機(jī)械工程控制基礎(chǔ) 第二章 傳遞函數(shù)

1第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.系統(tǒng)微分方程的建立及非線性方程的線性化控制理論的研究對(duì)象是系統(tǒng)、輸入、輸出三者之2.傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3.系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖及簡(jiǎn)化4.相似原理間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，描述系統(tǒng)這種動(dòng)態(tài)關(guān)系的是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，古典控制理論內(nèi)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有三種21．微分方程：時(shí)域——求解困難2．傳遞函數(shù)：復(fù)域——求解方便，便于直接在復(fù)域中研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性§2-1系統(tǒng)的微分方程§2-2傳遞函數(shù)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖及其簡(jiǎn)化各章節(jié)內(nèi)容3.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（傳遞函數(shù)方框圖）補(bǔ)充內(nèi)容拉普拉斯變換3一、線性定常系統(tǒng)及疊加原理§2-1系統(tǒng)的微分方程

1．系統(tǒng)、輸入、輸出三者關(guān)于的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：式中：——系統(tǒng)輸出;

——系統(tǒng)輸入41）線性系統(tǒng)：方程只包含變量、a．線性定常系統(tǒng)：an…a0

；bm…b0為常數(shù)b．線性時(shí)變系統(tǒng)：an…a0

；bm…b0為時(shí)間的函數(shù)2）非線性系統(tǒng)：方程中含有、的各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù)的其它函數(shù)形式2．根據(jù)系統(tǒng)微分方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類5

例，其中,a,b,c,d均為常數(shù)。

線性定常系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)非線性系統(tǒng)6Xi1(t)AX01(t)Xi1(t)→X01(t)Xi2(t)AX02(t)Xi2(t)→X02(t)Xi1(t)AXi2(t)X01(t)X02(t)aXi1(t)+bXi2(t)→aX01(t)+bX02(t)3．線性系統(tǒng)滿足疊加原理意義：對(duì)于線性系統(tǒng)，各個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出是互不影響的。因此，在分析多個(gè)輸入加在線性系統(tǒng)上而引起的總輸出時(shí)，可以先分析由單個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出，然后把這些輸出疊加起來(lái)，則可求得總的輸出。7力學(xué)——牛頓定律3．將各運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成微分方程，消去中間變量，并化成標(biāo)準(zhǔn)形式（輸出量和輸入量的各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降階排列）2．從系統(tǒng)輸入端開始，依次列寫出各元件（環(huán)節(jié)）的運(yùn)動(dòng)方程電學(xué)——基爾霍夫定律二、微分方程的列寫步驟1．分析系統(tǒng)的工作原理，找出輸入、輸出及中間變量的關(guān)系8質(zhì)量——彈簧——阻尼系統(tǒng)my(t)f(t)ck圖2-1===++00)0()0()()()()(yyyytftkytyctym.....例1：9L、C、R組成的電路如圖，列出以u(píng)1為RCu2(t)i(t)Lu1(t)輸入、u2為輸出的運(yùn)動(dòng)方程解：由基爾霍夫電壓定律有：消去中間變量i：寫成微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：例2：10受到影響，此影響稱負(fù)載效應(yīng)。其實(shí)質(zhì)是物理環(huán)節(jié)之兩個(gè)或兩個(gè)以上環(huán)節(jié)（或子系統(tǒng)）組成一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，若其中一環(huán)節(jié)的存在使另一環(huán)節(jié)在相同輸入下的輸出間的信息反饋?zhàn)饔?。i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2圖2-3例：由兩極串聯(lián)的RC電路組成的濾波網(wǎng)絡(luò)，試寫出以u(píng)1(t)為輸入，u2(t)為輸出的系統(tǒng)微分方程。三、負(fù)載效應(yīng)11解：把兩個(gè)RC電路當(dāng)作整體來(lái)考慮消去中間變量i1、i2

