高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測評20

學(xué)業(yè)分層測評（二十）方程的根與函數(shù)的零點(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．下列函數(shù)沒有零點的是()A．f(x)＝0 B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)【解析】函數(shù)f(x)＝2，不能滿足方程f(x)＝0，因此沒有零點．【答案】B2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點為()\f(1,2)，0 B．－2,0\f(1,2) D．0【解析】當(dāng)x≤1時，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.當(dāng)x>1時，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函數(shù)的零點為0，選D.【答案】D3．函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5的零點所在的大致區(qū)間是()【導(dǎo)學(xué)號：97030131】A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)【解析】∵函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5是單調(diào)遞減函數(shù)，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函數(shù)f(x)的零點必在區(qū)間(1,2)上，故必存在零點的區(qū)間是(1,2)，故選C.【答案】C4．已知0＜a＜1，則函數(shù)y＝|logax|－a|x|零點的個數(shù)是()A．1個 B．2個C．3個 D．1個或2個或3個【解析】∵0＜a＜1，函數(shù)y＝|logax|－a|x|的零點的個數(shù)就等于方程a|x|＝|logax|的解的個數(shù)，即函數(shù)y＝a|x|與y＝|logax|的交點的個數(shù)．如圖所示，函數(shù)y＝a|x|與y＝|logax|的交點的個數(shù)為2，故選B.【答案】B5．已知方程|2x－1|＝a有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)【解析】若關(guān)于x的方程|2x－1|＝a有兩個不等實數(shù)根，則y＝|2x－1|的圖象與y＝a有兩個交點，函數(shù)y＝|2x－1|的圖象如圖所示：由圖可得，當(dāng)a∈(0,1)時，函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與y＝a有兩個交點，故實數(shù)a的取值范圍是(0,1)，故選D.【答案】D二、填空題6．函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1lnx,x－3)的零點是________．【解析】令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx,x－3)＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函數(shù)f(x)的零點為1.【答案】17．若方程|x2－4x|－a＝0有四個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函數(shù)y＝|x2－4x|的圖象，則由圖象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四個不相等的實根，則0＜a＜4.【答案】(0,4)8．已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3x的零點在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k－\f(1,2)))上，則整數(shù)k的值為________．【解析】∵函數(shù)f(x)＝2x＋log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴函數(shù)f(x)＝2x＋log3x最多有一個零點．當(dāng)k＝1時，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k－\f(1,2)))為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，當(dāng)x→0時，f(x)→－∞，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－log32＞0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上存在零點，因此必然k＝1.【答案】1三、解答題9．設(shè)函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－eq\f(a,2).(1)求證：函數(shù)g(x)有兩個零點；【導(dǎo)學(xué)號：97030132】(2)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的零點個數(shù)．【解】(1)證明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－eq\f(3,2)a－b，∴Δ＝(2a＋b)2＋2a2，∵a＞0，∴Δ＞0恒成立，故函數(shù)f(x)有兩個零點．(2)根據(jù)g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a①當(dāng)c＞0時，有g(shù)(0)＞0，又∵a＞0，∴g(1)＝－eq\f(a,2)＜0，故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個零點，故在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點．②當(dāng)c≤0時，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一零點，綜合①②，可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點．10．(2023·沈陽高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4xx≥0,2xx<0，))(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)討論方程|f(x)|＝a的解的個數(shù)．(只寫明結(jié)果，無需過程)【解】(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示：(2)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖所示：①0＜a＜4時，方程有四個解；②a＝4時，方程有三個解；③a＝0或a＞4時，方程有二個解；④a＜0時，方程沒有實數(shù)解．[能力提升]1．函數(shù)f(x)＝x＋lgx－3的零點所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)【解析】易知函數(shù)f(x)＝x＋lgx－3在定義域上是增函數(shù)，f(1)＝1＋0－3＜0，f(2)＝2＋lg2－3＜0，f(3)＝3＋lg3－3＞0，故函數(shù)f(x)＝x＋lgx－3的零點所在的區(qū)間為(2,3)，故選C.【答案】C2．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】由函數(shù)零點的存在性定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上只有一個零點，設(shè)為x0，則f(x0)＝0，又因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函數(shù)在[－a,0]內(nèi)唯一的零點，故方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個數(shù)為2.【答案】B3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,3xx≤0，))且函數(shù)F(x)＝f(x)＋x－a有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號：97030133】【解析】由F(x)＝f(x)＋x－a＝0，得f(x)＝－x＋a，設(shè)y＝f(x)，y＝－x＋a.做出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,3xx≤0))的圖象，當(dāng)y＝－x＋1時，直線y＝－x＋1與y＝f(x)有兩個交點，所以要使F(x)＝f(x)＋x－a有且僅有兩個零點，則有a≤1，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]．【答案】(－∞，1]4．(2023·贛州高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－4在區(qū)間[－2,1]上的兩個端點處取得最大值和最小值．(1)求實數(shù)m的所有取值組成的集合A；(2)試寫出f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值g(m)；(3)設(shè)h(x)＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＋7，令F(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gm，m∈A,hm，m∈B，))其中B＝?RA，若關(guān)于m的方程F(m)＝a恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．【解】(1)∵f(x)＝x2＋mx－4在區(qū)間[－2,1]上的兩個端點處取得最大值和最小值，∴函數(shù)在區(qū)間[－2,1]上是單調(diào)函數(shù)，又∵函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x＝－eq\f(m,2)，∴必有－eq\f(m,2)≥1，或－eq\f(m,2)≤－2，解得m≥4或m≤－2，∴實數(shù)m的所有取值組成的集合A＝{m|m≥4或m≤－2}．(2)當(dāng)m≥4時，－eq\f(m,2)≤－2，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)的最大值g(m)＝f(1)＝m－3；當(dāng)m≤－2時，－eq\f(m,2)≥1，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)的最大值g(m)