2021北京房山高三數(shù)學(xué)二模試題及答案

房山區(qū)高三模試題數(shù)

2021.05本試卷共頁，150分考試時長120分。考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存。第部

（選擇題共40分）一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求一項。(1)已全集U4}集合AxZ(0}，B={2,3}，則(AB)=U(A)

{3}

(B)

{4}

(C)

{3

(D)

{1(2)若數(shù)z

2

xi

（

i

為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)

的值為(A)

1

(B)2(C)

(D)(3)△ABC中BC，A

sinBCeq\o\ac(△,)(A)

6

(B)6

(C)

9

(D)

4(4)(A)(B)

3

(C)(D)

55

1正視圖

左視圖俯視圖(5)某司購買一批機器投入生產(chǎn)，若每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤

（萬元）與機器運轉(zhuǎn)時間t（數(shù)，N系

t64

.要年平均利潤最大則每臺機運轉(zhuǎn)的年數(shù)

t為(A)

(B)

6

(C)

7

(D)

(6)(3,4)

tan

(A)

(B)

(C)

(D)

(7)F，F(xiàn)C:

3

2

OOPOFPFF

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)30M

MlgA

A5

7

級，修訂后

8

級，則修訂后的(A)

(B)

(C)

lg

(D)

(9)0

是函數(shù)

()

lnxxxax0

有且只有一個零點”的(A)(C)

(B)(D)(10)立該校高三有13.比賽結(jié)果在2，班獲“1班、4班中.已知（）(A)乙

(B)甲

(C)

(D)乙，丙

第二部分

（非選擇題共110分二填空共5小題每題5分共25分(11)函sinxcos

的最小正周期為

(12)若個點M6)

，

，，6)

中恰有兩個點在拋物線

y

上，則該拋物線的方程為(13)

2(14)b(15)R

M

l:

Nl:2P

AB

:(x2

||2

①l1

l2

②PMPN

③P

(y

④PAPB

4三解題6小，85分解應(yīng)出字明演步驟證過。16（小題14分）如圖在四棱錐

P

中面

ABCD

是矩形E

為

PC

的中點PA

平面

ABCD

，AB2

，

AD2

，PA2

.

P（Ⅰ）求證

CDPD

；（Ⅱ）求異面直線BC

所成角的大.

EA

DB

C

17（小題14分）已知數(shù)列

{}

是一個公比為q0,1)

的等比數(shù)列，，S是列{}的項，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，解答下列問題：（Ⅰ）求數(shù)列

{}

的通項公式；（Ⅱ）令

2loga，數(shù)列{}前n項和的小值nn條件①條件②

,3a3an

成等差數(shù)列；；條件③

.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計18（小題14分）為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì)地開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活.活動結(jié)束后用單隨機抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生的成績，按照不同年齡段分組記錄如下表：組別第一組第二組第三組第四組第五組

合格8860

男生

不合格1240

合格7258

女生

不合格2842合計

假設(shè)每個中小學(xué)生跳繩成績是否合格相互獨.（Ⅰ）從樣本中的中小學(xué)生隨機抽

人，求該同學(xué)跳繩成績合格的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生、女生中各隨機抽取1

人，記這

人中恰有人跳繩成績合格，求的布列與數(shù)學(xué)望；（Ⅲ該地區(qū)中小學(xué)生跳繩績合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的頻率相等，用“

”表示第k組同學(xué)跳繩成績合格，“

”表第組同學(xué)跳繩成績不合格(

1,2,3,4,5

)，試確定方差DD,D中個最大？哪最??？（只需寫出結(jié)論）．

19（小題15分）已知函數(shù)

fx)

，

(x)ax

.（Ⅰ）求曲線

yf()在(0,f(0))處切線方程；（Ⅱ）設(shè)F(x)g(xf()

，當(dāng)

時，求函數(shù)Fx)

ππ在區(qū)間[,]

上的最大值和最小值；ππ（Ⅲ當(dāng)x[,]

時試寫出一個實數(shù)a的值使(

的圖像在yg()

的圖像下方不需要說明理由）20（小題14分）已知橢圓

2yC：a2b

22

的離心率為，

O

為坐標(biāo)原點，

是橢圓

的右焦點，A為圓一點，且AF軸（Ⅰ）求橢圓的方程；

AF

．（Ⅱ過圓上點

y:

y0與線AF相交于點M與直2線相于點N證明：(21)(本題14分)