得：i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2ab121314若分開考慮：

C1i1(t)u1(t)R1==+òòdtiCuudtiCiR111111111'1C2u2(t)i2(t)u'1(t)R2==+òòdtiCuudtiCiR222122221'1此結(jié)果錯(cuò)誤151．系統(tǒng)由單變量非線性函數(shù)所描述

y=f(x)y(t):輸出x(t):輸入四、非線性微分方程線性化16若令x=Δx,y=Δy

則y=kx——線性化方程172．非線性系統(tǒng)輸出z(t)是兩個(gè)變量x和y的函數(shù)，即 z=f(x,y)

1）確定工作點(diǎn) P(x0,y0,z0)2）在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)并忽略高階項(xiàng)L+D??+D??+==yyfxxfyxfyxfZyx00,00),(),(yx00,D??+D??yyfxxfyxfyx00,00),(yx00,=+),(),(00yxfyxfZ-=DD??+D??yyfxxfyx00,yx00,=yKxKzyXD+D=DyKxKzyX+=，2184．寫成標(biāo)準(zhǔn)微分方程形式3．非線性微分方程線性化2．從系統(tǒng)輸入端開始依次列寫微分方程，注意負(fù)載效應(yīng)1．分析系統(tǒng)工作原理，確定描述系統(tǒng)的變量，分析相互關(guān)系考慮非線性情況下，系統(tǒng)微分方程列寫步驟：19

拉普拉斯變換Laplace

拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量S的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以S表示的代數(shù)方程。20一、拉氏變換和拉氏反變換的定義1.拉氏變換的定義函數(shù)在時(shí)有定義，且積分在s的某一域內(nèi)收斂，則積分所確定的函數(shù)可寫為稱為函數(shù)的拉氏變換，記為f(t)—F(s)的原函數(shù)；

F(s)—f(t)的Laplace變換（或稱為象函數(shù)）s=

+j212.拉氏反變換的定義已知，欲求原函數(shù)時(shí)，則稱為拉氏反變換，記為221.單位階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)二、典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換23=13.單位脈沖函數(shù)4.單位斜坡函數(shù)5.單位拋物線函數(shù)246.正弦函數(shù)25267.余弦函數(shù)278.冪函數(shù)28三、拉氏變換的重要性質(zhì)1.線性性質(zhì)，為常數(shù)，則292.延遲定理f(t)ttf(t-t0)t0f(t)tt030例1：1Ttf(t)TTf(t)例2：313.位移定理，則或32334.微分定理，則若34由于例：利用微分定理求355.積分定理，則例36六.復(fù)頻域?qū)?shù)性質(zhì)37七.初值定理和終值定理初值定理若L[f(t)]=F(s)由初值定理知：例：已知

，求f(0+)38六.初值定理和終值定理終值定理：例：已知：39例:e(t)R+u-+-用初值定理和終值定理驗(yàn)證40八.卷積定理卷積定理：設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s),g(t)的拉氏變換為G(s)，

舉例：求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換414243已知f(t)的拉氏變換為F(s),求44已知f(t)的拉氏變換為F(s),求L[f(at)]

45四、拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法用部分分式法求拉氏反變換將化為真分式，再將因式分解1.無(wú)重根為待定系數(shù)46例：47例48Ki也可用洛必達(dá)法則求49例用洛必達(dá)法則求原函數(shù)例5051例1例25253一般多重根情況54例：55例：56§2-2傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系的另一種數(shù)學(xué)模型，是經(jīng)典控制理論對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行研究、分析與綜合的基本數(shù)學(xué)工具，是時(shí)域分析、頻域分析及穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)，也是經(jīng)典控制理論進(jìn)行系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，因此，十分重要。57定義：對(duì)于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入換與輸入量的拉氏變換之比。輸出的初始條件為零時(shí)，其輸出量的拉氏變?cè)O(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為：)()()(0)1(1)(txbtxbtxbimmmimi+++=--L)()()(00)1(01)(0txatxatxannnn+++--L式中：a

