離散時間信號與系統的時域分析

1第1章離散時間信號與系統的時域分析2本章主要學習時域離散信號的表示方法；典型信號、線性時不變系統的因果性和穩(wěn)定性;系統的輸入輸出描述法，線性常系數差分方程的解法;模擬信號數字處理方法。1.2

離散時間信號

離散時間信號是指一個實數或復數的數字序列，它是整數自變量n的函數，表示為x(n)。離散時間信號也常用圖形描述。4一、常用的典型序列1．單位脈沖(采樣，沖激)序列（a）單位脈沖序列；（b）單位沖激信號3．矩形序列52．單位階躍序列u(n)矩形序列(N=4)64．實指數序列75．正弦型序列

式中ω是正弦序列數字域的頻率。它反映了序列變化快慢的速率，或相鄰兩個樣點的弧度數。

對連續(xù)信號中的正弦信號進行采樣，可得正弦序列。模擬正弦信號：數字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關系為

ω：數字域頻率；Ω：模擬域頻率

T：采樣周期；fs：采樣頻率數字域頻率相當于模擬域頻率對采樣頻率的歸一化值。8式中，ω為數字域頻率。若σ=0，可得96．復指數序列歐拉公式復正弦序列

如果對所有n存在一個最小整數N，滿足則稱x(n)為周期序列，記，最小周期為N。例：因此，x(n)是周期為8的周期序列。107.周期序列

要使x(n+N)=x(n)，即N，k為整數，且k的取值保證N是最小的正整數。11下面討論一般正弦序列的周期性

（1）當為整數時，取k=1，x(n)即是周期為的周期序列。

（2）當為有理數時（P、Q為互素的整數），則正弦序列是以P為周期的周期序列。

（3）當為無理數時，任何整數k

都不能使N為正整數，因此，此時的正弦序列不是周期序列。分三種情況討論

（1）當為整數時，取k=1，x(n)即是周期為的周期序列。

（2）當為有理數時（P、Q為互素的整數），則正弦序列是以P為周期的周期序列。

（3）當為無理數時，任何整數k

都不能使N為正整數，因此，此時的正弦序列不是周期序列。

（1）當為整數時，取k=1，x(n)即是周期為的周期序列。

（2）當為有理數時（P、Q為互素的整數），則正弦序列是以P為周期的周期序列。

（3）當為無理數時，任何整數k

都不能使N為正整數，因此，此時的正弦序列不是周期序列。例1-2判斷下列函數的周期性，并畫出相應的波形。

①②③14二、序列運算1.乘法和加法152．移位及翻轉

表示序列右移（延時）；表示序列左移（超前）。是以n=0的縱軸為對稱軸左右翻轉得到。序列的移位圖序列的翻轉

163.尺度變換

表示序列每m點(或每隔m-1點)取一點，稱為序列的壓縮或抽取。表示把原序列兩相鄰值之間插入零值，稱為序列的伸展或內插零值。

任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權和。即例如三、任意序列的單位脈沖序列表示181.3離散時間系統

系統——將輸入序列x(n)變換成輸出序列y(n)的一種運算，以T[]表示，則一個離散時間系統可用下圖來表示記為y(n)=T[x(n)]

T[]y(n)x(n)191.LinearSystems

線性系統滿足疊加性和均勻性。

設T[x1(n)]=y1(n)，T[x2(n)]=y2(n)

如果T[ax1(n)+bx2(n)]=T[ax1(n)]+T[bx2(n)]

=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)成立，則此系統為線性系統，否則為非線性系統。20

例1-3：判別系統y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b是否為線性系統？

解:設T[x1(n)]=ax1(n)+bT[x2(n)]=ax2(n)+b

因為T[cx1(n)+dx2(n)]=a[cx1(n)+dx2(n)]+b而

cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)≠T[cx1(n)+dx2(n)]故此系統不是線性系統。線性系統z(n)x(n)y(n)y0(n)增量線性系統

212.Time-InvariantSystems

系統的響應與輸入信號施加于系統的時刻無關。或者說，系統的參數不隨時間變化，即不管輸入信號作用的時間先后，輸出信號的形狀均相同，僅是出現的時間不同。

設y(n)=T[x(n)]，則y(n-k)=T[x(n-k)]成立22系統時不變說明的示意圖23

例1-5判別y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統。解：因為因此該系統不是時不變系統。3.線性時不變系統

同時具有線性和時不變性的離散時間系統稱為線性時不變系統。（1）輸入與輸出之間的關系

輸入為單位脈沖序列時系統的輸出稱為單位脈沖響應。

由h(n)可以確定任意輸入時的系統輸出，從而推出線性時不變離散時間系統一個非常重要的描述關系式。T[·]25對LTI系統，討論對任意輸入的系統輸出任意輸入序列：系統輸出：T[·]