MFNF

為定值．已知數(shù)集

a,a,2,*)122

.如果對任意i,ji≤j且i,j,

)，ai

j

與

ajai

兩數(shù)中至少有一個屬于則稱數(shù)集具性質(zhì).（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{

，{1,3,

是否具有性質(zhì)

P

，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)集

a,N*)12312

具有性質(zhì)P.①若

*

(k

,證：對任意

1i(inN*

都有是a的數(shù)；in②證：

a

a2

.

房區(qū)高二試參答數(shù)一選題8小題，小5分，共分。每題列的個項，出合目求一。題號

(6)(8)）（10答案

(B)

（）（A））））（）（）

(B)二填題5小題每小5分，分。（11）

（12）

y2

（13）

243

（14）

（15）①②注第15）全選對5分，選有選0分其得分三解題6小，85分解應(yīng)出字明演步驟證過。解：（Ⅰ）因為

ABCD

且

CD

ABCD

PA為矩形，

…分AD

CD

………………2分又因為

,

…分AD,CDPD.

…分…分……6分（Ⅱ）解1：因為PA，AD

ABCD所以PA

，

.因為

ABCD

為矩形，所以AB.分別以AB,x軸y軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B，E

…分…分

2,1)

，

………………分2,0)

.………………分所以

BC

AEAE

22

.……11分設(shè)異面直線

BC

與

所成的角為

，則θAE

，……12因為所以

0,

.

……13分所以異面直線BC與AE

所成的角的大小是π.…分2,1)

，

……9分2,0)

.…分設(shè)異面直線

BC

與

所成的角為則θcosAEBC

AEBCAEBC

…分因為

0,

……13分

所以

.所以異面直線與

所成的角的大小是

.………………分解2:PB

F

,AF

點E為的點，EFBC……7分

BC

與AE

所成的角.

…8分因為底面

ABCD

是矩形，所以

BC2

,

AC

.又因為EF

為

PBC

的中位線，所以EF

.

……9分又因為，AB,，所以PA

，.在直角三角形

中，因為ABPA

，所以點F為PB

所AF

PB2,

………………分同理可得PC4,AE

.

……11分△

EF

2,AE

2AF

2

.所eq\o\ac(△,以)eq\o\ac(△,)AEF

.

…分因為

，

……13分.所以異面直線BC與AE

所成的角的大小是

.

…分PFA

DB

C（17解：Ⅰ）選：

……1分因為

,3a3

成等差數(shù)列，

所以

a+2.，3a242

.

……2分因為

{}

是一個公比為qq

的等比數(shù)列，所以a=2q22

2

，……3分即

q

.解得q（去）或q

……4分因為=1，所以qn1

n

2

n

.

……6分選：

……1分因為

aan

（nNn

），

………………分所以

，

……3分所以

nn

.

……4分所以數(shù)列

{}是首a=1，公比2的比數(shù)列1所以

an

n

n

.

……分選：因為

，

……分所以

23

，

………2分即

q11

2

.

………3分因為

=1，所以

q+

.解得或

（舍去）

………4分所以

an

n

………6分（Ⅱ）解：因為

2logn2

n

2

n

，

………7分

2(

…分且有

bn

n

,…9分所數(shù)列

n

為首項，2

為公差的等差數(shù).………10分因為

Tn

nb+b)n2

………11分所以

T

n(+2

n

………12分=（

(nN

………13分當(dāng)時T有小值，即為.……14（Ⅱ）解：依題意得b2loga2n2n.

n

分………8分令

，………9分解得

n

.

………10分令

，…分解得n所以數(shù)列



的前4項是負(fù)值從第5項起是正值…分所以當(dāng)時有小值，…分最小值為T=

=

.