n…a

0,b

m…b

0

均為常系數(shù)x0

(t)為系統(tǒng)輸出量，x

i(t)為系統(tǒng)輸入量一、定義58若輸入、輸出的初始條件為零，即0)0()(0=KxK

=0,1,,n－1…0)0()(i=KxK

=0,1,,m－1…對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換得：())(011sXbsbsbimmmm+++=--L())(0011sXasasannnn+++--L則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為：0110110)()()(asasabsbsbsXsXsGnnnnmmmmi++++++==----LL（n≥m）59傳遞函數(shù)方框圖：G（s）Xi(s)X0(s)1）列出系統(tǒng)微分方程（非線性方程需線性化）2）假設(shè)全部初始條件均為零，對(duì)微分方程3）求輸出量和輸入量的拉氏變換之比——傳遞函數(shù)進(jìn)行拉氏變換求傳遞函數(shù)的步驟：i))()(0(sXsXsG=60質(zhì)量——彈簧——阻尼系統(tǒng)令初始條件均為零，方程兩邊取拉氏變換())()(2sFsYkcsms=++kcsmssFsYsG++==21)()()(∴

例1:)()()()(tftkytyctym=++...my(t)f(t)ck61L、R、C電路系統(tǒng)RCu2(t)i(t)Lu1(t)())()(1122sUsURCsLCs=++11)()()(212++==RCsLCssUsUsG∴例2：)()()()(1222tututuRCtuLC=++...621．傳遞函數(shù)和微分方程是一一對(duì)應(yīng)的微分方程：在時(shí)域內(nèi)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系（特性）

傳遞函數(shù)：在復(fù)域內(nèi)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系（特性）統(tǒng)與外界聯(lián)系，當(dāng)輸入位置發(fā)生改變時(shí)，分子會(huì)改變。2．傳遞函數(shù)的分母只取決于系統(tǒng)本身的固有特性，與外界無(wú)關(guān)，因此分母反映系統(tǒng)固有特性，其分子反映系二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)63例：)(tymffcK=-..my(t)ckx(t)Ck-t[])(y)(tx-()tym=...t[])(y)(tx-.由牛頓第二定律，有:643．若輸入給定，則輸出完全取決于傳遞函數(shù)4．不同物理系統(tǒng)（機(jī)械、電氣、液壓）可以能用相同數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)——相似系統(tǒng)用形式相同的傳遞函數(shù)來(lái)描述——相似原理5．分母階次常高于分子階次（n≥m）G（s）Xi(s)X0(s))()()(0sXsGsXi=465傳遞函數(shù)為復(fù)變函數(shù)，故有零點(diǎn)和極點(diǎn)

零點(diǎn)：使G(s)=0的s值極點(diǎn)：使G(s)

分母為零的s

值G(s)

的零極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)渡過(guò)程。三、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)G(s)

的極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。66當(dāng)s＝0時(shí)若輸入為單位階躍函數(shù)，則G(0)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出，也是系統(tǒng)的放大倍數(shù)67設(shè)系統(tǒng)有b個(gè)實(shí)零點(diǎn);c

對(duì)復(fù)零點(diǎn);d個(gè)實(shí)極點(diǎn);e對(duì)復(fù)極點(diǎn);v

個(gè)零極點(diǎn)b+2c=mv+d+2e=n典型環(huán)節(jié)的產(chǎn)生§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)68比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)691．比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）凡輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時(shí)的)()(0tKxtxi=微分方程：KsXsXsGi==)()()(0傳遞函數(shù)：，K：放大系數(shù)（增益）環(huán)節(jié)稱比例環(huán)節(jié)。方框圖:KXi(s)X0(s)70°R1R2°u0(t)ui(t)+運(yùn)算放大器ui(t)——輸入電壓u0(t)——輸出電壓R1、R2——電阻)()(120tuRRtui-=)()(120sURRsUi-=拉氏變換：已知：例：71彈簧受力如圖：圖2-9y(t)kf(t)ky(t)=f(t)kY(s)=F(s)ksFsYsG1)()()(==例：72時(shí)域內(nèi)用一階微分方程表示的環(huán)節(jié)微分方程：傳遞函數(shù)：1)()()(0+==TsKsXsXsGi方框圖：Xi(s)X0(s)1+TsKK：增益；T：時(shí)間常數(shù)2．慣性環(huán)節(jié)73R、C電路如圖RCu0iui圖2-10例：)()()(00tututuRCi=+.74彈簧——阻尼系統(tǒng)，xi(t)輸入位移，x0(t)輸出位移x0(t)kCxi(t))]()([0txtxkfik-=)(0txCfC&=受力平衡fC=fk)]()([)(00txtxktxCi-=&)())(00tkxtkxtxCi=+&例：(75