任意序列都可以表示成單位脈沖序列的移位加權和

——離散卷積或線性卷積26線性時不變系統卷積運算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了線性時不變離散時間系統對輸入序列的作用或處理作用。

一個LTI系統可以用單位脈沖響應h(n)來表征，任意輸入的系統輸出等于輸入序列和該系統單位脈沖響應h(n)的卷積。

27（2）線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：（1）換元：x(m)和h(m)

（2）翻轉（折疊）：先在啞變量坐標軸m上畫出x(m)和h(m)，將h(m)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-m)。

（3）移位：將h(-m)移位n，得h(n-m)。當m為正數時，右移m；當m為負數時，左移m。

（4）相乘：將h(n-m)和x(m)的對應取樣值相乘。

（5）相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。例1-6

設x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用圖解法。

例1-7設x(n)=3δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)，

h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解：采用列表法。

n=?3211126112711271123112130在Matlab中，卷積可通過調用函數y=conv(x,h)來實現。卷積的性質：

1）兩個長度分別為N和M的序列，線性卷積后的序列長度為N+M-1。證明：設x1(n)是長度為N的有限長序列（0≤n≤N-1），x2(n)是長度為M的有限長序列（0≤n≤M-1）。

x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N-1，x2(n-m)的非零區(qū)間為0≤n-m≤M-1，兩個不等式相加有0≤n≤N+M-2，所以，y(n)是一個長度為N+M-1的有限長序列。312）線性卷積服從交換律、結合律和分配律324.因果系統

如果系統n0時刻的輸出，只取決于n0時刻以及n0時刻以前的輸入序列，而和n0時刻以后的輸入序列無關，則稱為因果系統。

在數學上因果系統滿足方程：y(n)=f[x(n)，x(n-1)，x(n-2)，……]

一個線性時不變系統為因果系統的充分必要條件是:

因果系統的因果性是指系統物理上的可實現性。33非因果系統的延時實現345.穩(wěn)定系統

穩(wěn)定系統是指有界輸入產生有界輸出的系統。即如果|x(n)|≤M（M為正常數），有|y(n)|<+∞，則該系統被稱為穩(wěn)定系統。一個線性時不變系統穩(wěn)定的充分和必要條件是其單位取樣響應h(n)絕對可和，即35例1-8

設線性時不變系統的單位取樣響應h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試分析該系統的因果穩(wěn)定性。

解：（1）因果性

由于n<0時，h(n)=0，系統是因果系統。（2）穩(wěn)定性因此系統穩(wěn)定的條件是:

36例1-9

判別系統y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)的因果穩(wěn)定性。

解：（1）因果性

因為y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)只與x(n)的當前值有關，而與x(n+1)，x(n+2)……等未來值無關，故系統是因果的。

（2）穩(wěn)定性

當|x(n)|<M時有T[x(n)]|<M|cos(ωn+φ)|，由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的，所以y(n)=T[x(n)]也是有界的，故系統是穩(wěn)定的。37

系統的線性、時不變性、因果性和穩(wěn)定性是系統的四個互不相關的性質。381.4

離散時間系統的時域描述––––差分方程一、常系數線性差分方程的一般表達式或其中ak，br都是常數。39說明：

1）差分方程的階數是用方程y(n-k)項中的k取值最大與最小之差確定的。

2）

該式說明，系統在某時刻n的輸出值y(n)不僅與該時刻的輸入x(n)、過去時刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關，還與該時刻以前的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關。

40差分方程的特點

采用差分方程描述系統簡便、直觀、易于計算機實現

容易得到系統的運算結構

便于求解系統的瞬態(tài)響應但差分方程不能直接反應系統的頻率特性和穩(wěn)定性等。實際上用來描述系統多數還是由系統函數。41二、差分方程的求解

常系數差分方程的求解方法有迭代法，時域經典法，卷積法和變換域法。

時域經典法類似于解微分方程，過程繁瑣，應用很少，但物理概念比較清楚。迭代法(遞推法)比較簡單，且適合于計算機求解，但不能直接給出一個完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解答）。卷積法適用于系統起始狀態(tài)為零時的求解。變換域方法類似于連續(xù)時間系統的拉普拉斯變換，這里采用Z變換法來求解差分方程，這在實際使用上是最簡單有效的方法。

例1-10：若系統用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求初始條件分別為h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0時的單位脈沖響應h(n)。

解：（1）令x(n)=δ(n)，根據初始條件可遞推如下

y(0)=ay(-1)+δ(0)=1

y(1)=ay(0)+δ(1)=a

y(2)=ay(1)+δ(2)=a2……

y(n)=ay(n-1)=an因此，h(n)=y(n)=anu(n)43

例1-10：若系統用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求初始條件分別為h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0時的單位脈沖響應h(n)。

