電磁場(chǎng)與電磁波第二章 電磁場(chǎng)的基本規(guī)律20103

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第2章電磁場(chǎng)的基本規(guī)律2

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場(chǎng)的邊界條件本章討論內(nèi)容32.1

電荷守恒定律

電磁場(chǎng)物理模型中的基本物理量可分為源量和場(chǎng)量?jī)纱箢?。電荷電流電?chǎng)磁場(chǎng)（運(yùn)動(dòng)）

源量為電荷

和電流

，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場(chǎng)源。電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的源，電流是產(chǎn)生磁場(chǎng)的源。4本節(jié)內(nèi)容

2.1.1電荷與電荷密度

2.1.2電流與電流密度

2.1.3電荷守恒定律5?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國(guó)科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國(guó)科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實(shí)驗(yàn)，精確測(cè)定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認(rèn)了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時(shí)，電荷常是數(shù)以億計(jì)的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實(shí)，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度61.電荷體密度單位：C/m3

(庫(kù)/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷7

若電荷分布在薄層上，當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場(chǎng)，而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場(chǎng)時(shí)，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫(kù)/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為8

若電荷分布在細(xì)線上，當(dāng)僅考慮細(xì)線外、距細(xì)線的距離要比細(xì)線的直徑大得多處的電場(chǎng)，而不分析和計(jì)算線內(nèi)的電場(chǎng)時(shí)，可將線的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫(kù)/米)9

對(duì)于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場(chǎng)，而僅需要分析和計(jì)算電場(chǎng)的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn)，即場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線度時(shí)，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷102.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流，用I

表示。

存在可以自由移動(dòng)的電荷;

存在電場(chǎng)。單位:A（安）電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流

——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：11

電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向122.面電流

電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向132.1.3

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程恒定電流是無(wú)源場(chǎng)，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無(wú)起點(diǎn)也無(wú)終點(diǎn)電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。142.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律靜電場(chǎng)：由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。重要特征：對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用。本節(jié)內(nèi)容

2.2.1庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度

2.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度151.庫(kù)侖（Coulomb）定律(1785年)

真空中靜止點(diǎn)電荷q1對(duì)q2的作用力:

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；2.2.1庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度

方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；說明：16電場(chǎng)力服從疊加定理

真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷（分別位于）對(duì)點(diǎn)電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7172.電場(chǎng)強(qiáng)度

空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？

根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)電荷q

激發(fā)的電場(chǎng)為——

描述電場(chǎng)分布的基本物理量

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量——試驗(yàn)正電荷

18小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)面密度為的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度193.幾種典型電荷分布的電場(chǎng)強(qiáng)度（無(wú)限長(zhǎng)）（有限長(zhǎng)）均勻帶電圓環(huán)均勻帶電直線段均勻帶電直線段的電場(chǎng)強(qiáng)度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度：20——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場(chǎng)圖等位線電場(chǎng)線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度為

例2.2.1計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度。21

例2.2.2

計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于222.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理回顧1.1矢量場(chǎng)通量的概念規(guī)定：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是面積元矢量曲面S的通量：23通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。1.2通量的物理意義閉合曲面內(nèi)部有正通量源閉合曲面內(nèi)部有負(fù)通量源閉合曲面內(nèi)部無(wú)通量源241.3矢量場(chǎng)的散度

為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。251.4散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。矢量場(chǎng)的散度在體積V上的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的閉合面S上的面積分。262.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度1.5靜電場(chǎng)的散度（微分形式）1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度真空中靜止點(diǎn)電荷q

激發(fā)的電場(chǎng)為——試驗(yàn)正電荷27參考P13例1.3.1參考P13例1.3.1(2.2.11)28假設(shè)電荷分布在區(qū)域V內(nèi)(2.2.12)靜電場(chǎng)的散度（微分形式）靜電場(chǎng)的散度：高斯定理的微分形式，表明空間任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場(chǎng)的通量源，電荷密度為正，稱為發(fā)散源；電荷密度為負(fù)，稱為匯聚源292.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理1.6靜電場(chǎng)的高斯定理（積分形式）高斯定理積分形式表明：電場(chǎng)強(qiáng)度矢量穿過閉合曲面S的通量等于該閉合曲面S所圍體積的總電荷與之比。高斯定理表明：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電力線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。30

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即2.1矢量場(chǎng)的旋度（）

2.1靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。31

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即2.1矢量場(chǎng)的旋度（）

2.1靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。

過點(diǎn)M

作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限32為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

2.矢量場(chǎng)的旋度（）

2.1靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度33（3）旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零34（4）斯托克斯定理

斯托克斯定理表明：矢量在閉合曲線上的線積分等于其旋度在閉合曲面上的面積分。是曲面積分和曲線積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即352.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度2.靜電場(chǎng)旋度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度362.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度2.靜電場(chǎng)旋度