時(shí)域內(nèi)，輸出量正比于輸入量的微分。微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：G(s)=Ts

)()(0txTtxi&=方框圖：TsXi(s)X0(s)3．微分環(huán)節(jié)理想微分實(shí)際微分慣性T0運(yùn)動(dòng)方程式：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：76例：微分運(yùn)算電路－＋77在實(shí)際的機(jī)電控制工程系統(tǒng)中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實(shí)現(xiàn)，通常用

(其中T，K為常數(shù))

來(lái)近似微分環(huán)節(jié)。

例3如圖所示的無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)

(其中K=1，T=RC)

78微分環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的控制作用：（1）使輸出提前（2）增加系統(tǒng)的阻尼（3）強(qiáng)化噪聲79時(shí)域內(nèi)，輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。TssG1)(=傳遞函數(shù)：T：積分時(shí)間常數(shù)方框圖：Xi(s)X0(s)Ts14．積分環(huán)節(jié)

！記憶效應(yīng)

！積分輸入突然除去積分停止輸出維持不變例1：電容充電例2：積分運(yùn)算放大器80!積分環(huán)節(jié)具有明顯的滯后作用如當(dāng)輸入量為常值A(chǔ)時(shí)，輸出量須經(jīng)過(guò)時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t=0時(shí)的值A(chǔ)。！改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能81例1電容充電82有源積分網(wǎng)絡(luò)ui(t)——輸入電壓u0(t)——輸出電壓R—電阻C—電容dttduCRtui)()(0-=已知：例2：Ru0(t)ui(t)C+83時(shí)域內(nèi)，以二階微分方程描述的環(huán)節(jié)。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi=++&&&x微分方程：)()()12(022sXsXTssTi=++x傳遞函數(shù)：121)(22++=TssTsGx2222nnnsswxww++=T：振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)ωn：無(wú)阻尼固有頻率ξ：阻尼比5．振蕩環(huán)節(jié)84m—k—c系統(tǒng)：R—L—C電路：kcsmssG++=21)(

11)(2++=RCsLcssG

方框圖：Xi(s)X0(s)2222nnnsswxww++例：)()()()(tftkytyctym=++...)()()(000tututuRCuLCi=++...585

時(shí)域內(nèi)，輸出滯后輸入時(shí)間τ，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)微分方程：)()(0t-=txtxi方框圖：e—τsXi(s)X0(s)6．延時(shí)環(huán)節(jié)86延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時(shí)間內(nèi)沒(méi)有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。87例1水箱進(jìn)水管的延時(shí)882．慣性環(huán)節(jié)6．延時(shí)環(huán)節(jié)1．比例環(huán)節(jié)3．微分環(huán)節(jié)4．積分環(huán)節(jié)5．振蕩環(huán)節(jié)892.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

方框圖及其簡(jiǎn)化

一、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖數(shù)方塊圖（或結(jié)構(gòu)圖）。它是用圖形表示的系統(tǒng)模型。用傳遞函數(shù)方框?qū)⒖刂葡到y(tǒng)全部變量聯(lián)系起來(lái)，描述各環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞關(guān)系的圖形，稱為系統(tǒng)傳遞函它不同于物理框圖，著眼于信號(hào)的傳遞。90(2)信號(hào)引出點(diǎn)（線）/測(cè)量點(diǎn)

表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

(1)

信號(hào)線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。1

方框圖構(gòu)成要素91(3)函數(shù)方塊(環(huán)節(jié))

