù)列的求和公式和極限的定義即可求解。（2求e

1(2nn

，可求E，E，E的值，猜想的表達(dá)式，123再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明。（3問(wèn)題轉(zhuǎn)化t

2(3n

，對(duì)于任意正整成立，設(shè)f(

2(6)

，利用導(dǎo)數(shù)求出