右邊括號(hào)內(nèi)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，任何一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于0，靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。372.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度2.靜電場(chǎng)旋度

右邊括號(hào)內(nèi)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，任何一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于0，靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。根據(jù)斯托克斯定理在靜電場(chǎng)E中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于0物理含義：?jiǎn)挝徽姾裳仂o電場(chǎng)中的任何一個(gè)閉合路徑移動(dòng)一周，電場(chǎng)力不作功。382.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度環(huán)路定理表明：靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）2.靜電場(chǎng)旋度與環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理（積分形式）2.1靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）39

在電場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱性的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。

3.利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度具有以下幾種對(duì)稱性的場(chǎng)可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。帶電球殼多層同心球殼均勻帶電球體aOρ040

無(wú)限大平面電荷：如無(wú)限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對(duì)稱分布：如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。41

例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為0。

解：（1）球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)ar0rrEa(r≥a)（r<a）由由422.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律本節(jié)內(nèi)容

2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

2.3.2恒定磁場(chǎng)的散度與旋度43亥姆霍茲定理:

若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為式中：

亥姆霍茲定理表明：在無(wú)界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。44有界區(qū)域

在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。

恒定電流產(chǎn)生恒定磁場(chǎng)（靜磁場(chǎng)）恒定磁場(chǎng)的性質(zhì)由其散度和旋度來描述：磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量451.

安培力定律

安培對(duì)電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，在1821—1825年之間，設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn)，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。庫(kù)侖力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足牛頓第三定律1.庫(kù)侖（Coulomb）定律(1785年)

真空中靜止點(diǎn)電荷q1對(duì)q2的作用力:461.

安培力定律

實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力

載流回路C2對(duì)載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足牛頓第三定律為電流元472.磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)，描述磁場(chǎng)分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T（特斯拉）。

磁場(chǎng)的重要特征是對(duì)場(chǎng)中的電流磁場(chǎng)力作用，載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度48任意電流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度畢奧-薩伐爾定律（2.3.6）（2.3.4）493.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度

載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（有限長(zhǎng)）（無(wú)限長(zhǎng)）載流直線段載流圓環(huán)50

，而場(chǎng)點(diǎn)P

的位置矢量為，故得

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計(jì)算方便取線電流圓環(huán)位于xOy平面上，則所求場(chǎng)點(diǎn)為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為

例2.3.1

計(jì)算線電流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為51可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對(duì)稱點(diǎn)處的電流元在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z

>>

a

時(shí)，因，故由于，所以

在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z

=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即522.3.2

恒定磁場(chǎng)的散度和旋度

1.

恒定磁場(chǎng)的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線是無(wú)起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線。恒定場(chǎng)的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，是非保守場(chǎng)、電流是磁場(chǎng)的旋渦源。恒定磁場(chǎng)的旋度（微分形式）2.恒定磁場(chǎng)的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）53

解：分析場(chǎng)的分布，取安培環(huán)路如圖，則根據(jù)對(duì)稱性，有，故

在磁場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。

3.利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.3.2

求電流面密度為的無(wú)限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。54

解選用圓柱坐標(biāo)系，則應(yīng)用安培環(huán)路定理，得例2.3.3

求載流無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為55應(yīng)用安培環(huán)路定理，得562.4媒質(zhì)的電磁特性

本節(jié)內(nèi)容

2.4.1

電介質(zhì)的極化電位移矢量

2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場(chǎng)強(qiáng)度

2.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性

媒質(zhì)對(duì)電磁場(chǎng)的響應(yīng)可分為三種情況：極化、磁化和傳導(dǎo)。

描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。572.4.1電介質(zhì)的極化電位移矢量1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無(wú)極分子和有極分子。無(wú)極分子有極分子無(wú)外加電場(chǎng)無(wú)極分子有極分子有外加電場(chǎng)E

在電場(chǎng)作用下，介質(zhì)中無(wú)極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場(chǎng)方向，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。

無(wú)極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。582.極化強(qiáng)度矢量

極化強(qiáng)度矢量

是描述介質(zhì)極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即

——電介質(zhì)的電極化率

E59

由于極化，正、負(fù)電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時(shí)在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)

極化電荷體密度

在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S

的分子對(duì)S

內(nèi)的極化電荷有貢獻(xiàn)。由于負(fù)電荷位于斜柱體內(nèi)的電偶極矩才穿過小面元dS，因此dS對(duì)極化電荷的貢獻(xiàn)為S

所圍的體積內(nèi)的極化電荷為E

S60(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為614.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過程包括兩個(gè)方面：外加電場(chǎng)的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場(chǎng)，兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。無(wú)論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場(chǎng)，服從同樣的庫(kù)侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果