函數(shù)方塊具有運(yùn)算功能(4)相加點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）

(a)

用符號(hào)“”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示

(b)

箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)922.系統(tǒng)方框圖的建立：（1）建立系統(tǒng)的微分方程；（2）對(duì)微分方程進(jìn)行Laplace變換，并畫出相應(yīng)的方框圖；（3）按照信號(hào)的傳遞順序，依次將各傳遞函數(shù)方框圖連接起來(lái)。93例：圖2.1.3的液壓伺服機(jī)構(gòu)94R、C電路如圖RCu0iui例：95961．環(huán)節(jié)的串聯(lián)Xi(s)G1(s)X(s)G2(s)X0(s)Xi(s)G(s)X0(s)圖2-13)()()()()()()(00sXsXsXsXsXsXsGii==)()(2sGsG1=?==niisGsG1)()(二、傳遞函數(shù)方框圖的等效變換97)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii+==)()(21sGsG+=?==niisGsG1)()(Xi(s)G1(s)G2(s)X0(s)X02(s)X01(s)++圖2-142．環(huán)節(jié)的并聯(lián)98Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)（1）偏差信號(hào)：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=（2）前向通道傳遞函數(shù)G(s))()()(0sEsXsG=（3）反饋通道傳遞函數(shù)H(s))()()(0sXsXsHB=3．反饋聯(lián)接99)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK===（5）閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)：（4）開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)：Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)對(duì)正反饋：100對(duì)于單位反饋：H(s)=1G(s)Xi(s)X0(s)-+1圖2-16)(1)()(sGsGsGB+=1011）分支點(diǎn)前移：規(guī)則：分支路上串入相同的傳遞函數(shù)方塊XGXGXGXGGXGXG2）分支點(diǎn)后移：規(guī)則：分支路上串入相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方塊XGXGXXGXG1GX4．分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則1021）相加點(diǎn)前移GX2X1G—X2+-X1+GX1G—X21GX2-2）相加點(diǎn)后移X1GX2（X1—X2）G+-X1GX2G（X1—X2）G+-5．相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則103A++A+B-CB+C-A++A+B-CC+B-圖2-257．相加點(diǎn)分離規(guī)則B+C-A+B-CA+B+A+A+B-C-C圖2-266．相加點(diǎn)交換規(guī)則104A-BA+B-A-BA+B-A—BA—BB-分支路上補(bǔ)加信號(hào)-B圖2-279．分支點(diǎn)移動(dòng)到相加點(diǎn)后AA-BA+-BA++B+AB-A-B分支路上補(bǔ)加信號(hào)+B圖2-288．分支點(diǎn)移動(dòng)到相加點(diǎn)前10510．反饋方框化為單位反饋Xi+-HGX0Xi1H+GHX0-GHGGB+=1GHGGHGHHG+=+=111總圖2-291）解除方塊圖中的交叉聯(lián)系（結(jié)構(gòu)）2）按等效規(guī)則，先環(huán)內(nèi)后環(huán)外逐步使方塊得到簡(jiǎn)化3）求傳遞函數(shù)方塊圖的簡(jiǎn)化及系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取106Ｘ0Ｘi+A+BG1+H2H1G2G3D-ＥＦ-+C圖2-30解：1）相加點(diǎn)C前移（再相加點(diǎn)交換）Ｘi+A+BG1H1G2G3D-ＥＦＸ0+1G1H2-+圖2-31例1：1072）內(nèi)環(huán)簡(jiǎn)化3）內(nèi)環(huán)簡(jiǎn)化Ｘi+A-ＥＦＸ01G1H2-C+G1G2G31-G1G2H1圖2-32Ｘi+Ｆ(E)Ｘ0-G1G2G31—G1G2H1+G2G3H2圖2-331084）總傳遞函數(shù)ＸiＸ0

含有多個(gè)局部反饋的閉環(huán)系統(tǒng)中，當(dāng)滿足下面條件時(shí)1）只有一條前向通道2）各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方塊?+=][1)