高中數(shù)學(xué)高考三輪沖刺 天津南開中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)（空間向量1）

如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.解：方法一：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1，1，1)．(1)證明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBD的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·BD＝0，,n·PB＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,x－2z＝0.))不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)為平面PBD的一個(gè)法向量．于是有cos〈n，BE〉＝eq\f(n·BE,|n|·|BE|)＝eq\f(2,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).(3)向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)CF＝λeq\o(CP,\s\up6(→))，0≤λ≤1.故BF＝BC＋CF＝BC＋λeq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，即BF＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2))).設(shè)n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·AB＝0，,n1·BF＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(3,2)z＝0.))不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)為平面FAB的一個(gè)法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，則cos〈，〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(－3,\r(10)×1)＝－eq\f(3\r(10),10).易知二面角F-AB-P是銳角，所以其余弦值為eq\f(3\r(10),10).方法二：(1)證明：如圖所示，取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM.由于E，M分別為PC，PD的中點(diǎn)，故EM∥DC，且EM＝eq\f(1,2)DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE∥AM.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD.因?yàn)锳M?平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.(2)連接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因?yàn)锳D＝AP，M為PD的中點(diǎn)，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM.而BE⊥EM，可得∠EBM為銳角，故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．依題意，有PD＝2eq\r(2)，而M為PD中點(diǎn)，可得AM＝eq\r(2)，進(jìn)而BE＝eq\r(2).故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(1,\r(2))，因此sin∠EBM＝eq\f(\r(3),3)，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).(3)如圖所示，在△PAC中，過(guò)點(diǎn)F作FH∥PA交AC于點(diǎn)H.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，從而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD內(nèi)，可得CH＝3HA，從而CF＝3FP.在平面PDC內(nèi)，作FG∥DC交PD于點(diǎn)G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG為二面角F-AB-P的平面角．在△PAG中，PA＝2，PG＝eq\f(1,4)PD＝eq\f(\r(2),2)，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝eq\f(\r(10),2)，cos∠PAG＝eq\f(3\r(10),10)，所以二面角F-AB-P的余弦值為eq\f(3\r(10),10).如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1(Ⅰ)證明B1C1⊥CE(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).（方法一）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0，0，0),B(0，0，2)，C(1，0，1),B1(0，2，2),C1(1，2，1),E(0，1，0).(Ⅰ)證明：易得,于是，所以.(Ⅱ)解：.設(shè)平面D法向量，則，即，消去，得，不妨設(shè)，可得一個(gè)法向量為.由(Ⅰ)，，又,可得平面,故為平面的一個(gè)法向量.于是，從而所以二面角B1－CE－C1的正弦值為.(Ⅲ)解：,,設(shè),,有.可取為平面ADD1A1的一個(gè)法向量.設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成角，則=于是，解得，所以AM=.(解法二)（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)棱⊥底面，平面.所以.經(jīng)計(jì)算可得，，，從而.所以在△中，，又，平面，，所以⊥平面，又平面，故.（Ⅱ）解：過(guò)作⊥于點(diǎn)G，連接.由（Ⅰ），垂直，故⊥平面，得，所以∠為二面角B1－CE－C1的平面角.在△中，由，，可得.在Rt△中，，所以，即二面角B1－CE－C1的正弦值為.如圖，在四棱錐中，丄平面，丄，丄，，，.(Ⅰ)證明：丄；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱上的點(diǎn)，滿足異面直線與所成的角為，求的長(zhǎng).（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（lbylfx）（2），設(shè)平面的法向量則取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則，即如圖，在三棱柱中中，是正方形的中心，，，且．(Ⅰ)求異面直線與所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角的正弦值；(Ⅲ)設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，求線段的長(zhǎng)．【解】解法１．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸．由題意，，，，，，．(Ⅰ),.所以.(Ⅱ),，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．．于是，所以．所以二面角的正弦值為．(Ⅲ)由為棱的中點(diǎn)，得，設(shè)點(diǎn)，則．因?yàn)?，則即解得故．向量，所以線段的長(zhǎng)．解法2．(Ⅰ)由于,故是異面直線與所成的角．因?yàn)椋钦叫蔚闹行?，，，所以，，因此?Ⅱ)連接，因?yàn)榧笆堑闹悬c(diǎn)．則，又，，所以．過(guò)點(diǎn)作于，連，于是，所以為二面角的平面角．在中，，連，在中，，，，從而．所以二面角的正弦值為．(Ⅲ)因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，連接．由于為棱的中點(diǎn)，所以，且．又，故，因?yàn)?，所以，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．故．由，得．延長(zhǎng)交于，可得，連接．在中，，由直角三角形的射影定理，，所以，．連接，在中，．如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值?！窘馕觥勘拘☆}主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,,,解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)椋?，從而，又由?所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?，所以AF⊥平面A1(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，

，，垂足為，是四棱錐的高，為中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：以為原點(diǎn)，分別為軸，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則（Ⅰ）設(shè)則可得因?yàn)樗裕á颍┯梢阎獥l件可得設(shè)為平面的法向量則即因此可以取，由，可得所以直線與平面所成角的正弦值為如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若，求二面角的余弦值．【解】（Ⅰ）因?yàn)?由余弦定理．所以．從而，所以是直角三角形，故．又由，，可得．，所以，故．（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ），所以如圖的空間直角坐標(biāo)系，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線為軸的正半軸．則，，于是的坐標(biāo)為,,,．．設(shè)平面的法向量為．則即取，則．．設(shè)平面的法向量為，則即取，則，．．．因?yàn)槎娼鞘氢g角，故二面角的余弦值為．解法2．由（Ⅰ），設(shè),則,由，，可求得，，，，，由得．由，所以．作于，作交于．則，所以是二面角的平面角．