2020年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學試卷 全國Ⅰ卷

2020普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學注意事項：．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動橡皮擦干凈后選涂其他答案標號答選擇題時答寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共2小題，每小題5分共60分。在每小題給出的四個項中，只有一項是符合題目要求的。若，

z)A.0C.2

D.2設集合AaAB()A.-4B.-2D.4埃及胡金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積側三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值()

54

52

C.

54

52已知A為拋物線:

px(0)上點，點A到的焦點的距離為，y軸距離為9，則p)A.2C.6某一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和度(單：

)的系，在個不同的溫度條件下進行子發(fā)芽實驗實數據(x,i1,2,...,20)得到下面的散點ii

圖：由此散點圖，在1040間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為芽率y和度的歸方程類型的是)函數f(x)

ybxC.的圖像在點f(1))處切線方程為()C.y

lnxxπ設函數f()cos(x)

在圖則f()的小正周期為()

109

76

C.

4π3

π2(x

)(xy)

5

的展開式中

的系數為()D.20已知，3cos2

8cos

，

)

53

C.

13

59已知AB,為O的面上的三個點，

O為的接圓，若

O的積為πBCAC，球O的面積為()64π

C.36π

已M:

線

l:2x

0

Pl上動點P作

M的切線PA,

，切點為A,，|PM|AB

最小時，直線AB的程為)

2y

2y

C.

2y

2xy若

2log，()b

b

C.

a

a

二、填空題：本題共小題，每小題5分，共20分。0,若xy滿約束條件則z最大值___________.

0,設,為位向量且|則|___________.已知為曲線C:

a的焦點，為C右頂點，B上點，22且直于

軸.若AB的率為3，則C的心為______________.如圖三棱錐ABC的平面展開圖中ACAB330

ABAC，三、解答題：共7分。解答應寫出文字說、證明過程或演算步驟。17~21題必考題，每個試題考生都必須作答。第22題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分。17.（分設{}

是公比不為1的比數列，a為a2

，a

的等差中項．求{}

的公比；若a

，求數列{}

的前項和18.（分如圖，為錐的頂點，O圓錐底面的圓心，AE為面直徑，AEAD是底面

的內接正三角形，P為DO上點，

66

DO證明：PA面PBC求二面角BPCE的弦值19.（分甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人另人輪空場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽者一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪設每場比賽雙方勝的概率都為

求甲連勝四場的概率；求需要進行第五場比賽的概率；求丙最終獲勝的概率.20.（分已知A

分別為橢圓E:

22

2

為的頂點，

，P為直線x上動點，PA與E的一交點為，與的一交點為求的程；證明：直線CD定.21.（分已知函數f(x

.當a時討論

f

的單調性；當，

x

，求

的取值范圍.（二）選考題：共1分。請考生在第22題中任選一題作答。果多做，則按所做的第

kk一題計分。22[修—4坐標系與參數方程（10分在直角坐標系

xOy

t中曲線C的數方程為

(

為參數以坐標原點為極點，

軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

4

當k時C是么曲線？當k4，求C與的共點的直角坐標.23[修—5不等式選]（分）已知函數

f(x)

畫出

f(x

的圖像；求不等式

f()f(

的解集

aa參答答案：解析：通解

z(1

2(12i2i故光速解

z2.選D.答案：B解析：解法一易知|,Bx因為Bxx，以2

a2

，得故B.解法二由題得

a則B

x

，又

，所以足意，排除A；若則BA；若，B又

A

意，排除C；若a，A意故B.答案：解析：設正四棱錐的高為，底面正方形的邊長為，高為，依題意得

a，

①，易知h

②，由①②得

152

a，以15.選C.aa4答案：解析通因為A到y(tǒng)軸的距離為所可設點A

所

又點

到焦點的距離為，所以，以9，2

p，得p(舍去)p故選C.光速解根據物線的定義及題得A到的準線xy軸距離為9，所以，得.故選答案：

p2

的距離為因為點A到

π4π4πππ4π4πππ3解析根據散點圖用光滑的曲把圖中各點依次連起(圖略由圖并結合選項可排除AB，C故選答案：B解析：通解

fx)

，fx)x

，f'(1)又f所求的切線方程為y，.故選B.優(yōu)解

fx)

，f'(x

，f切的斜率為，除C，又f切過點，排除A.故答案：解析通解由圖知，fπ(kZ)解得94

(k)

設fx)最小正周期為T，易知Tπ，

|

2π4ππ|

，

，且僅當，合題意，此時

24π，T故選C.3秒解由題知f且f(f(0)0)得，92f()最小正周期T

故選答案：解析：因為xy)

的開式的第r項Trr

r

，所以()