介質(zhì)中的電場(chǎng)應(yīng)該是外加電場(chǎng)和極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：62任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

小結(jié)：靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電介質(zhì)中的基本方程為

引入電位移矢量（單位：C/m2)將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有則有

其積分形式為

（微分形式），

（積分形式）

63在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)（無(wú)量綱）。*

介質(zhì)有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時(shí)變和時(shí)不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機(jī)介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對(duì)于線性各向同性介質(zhì)，

和

有簡(jiǎn)單的線性關(guān)系642.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場(chǎng)強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場(chǎng)外加磁場(chǎng)B

在外磁場(chǎng)作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。

無(wú)外磁場(chǎng)作用時(shí)，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。65B2.磁化強(qiáng)度矢量

磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。663.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對(duì)電流有貢獻(xiàn)。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度67由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長(zhǎng)度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量684.磁場(chǎng)強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有,即

外加磁場(chǎng)使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，兩種相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果：定義磁場(chǎng)強(qiáng)度為：69則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）70其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱為介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率（無(wú)量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強(qiáng)度

和磁場(chǎng)強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對(duì)于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡(jiǎn)單的線性關(guān)系：71磁場(chǎng)強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.4.1

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無(wú)限長(zhǎng)的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解磁場(chǎng)為平行平面場(chǎng),且具有軸對(duì)稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定理，得722.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性

對(duì)于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢量J和電場(chǎng)強(qiáng)度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m（西/米）。晶格帶電粒子

存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場(chǎng)作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。

732.5電磁感應(yīng)定律和位移電流

本節(jié)內(nèi)容

2.5.1電磁感應(yīng)定律

2.5.2位移電流

電磁感應(yīng)定律

——揭示時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。

位移電流

——揭示時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。742.5.1電磁感應(yīng)定律1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

當(dāng)通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即75

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

ner

B

CS

dlrr

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為因而有76

感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)。感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。

感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對(duì)空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有

對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論：

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和，即。由于，故有推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律77相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起，因此有(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(3)

回路在時(shí)變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)78

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場(chǎng)中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。

解：(1)均勻磁場(chǎng)

隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長(zhǎng)為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場(chǎng)

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長(zhǎng)邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大；79(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場(chǎng)

為恒定磁場(chǎng)，而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng)，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)全部是由導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得或80

（1）線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；

解:

（1）線圈靜止時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由時(shí)變磁場(chǎng)引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

例2.5.2

在時(shí)變磁場(chǎng)中，放置有一個(gè)的矩形線圈。初始時(shí)刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈81

假定時(shí)，則在時(shí)刻t時(shí)，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計(jì)算

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用兩種方法計(jì)算。82

上式右端第一項(xiàng)與(1)相同，第二項(xiàng)xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈12234

方法二：利用式計(jì)算。83

在時(shí)變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)。（恒定磁場(chǎng)）（時(shí)變場(chǎng)）841.全電流定律而由非時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用

解決辦法：對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決時(shí)變電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)85全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。862.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場(chǎng)，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無(wú)傳導(dǎo)電流，但有位移電流。在理想導(dǎo)體中，無(wú)位移電流，但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場(chǎng)的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一重要的物理概念。87

例2.5.3

海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對(duì)介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故88式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度。

例

2.5.4

自由空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得89

例2.5.5

銅的電導(dǎo)率、相對(duì)介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無(wú)線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說的無(wú)線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為902.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場(chǎng)的基本方程。

本節(jié)內(nèi)容

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式

2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式

2.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系912.6.1麥克斯韋方程組的積分形式922.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)932.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為94時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開輻射源（如天線）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。95在無(wú)源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為

可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的旋渦源為正，電場(chǎng)將增大；而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí)，使磁場(chǎng)增大，磁場(chǎng)增大反過來又使電場(chǎng)減小。96麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)緩變場(chǎng)迅變場(chǎng)電磁場(chǎng)(EM)準(zhǔn)靜電場(chǎng)(EQS)準(zhǔn)靜磁場(chǎng)(MQS)靜磁場(chǎng)(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(chǎng)(ES)恒定電場(chǎng)(SS)97

解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，間距為d

的兩平行板之間的電場(chǎng)為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個(gè)極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r

處的磁場(chǎng)強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接98與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對(duì)稱性，使得沿閉合線的磁場(chǎng)相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為99

例

2.6.2

在無(wú)源的電介質(zhì)中，若已知電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，并求出與相應(yīng)的其他場(chǎng)矢量。

解：是電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與相應(yīng)的其他場(chǎng)矢量。對(duì)時(shí)間

t積分，得100由以上各個(gè)場(chǎng)矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式1012.7電磁場(chǎng)的邊界條件

什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實(shí)際電磁場(chǎng)問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的