平面問題的直角坐標解答

要點——用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學問題。3.1逆解法與半逆解法多項式解答3.2矩形梁的純彎曲3.3位移分量的求出3.4簡支梁受均布載荷3.5楔形體受重力和液體壓力主要內容3.1逆解法與半逆解法多項式解答

當體力為常量時，按應力求解平面問題，最后歸結為求解一個應力函數(shù)F(x,y)，它必須滿足下列條件：(2-25)（1）相容方程（2）應力邊界條件（2-15）（3）多連體中的位移單值條件求出應力函數(shù)F(x,y)，可求得應力分量：(2-24)再求得變形分量和位移分量。由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能寫成有限項數(shù)的形式。因此，一般不能直接求解問題，只能采用逆解法或半逆解法。1.

應力函數(shù)求解方法（1）逆解法（2）半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（2-25）的F(x,y)

的形式；（2）——主要適用于簡單邊界條件的問題。然后利用應力分量計算式（2-24），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-15），來考察這些應力函數(shù)F(x,y)

對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)F(x,y)

可以求解什么問題。逆解法半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應力函數(shù)F(x,y)的關系及，求出F(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄?shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法。2多項式解答適用性：由一些直線邊界構成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應力函數(shù)F(x,y)

，能解決什么樣的力學問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗F

(x,y)是否滿足雙調和方程：顯然F

(x,y)

滿足雙調和方程，因而可作為應力函數(shù)。（1）(a)

一次多項式（2）（3）對應的應力分量：若體力：fx

=fy

=0，則有：結論1：（1）（2）一次多項式對應于無體力和無應力狀態(tài)；在該函數(shù)F(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。(b)

二次多項式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。檢驗F(x,y)

是否滿足雙調和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù)

)(假定：fx

=fy

=0;a>0,b>0,c>0)（3）由式（2-24）計算應力分量：結論2：二次多項式對應于均勻應力分布。xy2c2c2a2axy試求圖示板的應力函數(shù)。例：xy(c)

三次多項式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗F(x,y)

是否滿足雙調和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù)

)(假定：fx

=fy

=0)（3）由式（2-24）計算應力分量：結論3：三次多項式對應于線性應力分布。討論：可算得：xy1llMM可見：——對應于矩形截面梁的純彎曲問題應力分布。(d)

四次多項式（1）檢驗F(x,y)

是否滿足雙調和方程（2）代入：得其待定系數(shù)，須滿足上述關系才能作為應函數(shù)總結：（多項式應力函數(shù)F的性質）（1）多項式次數(shù)n

<4

時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項式次數(shù)n

≥4

時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項式次數(shù)

n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項式，對應于無體力和無應力狀態(tài)；任意應力函數(shù)F(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。二次多項式，對應均勻應力狀態(tài)，即全部應力為常量；三次多項式，對應于線性分布應力。（3）（4）用多項式構造應力函數(shù)F

(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡單直線應力邊界問題）。3.2矩形梁的純彎曲可算得：xy圖示梁對應的邊界條件：1llMM常數(shù)a與彎矩M的關系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結果與材力中結果相同，說明材力中純彎曲梁的應力結果是正確的。xy1llMMxy1llMM說明：(1)組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。(3)當l

遠大于h

時，誤差較??；反之誤差較大。按應力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說明如何由求出形變分量、位移分量？問題：3.3

位移分量的求出以純彎曲梁為例，說明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應力分量為：平面應力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)xyl1hMM（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)(b)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)式中：u0、v0、ω

由位移邊界條件確定。（1）討論：當x=x0=常數(shù)——u關于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設成立。xyl1hMM（2）將下式中的第二式對x

求二階導數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學中撓曲線微分方程2.

位移邊界條件的利用（1）兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結果相同（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點不動）（軸線在端部不轉動）h/2h/2代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學中結果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應力分量代入物理方程h/2h/2（b）再將應變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（2）若為平面應變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應替換。（3）若取固定端邊界條件為：（中點不動）（中點處豎向線段轉角為零）h/2h/2得到：求得：此結果與前面情形相同。3.4

簡支梁受均布載荷要點——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。llqlql1yzh/2h/2q1.

應力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（擠壓應力）。又∵q

=常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，∴不隨x

變化。推得：xy(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)llqlql1yzh/2h/2qxy(3)由確定：代入相容方程：llqlql1yzh/2h/2qxy方程的特點：關于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：對前兩個方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項由第三個方程得：積分得：(d)(c)(d)(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)（d）式略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項式中含有9個待定常數(shù)。2.