解：將差分方程改寫成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根據初始條件可遞推如下

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……

y(n)=ay(n-1)=-an因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)44以上結果說明：（1）一個常系數線性差分方程不一定代表一個因果系統（2）一個常系數線性差分方程，如果沒有附加的起始條

件，不能唯一的確定一個系統的輸入輸出關系，并且

只有當起始條件選擇合適時，才相當于一個線性時不

變系統。

在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設常系數線性差分方程所表示的系統都是指線性時不變系統，并且多數是指因果系統。三、Matlab實現y=filter(b,a,x)例1-11解：MATLAB程序a=[1,-1,0.9];b=[1];x=impseq(0,-20,120);%輸入n=[-20:120];h=filter(b,a,x);%系統輸出stem(n,h,'.');1.5模擬信號數字處理方法（采樣）前置預濾波器A/D變換器數字信號處理器D/A變換器模擬濾波器模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬ya(t)采樣采樣恢復

所謂“采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時間信號中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時間信號通常稱為采樣信號，以表示。采樣的原理框圖47一、采樣的基本概念采樣器連續(xù)信號采樣脈沖采樣信號48

（a）實際采樣（b）理想采樣圖1-22兩種采樣方式49二、理想采樣及其頻譜

1.時域分析數學模型采樣脈沖：理想采樣輸出:502.頻域分析

映射時域相乘頻域卷積（模擬系統）

1)沖激函數序列δT(t)的頻譜考慮到周期信號可以用傅里葉級數展開，因此，沖激函數序列δT(t)可用傅里葉級數表示為:其中51因此，上式表明沖激函數序列具有梳狀譜的結構，即它的各次諧波都具有相等的幅度1/T。因為，所以幅度譜頻譜522）理想采樣信號的頻譜上式表明：

（1）頻譜產生周期延拓。即采樣信號的頻譜是頻率的周期函數，其周期為Ωs。

（2）頻譜的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。53三、時域采樣定理

如果信號xa(t)是帶限信號，且最高頻率不超過Ωs/2，即那么采樣頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波頻譜彼此是不重疊的。

用一個帶寬為Ωs/2的理想低通濾波器，可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號。

但是，如果信號最高頻譜超過Ωs/2，那么在采樣頻譜中，各次調制頻譜就會相互交疊起來，這就是頻譜混疊現象。其中，Ωs/2或fs/2，稱作折疊頻率。54圖1-24采樣信號的頻譜圖55圖1-26單音（余弦）信號采樣中的頻譜混疊情況示意圖

56

設

√沒有混疊時，恢復出的輸出為

√有混疊時，則是結論：為使采樣后能不失真的還原出原信號，采樣頻率必須大于兩倍信號最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理。57許多人在在看電影或電視時，汽車輪子細節(jié)會模糊看不清楚，這就是混疊的直接結果。也就是拍攝時掃描的速度（幀頻）不夠快，沒有正確記錄輪子的旋轉情況。

作業(yè)：設一般電影拍攝的幀頻為16張/秒，對直徑為0.6m的普通輪子，在此記錄速度下，為了清楚的記錄輪子的旋轉情況，車速不能大于km/h？應用舉例59關于帶通信號的采樣

對于帶通信號，信號的頻率范圍為f1<f<f2，而不是0<f<f1，則沒有必要以兩倍的最高頻率或2f2

進行采樣。此時，最小采樣極限取決于信號的帶寬f2－f1

以及帶寬在頻譜中的位置，取樣頻率至少必須是帶寬的兩倍，但可以更高些，關鍵是要保證沒有頻譜混疊。

這種對帶限信號的取樣并未遵循奈奎斯特條件，稱為欠采樣（Undersampling）。

例如，一個GSM蜂窩電話在900MHZ頻段上占30kHz帶寬，通過欠取樣，只用比60kHz略高一點的采樣頻率，而非1.8GHz，就可以恢復信號。60

相對應的有過采樣（Oversampling）——用遠高于奈奎斯特取樣頻率的頻率去取樣，降低對抗混疊濾波器的要求。經過粗略的模擬濾波和取樣后，使離散數字信號經過一個具有良好滾降特性的數字抗混疊濾波器，使之在f1Hz處銳利截止，然后再通過甩點（Decimation）降低碼率。

過采樣的倍數有4、8、16、32倍，甚至高達256。

例如高質量的聲音帶寬為20kHz，但現在的許多ADC變換器的采樣頻率為256kHz，甚至更高，提高ADC

轉換后的信噪比。61四、采樣的恢復（內插）

1.頻域分析622.時域分析