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第一章§2一、選擇題(每小題5分,共20分)1.對(duì)于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析:當(dāng)a+b=0時(shí),a=-b,∴a∥b;當(dāng)a∥b時(shí),不一定有a=-b∴“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要條件答案:A2.設(shè)條件A:eq\f(1,x)<1,條件B:x>1,則條件A是條件B的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件解析:x>1?eq\f(1,x)<1,即B?A,但eq\f(1,x)<1?x<0或x>1,故Aeq\o(?,/)B.答案:B3.已知a,b是實(shí)數(shù),則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析:當(dāng)a>0且b>0時(shí),一定有a+b>0且ab>0.反之,當(dāng)a+b>0且ab>0時(shí),一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”答案:C4.“2x2-5x-3<0”的一個(gè)必要不充分條件是A.-eq\f(1,2)<x<3 B.0<x<2C.-1<x<2 D.-eq\f(1,2)<x<4解析:2x2-5x-3<0?-eq\f(1,2)<x<3,∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),4)).∴-eq\f(1,2)<x<4是2x2-5x-3<0的必要不充分條件.答案:D二、填空題(每小題5分,共10分)5.如果命題“若A則B”的否命題為真命題,而它的逆否命題為假命題,則A是B的________條件.解析:“若A則B”的否命題為真,則其逆命題為真,故“若B則A”成立,而“若A則B”不成立,故A是B的必要不充分條件.答案:必要不充分6.從“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中,選出恰當(dāng)?shù)囊环N填空:(1)“a=0”是“函數(shù)f(x)=x2+ax(x∈R)為偶函數(shù)”的________________(2)“sinα>sinβ”是“α>β”的____________;(3)“M>N”是“l(fā)og2M>log2N”的______________(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________________.解析:(1)充要條件當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=x2+ax(x∈R)即為f(x)=x2,為偶函數(shù);若f(x)=x2+ax(x∈R)為偶函數(shù),則f(-x)=(-x)2+a(-x)=x2-ax=f(x)=x2+ax,則2ax=0(x∈R),解得a=0,綜上知“a=0”是“函數(shù)f(x)=x2+ax(x∈R)為偶函數(shù)”的充要條件.(2)既不充分也不必要條件由正弦函數(shù)的圖像可知:sinα>sinβeq\o(?,/)α>β,α>βeq\o(?,/)sinα>sinβ.(3)必要而不充分條件由函數(shù)y=log2x的單調(diào)性知log2M>log2N?M>N;但是M>Neq\o(?,/)log2M>log2N.(4)充分而不必要條件x∈M∩N?x∈M∪N,x∈M∪Neq\o(?,/)x∈M∩N.答案:(1)充要條件(2)既不充分也不必要條件(3)必要而不充分條件(4)充分而不必要條件三、解答題(每小題10分,共20分)7.下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:四邊形的對(duì)角線互相平分,q:四邊形是矩形;(2)p:x=1或x=2,q:x-1=eq\r(x-1);(3)在△ABC中,p:∠A≠60°,q:sinA≠eq\f(\r(3),2).解析:(1)因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線互相平分eq\o(?,/)四邊形是矩形;四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線互相平分,所以p是q的必要不充分條件.(2)因?yàn)閤=1或x=2?x-1=eq\r(x-1),x-1=eq\r(x-1)?x2-2x+1=x-1?x2-3x+2=0?x=1或x=2,所以p是q的充要條件.(3)因?yàn)樵凇鰽BC中,∠A≠60°eq\o(?,/)sinA≠eq\f(\r(3),2),如當(dāng)∠A=120°時(shí),sinA=eq\f(\r(3),2);在△ABC中,sinA≠eq\f(\r(3),2)?A≠60°,所以p是q的必要不充分條件.8.已知p:eq\f(1,2)≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若p的必要不充分條件是q,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析:q是p的必要不充分條件,則p?q但qeq\a\vs4\al(eq\o(?,/))p.∵p:eq\f(1,2)≤x≤1,q:a≤x≤a+1.∴a+1≥1且a≤eq\f(1,2),即0≤a≤eq\f(1,2).∴滿足條件的a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件.解析:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=p+q.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).∵p≠0,p≠1,∴eq\f(an+1,an)=eq\f(pnp-1,pn-1p-1)=p,a2=S2-S1=p2+q-p-q=p2-p,a1=p+q,要使數(shù)列{an}為等比數(shù)列,必須eq\f(a2,a1)=eq\f(p2-p,p+q)=p,∴p-1=p+q,q=-1,這是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要條件.下面證q=-1是數(shù)列{a
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