的展開式中

的系數為C

.故選C.答案：A解析：

8cos

，3

，6cos

，3cos

，得cos

(舍)或cos(0,π)，sin1

53

故選答案：解析：如圖所示，設球O的徑為，O的徑為r，為O的積為π，以π=πr

AB，解得r，ABBCOO，所以r，得23，sin

OO2，所以Rr，以球O的面積π264π.選答案：解析：通解由M:

①得M:(

，以圓心M.圖接AM知邊PAMB的面積為PMAB|

使|PM||最小，只需四邊形的積最小，即只需的積最因為|AM，以只需最又PM

AM|

|PM|

所以只需直線2x上動點到M的離最小，其最小值為

|5

5，時l

，易求出直線PM的方程，為由得所P(知，，MB四點共圓，所以，以PM為徑的圓的方程為x

15即2

②①②得直的程為2xy，故選優(yōu)解因為M:(

所以圓心M.

2y連接AMBM易四邊形的積為|PM|AB|

欲|AB|最只四邊形PAMB的面積最小，即只需的積最因為|AM，以只需PA|最小.又PM

AM

|PM|

只需|PM最時PMl.為PM，所以l，以k

排除A，C.AB，易求出直線的程為xy，得所P(為點y，M到線x距離為2所以直線點且相，所以(點A線上故排除B.故選D.答案：B解析解一令f(x

x因為y

在單調遞增，logx上單調遞增，所以f(x

x在單調遞增又abb(2)，以f()f)，以故選解法二（取值法）由

，b，得

a，令f()

，f(x)在調遞增，且f(1)，f(2)，以f(1)f，x)logx在存唯一的零點，所以故ab2

都不成立A2

log()

logx則()在單遞，且g(3)，(4)，所以(3)g，(logx在在唯一的零點，所，不成立排除故B.答案：解析：通解作出可行域，如圖陰影部分所示，由

y，得

故.出，直線，形結合可知，當直線xy過時取得最大值，為1.

優(yōu)解作出行域圖中陰影部所示

AC線z過點A時，；直線zy過時，；直線z過時，z

11.以y的大值為答案：3解析：解法一

單位向量，且a，(a)，a，1a，a2

，2解法二如圖利用平行四邊形法則得O，，OAC正三角形，BAa

32

|3.

BnBn答案：解析設B

因為雙曲線C:

2y2yb上點所所22ba2因為AB的率為所B

2，所aca所ac

，所以

a

，得(舍去)或所以的離心率e

c

答案：

解析：依題意得，AE在AEC中，CAE余弦定理得

AE

AEcosEAC3cos30以EC，以CF又BCAC

AB

1BDAD

AB

6以在BCFBCCFBF中，由余弦定理得cos.221(3n答案：(2)S9

解析：(1)設

的公比為q，題設得a，即aqq

所以q

，得q(舍去，故.記為

項和由1)及題設可得，所以

，

n

可得3

n

n.所以

n

221221答案：(1)見解析；(2)

25

解析：(1)設DO，題設可得PO

6aa,AB，6

22

a因此22，而PA.又PA

PC

，故所以PA面PBC.以O為標原點，OE的向為軸方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.1由題設可得E(0,1,0),A(0,1,0),,,0P

2所以,設mx)是平面的向量，則

m0,m

即

2zy23可取2

2由1)知AP

是平面的個向量，記，n則nm.|n|所以二面角E的弦值為7答案：；(2)；(3)

25

解析：(1)甲連勝四場的概率為

根據賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比.比賽四場結束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為乙連勝四場的概率為

；；1丙上場后連勝三場的概率為.8所以需要進行第五場比賽的概率為

1384丙最終獲勝，有兩種情況：1比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為；8比賽五場結束且丙最終獲勝則第二場開始的四場比賽按照丙的勝負輪結果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為111因此丙最終獲勝的概率為.1616

88

答案：

2

2；見解析解析：(1)由題設得A(B(.則AGa1).得

，a所以E的方程為

2

2

.設Cyt)若t0，直線的程為x由題意可知n.

121121tt由于直線PA方程為y(x，所以y

x

tt直線PB方程為yx，以.可得由于

x9

y

，9

，可得27yy(1

.①將代

2

2

得

mny22所以yym

代入①式得3解得n舍去，n.2故直線CD的程為x

32

，即直線CD過點.若t，直線的方程為y，點綜上，直線CD定點,0.答案：(1)見解析；(2)

.解析：(1)當時(x

，f'(x)

.故當時fx)；當x(0,，f'(x所以f(x)在(上單調遞減，在(0,調增.f()

12

等于

ax

設函數()xe(x，'(xxxax

axa

(a1)(2)e

，由ii可得1解得，由ii可得1解得.(i)若