2021-2022學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)金陵中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)(附詳解)

“”“函數(shù)(22“”“函數(shù)(2220212022年江蘇省南京市樓區(qū)金陵中學(xué)三（上）月考數(shù)學(xué)卷（12月份）一、單選題（本大題共8小題，40.0分

已知集??，，??)

B.

C.

D.

已知

，則(3

5

B.

35

C.

3

D.

3??,

是定義上的減函數(shù)”的C.

充分不必要條件充分必要條件

B.D.

必要不充分條件既不充分也不必要條件

已知直??：與

交于，兩點，為原點，且等

B.

C.

D.

已知數(shù)滿

為數(shù)???)3為數(shù)

B.

C.

D.

在平行六面體

中是長的方形

，，

√

B.

C.

√

D.

設(shè)函數(shù)

若對于任意的都立則實數(shù)的值范圍

[1,3]

B.,

C.

D.

,

設(shè)橢圓

：的、右兩個焦點分別、，頂點，為橢圓上一22點，且

，橢圓的心率

B.

33

C.

D.

第1頁，共頁

二、多選題（本大題共3小題，15.0分

對于實，，，列結(jié)論正確的是

若則B.

若

，則C.D.

若，則|若，在面直角坐標(biāo)中已知，，動滿足||則

存在點，得

B.

面積的最大值為C.

對任意的點，有

>3D.

有且僅個點，eq\o\ac(△,)的積為已正方體的邊長為棱的中點別為線段′，上動包括端，直線，與面′所成角分別，，

，則

存在點使得′

B.

C.

存在點，使得

5

D.

存在點，使得三、單空題（本大題共4小題，20.0分甲丙丁四人站成一排，其中甲不站排頭和排尾，共種不同的站用字作答．若數(shù)滿足，則最大值是．已，，在的面上eq\o\ac(△,)為邊三角且其面積為平，，球的面積______若在正數(shù)得

??中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_．四、解答題（本大題共6小題，72.0分中角所的邊分別√，??

．第2頁，共頁

求如，為邊上點，

??

，eq\o\ac(△,)????的積．已數(shù){滿，，

．設(shè)

，求證：數(shù)列

是等比數(shù)列；若列滿足

，實數(shù)的值范圍．一盒子里有個小相同的小球，其中個白球個黑球，現(xiàn)依次從盒中隨機摸出一個球且不放回，直個都被摸出，表示個球被兩個黑球隔成的段數(shù)例如出順序為“黑白白白白白白黑”此摸的序為“白黑白白黑白白白”，則此．求個黑球連在一起被摸出的概率；求的布列和期望．第3頁，共頁

2??如在面中eq\o\ac(△,)是長為的等邊三角形，√，是中，平面平面．2??求：面；是線上一點，若二面為直二面角，求的長．在面直角坐標(biāo)中已知橢圓

：2

??

22

??>??的離心率為，3兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形面積√．求圓的準(zhǔn)方程；我稱圓心在橢上為的圓是橢的“衛(wèi)星圓”原點橢的“衛(wèi)星圓”的兩條切線交于兩點

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．設(shè)(

??

，，中為然數(shù)的底數(shù)??．若對意的都成立，求實??的取值范圍；第4頁，共頁

設(shè)，當(dāng)時有三個同的零點，求實的最小值．第5頁，共頁

3,解得，即”“函數(shù)3,解得，即”“函數(shù)是上的減函數(shù)”的必定義在1.【答案】【解析】解：因為集合????{，，則??{．故選：．先求出集合，后利用集合交集的定義求解即可．本題考查了集合的運算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】【解析】解：已知，3所以

sin??cos1tan2

19

23

；5故選：．直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．本題考查的知識要點角函數(shù)關(guān)系式的變換要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】【解析】解：若函??,

是定義上的減函數(shù)，則

，且38383故“

(3??3要不充分條件，故選：．本題先根據(jù)(是上減函數(shù)可知(在一個分段上均為減函數(shù)，在分界點也要滿足遞減的條件，從而判的取值范圍，然后再作比較即可．第6頁，共頁

222222222，222222本題考查分222222222，2222224.【答案】【解析】解：聯(lián)立

，22消掉，整理得

2

2????2，設(shè)(,，由韋達定理，可，2

2

，所以??

22

2

2又2，所以

2

2

2，又，，故選：聯(lián)立

，222

2

22，??,)，韋達定2可得，

，然后求出

，再根據(jù)?

得的．本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題中需要理清思路，屬于中檔題．5.【答案】【解析】解：當(dāng)為數(shù)時，由???

得

?(

，解得，當(dāng)為數(shù)時，由

???

得

，即3??

2

，

隨增而增大隨增而減小，且，由

2

得，又2不足題意，綜上所述，的為，故選：．對分數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合結(jié)合指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，分別求出第7頁，共頁

，，，，，則本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．6.【答案】【解析】解：在平行六面體

中，底面是長為的方形，側(cè)，

，

，

，所以

，因此

，即．故選：由已知直接利用空間向量的加法運算及向量的模求解．本題考查了平行六面體性質(zhì)、空間向量運算性質(zhì)、數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】【解析證

442

423

，易知單遞增，，則時，，數(shù)單遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在處最值，此；再證明(，即，由函數(shù)??及的像易知，若對恒成立，只需處在圖上的最小在處兩個圖像相切處取得，第8頁，共頁

22222121112函數(shù)??的數(shù)為′當(dāng)時，′22222121112綜上，實數(shù)的值范圍為，故選：．分別證，恒成立，先證，形為

42

，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)取值范圍．再證，函數(shù)??及圖像易知，若使對于恒立，只需處在圖上的最小值在，兩個圖像相切處取得，求得參數(shù)取值范圍．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值查學(xué)生的邏輯思維能力和計算能力中檔題．8.【答案】【解析圓

：的、22右兩個焦點分別為、，頂點為，為圓上一點222，2

，可知：||2，|，設(shè)，得2??222

，4，22224?5．可得2

，解得

4

，故選：．畫出圖形，利用已知條件，通過求解三角形推出橢圓的離心率即可．本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，三角形的解法，是中檔題．9.【答案】第9頁，共頁

222????222333【解析】解：對于，令時則，222????222333對于，

22

，又

2

，，B確，對于，，||，C正，對于，，，

，即

，故正．故選：．根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【案【解析】解：動點滿|+|，由橢圓的定義可知點的跡是長軸長的圓．動的程為，

，為點，2存在點，

，以確；2

面積的最大值為：2×√3，所以B正確；2對任意的點所以不確；

的小值為|2，

的方程為：??2??，與平行的直線方程為????+??，聯(lián)立{

????+??2??216??

3264(3解得，時，2??????間的距離為

3

，此eq\o\ac(△,)??的面積為：，時直線方??2??，2平行線之間的距離為：

，eq\o\ac(△,)的面積為：，222所以有且僅個點，eq\o\ac(△,)的積為，所D正；2第10頁，共19頁

222225522故選：．222225522利用橢圓的定義可知的跡是以

為點長軸長的圓寫2橢圓方程解

eq\o\ac(△,)

面積的最大值斷

的最小值判；出的方程，求解平行線與橢圓相切的方程，然后解平行線之間的即可，求解三角形的面積，判．本題考查橢圓方程的求法線橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．【案【解析】解：如圖所示，以為標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(，，，所以′2，

2

2中，，過點′的線，垂足，作點作的線，垂足為，′平面，′平，所以直，與面′所的角分別，，即，，所以∠

′

，′2

，2因為

，以

2

2

2，即

2

，對于選，′，解得，足意，故正；對于選項，

，，所以

，又

2

，簡得故正確；對于選，，2正確；對于項，

2+4=

，解得{或{2，足題意，故C2第11頁，共19頁

33，?，又即33所以，，是2

，令(

，，又

，5故由零點存在定理可在上在零點，即方程

2

在內(nèi)解，滿足題意，故D正．故選：．建系設(shè)點坐標(biāo)作出題中的線面合

得2

2

，依次判斷各個選，否有解即可．本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用查零點存在定理查直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，屬于難題．【案【解析】解：先安排甲站中間一位置，然后安排其余了隨機站位，即．故答案為：．先安排甲站中間一個位置，然后安排其余隨機站位即可．本題考查有特殊元素的排列問題，屬基礎(chǔ)題．【案3【解析】解：設(shè)，，則

，

，(

，復(fù)在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)的點的集合是以原為心，為半徑的圓，|表示圓上的點到的離，|的最大值是點與心的距離再加上半徑√2．故答案為：．根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解．第12頁，共19頁

則22本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于中檔題．則22【案【解析】解：為邊三角形且其面積為，eq\o\ac(△,)的長為，4，得．44由正弦定理可eq\o\ac(△,)接圓的半徑為?2??????60°

，平面，2，四體的接球的半徑22，球的表面積42．故答案為：．由正弦定理可eq\o\ac(△,)接圓的半徑用勾股定理可得四面的接球的半徑，即可求出球的面積．本題考查球的表面積學(xué)的計算能力四面的接球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．【案4

2

【解析】解：因為

2

????，所以，令，則

??，因為，為數(shù)，所以，所以存，得

2

??成，令(??

