高中數(shù)學(xué)人教B版第一章立體幾何初步 第一章基本知能檢測

第一章基本知能檢測班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．圖(1)是由圖(2)中哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()答案：A2．兩條不平行的直線，其平行投影不可能是()A．兩條平行直線B．一點和一條直線C．兩條相交直線D．兩個點答案：D解析：如果兩條直線的平行投影都是點，說明這兩條直線都與投射線平行，所以這兩條直線也是互相平行的．這就與已知相矛盾，因此選D.3．長方體一個頂點上的三條棱長分別為3,4，x，表面積為108，則x等于()A．2B．3C．5D．6答案：D解析：該長方體的表面積為2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.4．過圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：B解析：由條件知圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，所以體積為eq\f(\r(3),3)π.5．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的側(cè)面積等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2答案：B解析：由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為3cm，母線長為5cm的圓錐，其側(cè)面積為πrl＝π×3×5＝15π6．若α⊥β，α∩β＝l，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行答案：C解析：兩平面垂直，兩直線分別在兩平面內(nèi)，且兩直線與交線不垂直，兩直線若平行，則均與交線平行，因此可能平行；若a與b垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，則a與l垂直或b與l垂直，與已知矛盾，選C.7．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，高為1，M為線段AB的中點，則三棱錐C－MC1D1的體積為\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1D1C·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).8．如圖所示，水平放置的圓柱形物體的三視圖是()答案：A解析：此題主要研究實物體到三種視圖的轉(zhuǎn)化過程，主視圖是從正面觀察物體的形狀，左視圖是從左側(cè)面去觀察，俯視圖是從上往下看物體的形狀如何．從正面看是個矩形，從左面看是個圓，從上往下看是一個矩形，對照圖中A、B、C、D，可知A是正確的．9．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是()A．若a⊥α，b∥α，則a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b?β，則α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bD．若a∥α，a∥β，則α∥β答案：D解析：由題意可得A、B、C項顯然正確，對于選項D：當α、β相交，且a與α、β的交線平行時，有a∥α，a∥β，但此時α與β不平行．故選D.10．給出下列命題：①和直線a都相交的兩條直線在同一個平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；③有三個不同公共點的兩平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個平面，其中正確命題的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個答案：A解析：兩兩相交且過同一點的直線，可以不在同一平面內(nèi)，所以①②都錯；兩平面相交，也可以有三個不同的公共點，所以③錯；兩兩平行的三條直線可以在同一平面內(nèi)，所以④錯．11．如右圖所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一個動點，則AP＋PD的最小值為()\r(5)B．2eq\r(2)C．3\r(10)答案：D解析：把α、β展開成一個平面，如圖，作AE∥BC，延長DC交AE于E，則AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).12．若正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，點M是棱AB的中點，則在該正方體表面上，點M到頂點C′的最短距離是()A．6B．10C．2eq\r(17)D．2eq\r(13)答案：D解析：將正方體沿側(cè)棱AA′剪開，展成一個平面再求最短距離．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為3，圓心角為120°的扇形，則此圓錐的體積為________．答案：eq\f(2\r(2)π,3)解析：設(shè)扇形的圓心角為θ，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由θ＝360°×eq\f(r,l)，得120°＝360°×eq\f(r,3)，所以r＝1，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(32－12)＝eq\f(2\r(2)π,3).14．已知三條相交于一點的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且A、B、C在同一平面內(nèi)，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是△ABC的________．(填內(nèi)心、外心、垂心、重心中的一個)答案：垂心解析：如圖所示，∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，BC?平面PBC，∴BC⊥PA.又∵BC⊥PH∴BC⊥平面PAH，AH?平面PAH∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB.∴H是△ABC的垂心．15．若兩個球的半徑之比為1：2，且它們的體積之和為12π，則它們的表面積之和為________．答案：20π解析：設(shè)兩球半徑分別為r,2r，則體積之和為12πr3＝12π，r＝1，表面積之和為4π(r2＋4r2)＝20π.16．如圖所示，下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是__________．(寫出所有符合要求的圖形的序號)答案：①③解析：如圖①所示，因為MN∥AD，NP∥AC，所以平面MNP∥平面AB.故AB∥平面MNP.如圖②所示，AB與平面MNP不平行(反證法)，連接CD，再連結(jié)BE，分別交CD，MP于R，Q，連結(jié)NQ，若AB∥平面MNP，則AB∥NQ.又由N為AE的中點，R為BE的中點，得AB∥NR.在平面ABE中過點N有兩條相交的直線平行于AB，與平行公理矛盾，所以AB與平面MNP不平行．如圖③所示，連結(jié)CD，因為AD平行且等于BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以AB∥CD.又因為MP∥CD，所以AB∥MP.所以AB∥平面MNP.對于④，AB與平面MNP不平行(反證法)，如圖④所示，連結(jié)DM，ME.若AB∥平面MNP，因為MN∥DP，所以DM?平面MNP，又DM?平面ABMD，所以AB∥DM.又由AD平行且等于BC，得四邊形ABCD是平行四邊形，故AB∥CD.在平面ABCD中過點D有兩條相交直線平行于AB，與平行公理矛盾．于是AB與平面MNP不平行．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD且AB＝2CD，F(xiàn)為AB的中點證明：平面C1CF∥平面ADD1A1證明：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴AD∥CF，又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A∴CF∥平面ADD1A1又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A∴CC1∥平面ADD1A1又CC1?平面C1CF，CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A118．(12分)如圖，已知三棱錐A－BCD中，側(cè)棱長和底面邊長均相等，E是側(cè)棱AB的中點．求證：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC.解：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC＝AC,AE＝BE))?CE⊥AB，同理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD＝BD,AE＝BE))?DE⊥AB，又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.(2)由(1)知AB⊥平面CDE，又∵AB?平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.19．(12分)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，其中V1是三棱臺AEF－A1B1C1的體積，V2是多面體BCFEB1C1的體積，解：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.因為E、F分別為AB、AC的中點，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1：V2＝7：5.20．(12分)如圖所示，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中，內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．解：由題意解直角三角形，得結(jié)果R＝1.又h＝eq\r(3)，因此圓柱的表面積S＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.21．(12分)ABC－A′B′C′是正三棱柱，底面邊長為a，D、E分別是BB′、CC′上的點，BD＝eq\f(1,2)a，EC＝a.(1)求證：平面ADE⊥平面ACC′A′；(2)求截面△ADE的面積．解：(1)證明：取A′C′、AC的中點M、N，則MN∥A′A∥B′B.∴B′、M、N、B共面，B′M⊥A′C′.又B′M⊥AA′，∴B′M⊥平面A′ACC′.設(shè)MN交AE于點P，∵CE＝AC，∴PN＝NA＝eq\f(a,2).又BD＝eq\f(1,2)a，∴PN＝BD.∴PN∥BD.∴四邊形PNBD是矩形．∴PD∥BN，BN∥B′M.∴PD∥B′M.∵B′M⊥平面ACC′A，∴PD⊥平面ACC′A′，PD?平面ADE.∴平面ADE⊥平面ACC′A′.(2)PD⊥平面ACC′A′，∴PD⊥AE，PD＝B′M＝eq\f(\r(3),2)a，AE＝eq\r(2)a.∴S△ADE＝eq\f(1,2)×AE×PD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(6),4)a2.22．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2eq\r(5).(1)求證：BD⊥平面PAD；(2)求三棱錐A－PCD的體積．解：(1)證明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)過P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴P