高中數(shù)學(xué)北師大版第一章三角函數(shù)單元測試 學(xué)業(yè)分層測評第1章3弧度制

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．在半徑為10的圓中，eq\f(4π,3)的圓心角所對的弧長為()\f(40,3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)π D．eq\f(400,3)π【解析】l＝|α|r＝eq\f(4π,3)×10＝eq\f(40π,3).【答案】A2．(2023·華陰高一檢測)自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過()\f(5π,11)rad B．eq\f(44π,5)rad\f(5π,22)rad D．eq\f(22π,5)rad【解析】由題意，當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過eq\f(88,20)周，eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).【答案】B3．與30°角終邊相同的角的集合是()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))【解析】與30°角終邊相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z化為弧度制為α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.【答案】D4．(2023·宜川高一檢測)終邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角α的集合是()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))【解析】終邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角，即角的終邊落在了直線y＝x上，即此角的終邊為第一、三象限角的平分線，故角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)).【答案】D5．若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所對的扇形面積是()A．4cm2 B．2cm2C．4πcm2 D．2πcm2【解析】設(shè)扇形的半徑為r，則由l＝|α|r，得r＝eq\f(4,2)＝2(cm)，∴S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×2×22＝4(cm2)，故選A.【答案】A二、填空題6．(2023·榆林高一檢測)若扇形圓心角為216°，弧長為30π，則扇形半徑為________.【導(dǎo)學(xué)號：66470005】【解析】216°＝216×eq\f(π,180)＝eq\f(6π,5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5)·r＝30π，所以r＝25.【答案】257．用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的集合為________．【解析】y軸對應(yīng)的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y軸右側(cè)角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))8．時鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為________．【解析】顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了兩周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.【答案】－eq\f(14π,3)三、解答題9．已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長為6，求：(1)的長；(2)扇形所含弓形的面積．【解】(1)∵120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，∴l(xiāng)＝|α|·r＝6×eq\f(2,3)π＝4π，∴的長為4π.(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AB于D點(diǎn)，于是有S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD＝eq\f(1,2)×2×6×cos30°×3＝9eq\r(3).∴弓形的面積為S弓＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3)，∴弓形的面積是12π－9eq\r(3).10．已知α＝－800°.(1)把α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；(2)求角γ，使γ與角α的終邊相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).【解】(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14,9)π.∴α＝－800°＝eq\f(14,9)π＋(－3)×2π.∵角α與eq\f(14,9)π終邊相同，∴角α是第四象限角．(2)∵與角α終邊相同的角可寫為2kπ＋eq\f(14,9)π，k∈Z的形式，由γ與α終邊相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又∵γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)<2kπ＋eq\f(14π,9)<eq\f(π,2)，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).[能力提升]1．設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋－1k×\f(π,2)，k∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，則集合A與B之間的關(guān)系為()A．AB B．ABC．A＝B D．A∩B＝?【解析】分別取k＝0,1,2,3知A中元素為0，eq\f(π,2)，eq\f(5π,2)，B中元素為eq\f(π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(9,2)π，eq\f(13,2)π，顯然AB.【答案】A2．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是()A．2 B．sin2C．2sin1 D．eq\f(2,sin1)【解析】設(shè)圓的半徑為R，則sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1).故所求弧長為l＝α·R＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).【答案】D3．已知∠AOB＝1rad，點(diǎn)A1，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一個實(shí)線段和虛線段長均為1個單位，一個動點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，沿著實(shí)線段和以O(shè)為圓心的圓弧勻速運(yùn)動，速度為1單位/秒，則質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)A10點(diǎn)處所需要的時間為________秒．圖1－3－4【解析】＝10.直線段共走10段．所以總路程為1＋2＋3＋…＋10＋10＝65.所以所需時間為65秒．【答案】654.如圖1－3－5，圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓交x軸正半軸于A點(diǎn)，P，Q是圓上的兩個動點(diǎn)，它們同時從點(diǎn)A出發(fā)沿圓周做勻速運(yùn)動．OP逆時針方向每秒轉(zhuǎn)eq\f(π,3)，OQ順時針方向每秒轉(zhuǎn)eq\f(π,6).試求P，Q出發(fā)后每五次相遇時各自轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)及各自走過的弧長．圖1－3－5【解】易知，動點(diǎn)P，Q由第k次相遇到第k＋1次相遇所走過的弧長之和恰好等于圓的一個周長2πR，因此當(dāng)它們第五次相遇時走過的弧長之和為10πR.設(shè)動點(diǎn)P，Q自A點(diǎn)出發(fā)到第五次相遇走過的時間為t秒，走過的弧長分別為l1，l2，則l1＝eq\f(π,3)tR，l2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))·tR＝eq\f(π,6)tR.因此l1＋l2＝eq\f(π,3)tR＋eq\f(π,6)tR＝10πR，所以t＝eq\f