應力分量的確定(f)(g)(h)(e)(f)(g)(h)3.

對稱條件與邊界條件的應用（1）對稱條件的應用：由q

對稱、幾何對稱：——x

的偶函數(shù)——x

的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的y成立，須有：llqlql1yzh/2h/2qxy（2）邊界條件的應用：(a)上下邊界（主要邊界）：llqlql1yzh/2h/2qxy由此解得：代入應力公式(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力FN

=0；彎矩M=0；剪力FS

=－ql；llqlql1yzh/2h/2qxy可見，這一條件自動滿足。(p)截面上的應力分布：三次拋物線llqlql1yzh/2h/2qxy(p)4.

與材料力學結果比較材力中幾個參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）llqlql1yzh/2h/2qxyllqlql1yzh/2h/2qxy（3-6）比較，得：（1）第一項與材力結果相同，為主要項。第二項為修正項。當h/l<<1，該項誤差很小，可略；當h/l較大時，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。解題步驟小結：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應力分量（）的變化形式。由與應力函數(shù)的關系式（2-24），求得應力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（5）將具有待定函數(shù)的應力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。（4）由與應力函數(shù)的關系式（2-24），求得應力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學平面問題的基本步驟：附：應力函數(shù)確定的“材料力學方法”要點：利用材料力學中應力與梁內力的關系，假設某個應力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。應力函數(shù)常可表示為：設法由邊界面力先確定其中之一，然后將其代入確定另外一個函數(shù)。材力中，應力分量與梁內力的關系為：式中：M(x)——彎矩方程；Q(x)——剪力方程。當有橫向分布力q(x)作用時，縱向纖維間存在擠壓應力，同時，橫向分布力q(x)的擠壓作用時，對軸向應力也產(chǎn)生影響。應力分量與梁內力的關系可表示為：考慮擠壓應力影響導致然后由：確定應力函數(shù)的具體形式。例：懸臂梁，厚度為單位1，τ=常數(shù)。求：應力函數(shù)及梁內應力。bl解：(1)應力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內力如圖：取作為分析對象，可假設：（a）——f(y)為待定函數(shù)由與應力函數(shù)的關系，有：（b）對x積分一次，有：xyO對y再積分一次，有：其中：（c）blxQMxyO由確定待定函數(shù)：（d）要使上式對任意的x，y成立，有（e）（f）由式（e）求得（g）由式（f）得（h）（i）積分式（h）和（i）得（j）（k）blxQMxyO(l)包含9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2)應力分量的確定(m)blxQMxyO(3)利用邊界條件確定常數(shù)(o)代入可確定常數(shù)為：代入式（m）得blxQMxyO(m)注：也可利用M（x）=0，考慮進行分析。此時有：為待定函數(shù)，由相容方程確定。blxQMxyO3.5

楔形體受重力和液體壓力要點——半逆解法（因次或量綱分析法）問題的提出：楔形體，下部可無限延伸。側面受水壓作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）求：楔形體應力分布規(guī)律。xyO1.

應力函數(shù)及應力分量(1)分析：(a)∵的量綱為：∴的形式應為：的線性組合。的量綱為：(b)由推理得：應為x、y的三次函數(shù)。應力函數(shù)可假設為：xyOxyO(2)應力分量考慮到：fx

=0，fy

=（常體力）(a)顯然，上述應力函數(shù)滿足相容方程。2.

邊界條件的利用(1)

x=0（應力邊界）：代入式（a），則應力分量為：xyO(b)xyON(2)

（應力邊界）：將(b)代入，有其中：代入，可求得：代入式（b），有：(3-7)——李維（Levy）解答(3-7)與材力結果比較：——沿水平方向不變，在材力中無法求得?！厮椒较蚓€性分布，與材力中偏心受壓公式算得結果相同?！厮椒较蚓€性分布，材力中為拋物線分布。沿水平方向的應力分布(3-7)xyO結果的適用性：（1）當壩的橫截面變化時，不再為平面應變問題，其結果誤差較大。（2）假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實際壩高有限，底部與基礎相連，有地基約束，故底部處結果誤差較大。（3）實際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結果誤差較大。——三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。平面問題的直角坐標解答一、多項式解答——逆解法二、梁、長板類彈性體應力函數(shù)方法應力分量與梁內力的關系可表示為：考慮擠壓應力影響導致然后由：確定應力函數(shù)的具體形式。三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法（