……分（18解：Ⅰ）設(shè)事件=從樣本中的中小學(xué)生隨機抽取1人該同學(xué)跳繩成績合格”………1分樣本中男生跳繩成績合格的有：90+88+60+80+82=400樣本中女生跳繩成績合格的有：樣本中男、女跳繩成績合格的共有：400+350=750

人，人，……分樣本中的男生總?cè)藬?shù)：

人，樣本中的男生總?cè)藬?shù)：350+150=500人樣本中男、女生總數(shù)：500=1000，……3分

所以(A)

3503．5004

………4分（Ⅱ）設(shè)事件=“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生隨機抽取1個該生跳繩成績合格,則4004(=500

;

………5分設(shè)事件C=“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的女生中隨機抽取個該生跳繩成績合格”，則7()．由題可知X的能取值為

……分……分43(X())(C)(1))550

；…8分7419P(X(BC)()(C)(B)()))104714P(X(BC)()(C)=51025所以的布列為

．………………9分XP

350

1950

1425所以的學(xué)期望E（Ⅲ）D小，D

19325

……10分．…12…分（19解（Ⅰ因為

f

(cosx)

，……………分kf

.…2f(0)

，所以切點為

…分所以曲線yf(

在點f(0))

處的切線方程為x

……4分（Ⅱ）解1：F

cos

x

……5分F

(sin)

πx)

……6分當(dāng)

πππx,],2esin(x)0

…分又因為，以

…分所以()

ππ在區(qū)間[,]上單調(diào)遞增

…分

minminminmin所以F()

max

ππaF()2

，

πaF(x))e

4

……12分解2：F(x()x

Fx

，…5分設(shè)

h(x)

cosx

x

，

……6分h

(cossinx)

x

.

……7分ππ因為x

所以

，

……8分ππ所以hxF在區(qū)間[,]

上單調(diào)遞增

…分又因為

πFF)04

……………分所以()

ππ在區(qū)間[,]

上單調(diào)遞增所以F()

max

F(

ππa)2

，

ππa2F(x)F()42

4

.

…12分解3：F

cos

x

……5分

(cosxsin)

……6分ππ當(dāng)x[],cossinx所osx

………………分所以

(cosx)

……8分又因為

，所以F

……9分ππ所以()在間[,]

上單調(diào)遞增

……10分所以

F(x)

max

ππaF()2

，

F(x)

min

πa)e

4

……12分（Ⅲ）寫出

2π

4

的任意一個實數(shù)即可.

……15分（20（Ⅰ解1：

44設(shè)F,0)

，A(cy)

，則

c20a

.…1分又因為

c12

，所以

y|

.

……2分因為

AF

，所以

AFy|

.

…分所以.因為a23

，解3

……4分所以橢圓C的程為

xy4

.

……5分解2因為橢圓C的心率為

c，即2

，所以

ac

.

……1分因為A

為橢圓

上一點，且

AFx

軸，

AF

所以橢圓C過點c

.

……分9

9所以

a

4b2

，所以

14b2

，解得

.

……3分因為所以

c

，，解得

c2

，所以

2424

.

…4分所以橢圓C的程為

xy4

.

…分解3

44因為橢圓C的心率為

c，即,

……1分不妨設(shè)

a,

，因為2

，所以422

，所以t2

.所以橢圓C的程為

2ytt2

.

……2分因為A為圓上一點，且AF軸

AF

，所以橢圓C過點

3t2

.

……3分9所以

tt2t

，解得

，所以a

4

.

……4分所以橢圓C的程為

2ytt2

.

……5分（Ⅱ）解1：由（Ⅰ）知直線l的程為

xy003

0

，即

0y0

y

．

……6分因為直線

的方程為

x

，所以直線

l

與AF

的交點為

0)y0

，

分直線l與線x的點為(4,

x)y

，

分則

MFNF

22

12x(0)2403x90)y0

2

)2016)00

2

（）

……………分又

y0

是C上一點，則

x20，y4

20

3x04

……11分代入（）得

0222002202220022

22

(4)20xx2000))104(x216)4)200

……12分所以

MF.NF

…分所以

MFNF

為定值．

…分解2易知直線的程x＝，

…分xy由43可直線x

l

與直線的點為

12M1,4y0

.

……7分由

xxy043可直線l與線的點為x

N

30y0

.

…分所以

MF

90160

.

……分所以

xNFy0

yy0

.

……10分又因為

(,y)00

是橢圓

C

上一點，所以

x220，以y4

0

2

3x204

.

……11分所以

NF

22

99

0y0900

016y200

……12分

0482x20