2

??，??2，且??

2

????

2

，調(diào)遞減，所以在0,

2

上，，單遞增，在

2

,上，單遞減，所以(

????

??22

，第13頁，共19頁

2??????????，25，25??????????，25，??????2????．??，2??????????，25，25??????????，25，??????2????．??，2??2??，則??215245故答案為：4

2

根據(jù)題意可，令，則2??????

，題轉(zhuǎn)化為存在，得

2

成，

2

??，??與????)有交點，即可得出答案．本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．【案】解：

5????，22????????22由正弦定理，可????

??2

√5????????，????????222，，則，22525

，??2222

√5555(2)????????225

，????，∠????????，??

??????22

??，??????2????，2又????????)

??2

，在????中由正弦定理，可得，??∠，

2

，eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??

??2

152

∠

2

5

45

8

278

．【解析根已知條件，結(jié)合正弦定理可得，????倍角公式求解即可．

??2

??，結(jié)合二(2)

2

??25

，再根據(jù)已知條件，運用誘導(dǎo)公式，可得??2??，5第14頁，共19頁

??1????121????????1??1??221??21522??2再結(jié)合正弦定理和三角形面積公式求解即可．??1????121????????1??1??221??21522??2本題考查了三角函數(shù)與解三角的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生較強的綜合能力，屬于中檔題．17.答案證明由知

??2

??1??1

??

即

??

且，則數(shù)列

是以為項，為公比的等比數(shù)列．解由知????1??

??

，則當(dāng)??時其??項和

????????2

??

，則

??

，??，且

也足通項，則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，

??

，若滿足

??，，即實數(shù)的值范圍．【解析將件化為

??2

??1??1??

，

??

，從而證得數(shù)

是等比數(shù)列；求數(shù)的項由累加法求得數(shù)列}的通項并據(jù)單調(diào)性求得參數(shù)取值范????圍．本題主要考查數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，以及累加法求和的應(yīng)用，屬于中檔題．【案】解設(shè)個黑球連在一起被摸出的事件，據(jù)捆綁法得：7??8

，

??8

，7??8

????8

，5??8分布列如下：

，第15頁，共19頁

175，，得，175，，得，，7

28

1728

514期望為

28

22814

3

6528

．【解析由意，利用捆綁法即可求得，先求取，，時概率，再列出分布列，再求期望即可．本題考查隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．【案】解：是邊的邊三角形，又，由勾股定理，，故平，又中，由于平平面，知面，則，又平平面，可得平面．以點為點方向為軸向為軸方向為軸立直角坐標(biāo)系，則，√，，設(shè)(，可得平內(nèi)

法向

??,3

，平面內(nèi)，，法向量，設(shè)直二面角的面，則

4可得．4【解析由知利用線面垂直的判定可證平面，而可證，用面面垂直的性質(zhì)可證平面，，進而根據(jù)線面平行的判定即可證平．第16頁，共19頁

6?2?222100200，22222021226?2?222100200，2222202122，212121121)22設(shè)直二面角的面，由，，求得值，即可得解的．本題主要考查了線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定，考查了空間向量以及二面角的平面角及求法，屬于中檔題．20.

【答案】解：由意可得，解得{

，，橢的程為

．當(dāng)線，的率存在時，記為，，則直線，的程為

，，設(shè)橢圓的′衛(wèi)圓的圓??，直，是圓的切線，

21

||，22

3化簡可，，，是關(guān)的二次方程

??

的兩個根，020

，(,在橢圓上，00

，020

0

，設(shè)(,，,，由{2，{22

，解得2

，2212

，|

2212

，???

21

，|

1

9??9??

11，2211|

為定值．若和其中一斜率不存在，不妨率不存在，設(shè)圓心在一象限，與相切，所直線，圓橫坐標(biāo)為半，點切點，坐標(biāo)與圓心縱坐標(biāo)相同，第17頁，共19頁

??2????22又圓在橢圓上，由??2????22

224

??，圓與軸相切，切點為(，此|

2

2

．綜上所述，當(dāng)直，其中一條斜率不存在時

2

2

；當(dāng)直線，斜存在時

22【解析離心率及兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形的面積間的關(guān)系求出的，進而求