高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試 全國(guó)公開課

選修1-2第二章2.1一、選擇題1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600974)()A．28 B．32C．33 D．27[答案]B[解析]由以上各數(shù)可得每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.2．下列關(guān)于歸納推理的說法錯(cuò)誤的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600975)()①歸納推理是由一般到一般的推理過程；②歸納推理是一種由特殊到特殊的推理；③歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確；④歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能．A．①② B．②③C．①③ D．③④[答案]A[解析]歸納推理是一種由特殊到一般的推理，類比推理是一種由特殊到特殊的推理．3．觀察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般結(jié)論是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600976)()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[答案]B[解析]觀察各等式的構(gòu)成規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，各等式的左邊是2n－1(n∈N*)項(xiàng)的和，其首項(xiàng)為n，右邊是項(xiàng)數(shù)的平方，故第n個(gè)等式首項(xiàng)為n，共有2n－1項(xiàng)，右邊是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．下列哪個(gè)平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對(duì)象較合適eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600977)()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對(duì)象較為合適．5．觀察右圖圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600978)()A． B．△C．? D．○[答案]A[解析]圖形涉及○、△、?三種符號(hào)；其中△與○各有3個(gè)，且各自有兩黑一白，所以缺一個(gè)黑色?符號(hào)，即應(yīng)畫上才合適．6．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600979)()A．eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可類比[答案]C[解析]我們將扇形的弧類比為三角形的底邊，則高類比為扇形的半徑r，∴S扇＝eq\f(1,2)lr.二、填空題7．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題：\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600980)[答案]sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2)[解析]觀察每個(gè)式子中三個(gè)角的關(guān)系：三個(gè)角分別成等差數(shù)列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根據(jù)式子中角的這種關(guān)系，可以歸納得出：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).8．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四邊形中不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五邊形中eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n邊形A1A2…An中有不等式：________成立.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600981)[答案]eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)[解析]不等式的左邊是n個(gè)內(nèi)角倒數(shù)的和，右邊分子是n2，分母是(n－2)π，故在n邊形A1A2…An中有不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)成立．9．在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC．拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600982)[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC[解析]將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC．三、解答題10．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600983)(1)求f(4)；(2)當(dāng)n>4時(shí)，求f(n)(用n表示)．[解析](1)如圖所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5.……∴每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù)．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)．一、選擇題1．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如下圖)，則第七個(gè)三角形數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600984)()A．27 B．28C．29 D．30[答案]B[解析]后面的三角形數(shù)依次在前面的基礎(chǔ)上順次加上2,3,4,5，……，故第七個(gè)三角形數(shù)為21＋7＝28.2．如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排列下去，那么第36顆珠子的顏色是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600985)()A．白色 B．黑色C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大[答案]A[解析]由圖知，這串珠子的排列規(guī)律是：每5個(gè)一組(前3個(gè)是白色珠子，后2個(gè)是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子，其顏色與第一顆珠子的顏色相同，故它的顏色一定是白色．3．(2023·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600986)()A．eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)[答案]C[解析]將△ABC的三條邊長(zhǎng)a、b、c類比到四面體P－ABC的四個(gè)面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)eq\f(1,2)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)eq\f(1,3)，從而可知選C．證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).4．對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖所示的“分裂”，仿此，記53的“分裂”中的最小數(shù)為a，而52的“分裂”中的最大數(shù)是b，則a＋b＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600987)[答案]30[解析]根據(jù)圖中的“分裂”規(guī)律，可知a＝21，b＝9，故a＋b＝30.二、填空題5．(2023·天津五區(qū)縣高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝2p(m、n、p∈N＋)，則am＋an＝2ap，類比上述結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中，若m＋n＝2p，則得到的結(jié)論是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600988)[答案]bmbn＝beq\o\al(2,p)[解析]設(shè)等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，則bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，∴bm·bn＝beq\o\al(2,1)qm＋n－2，beq\o\al(2,p)＝beq\o\al(2,1)q2p－2，∵m＋n＝2p，∴bmbn＝beq\o\al(2,1)q2p－2＝beq\o\al(2,p).6．(2023·陜西文)觀察下列等式eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600989)1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)……據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．[答案]1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).[解析]等式左側(cè)規(guī)律明顯，右側(cè)是后幾個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)和，再注意到左右兩側(cè)項(xiàng)數(shù)關(guān)系求得．三、解答題7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，計(jì)算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表達(dá)式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600990)[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；當(dāng)n＝3時(shí)，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)；∴S3＝－eq\f(3,5)；當(dāng)n＝4時(shí)，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N*)．8．若a1、a2∈R＋，則有不等式eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2成立，此不等式能推廣嗎？請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)不同類型的推廣.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600991)[解析]本例可以從a1、a2的個(gè)數(shù)以及指數(shù)上進(jìn)行推廣．第一類型：eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3),3)≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3))2，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＋a\o\al(2,4),4)≥(eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4))2，…，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n),n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))2；第二類型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al(3,2),2)≥(eq\f(a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al