高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系階段質(zhì)量評(píng)估2

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p的值為()\f(1,2) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,6)解析：由分布列的性質(zhì)得p＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,3)＋\f(1,6)))＝eq\f(1,3)，故選C.答案：C2．(2023·河北省衡水中學(xué)高二上學(xué)期期末考試)10件產(chǎn)品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的個(gè)數(shù)，則E(ξ)等于()\f(3,5) \f(8,15)\f(14,15) D．1解析：由題意知，隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，所以其分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)，故選A.答案：A3．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次為,,.則系統(tǒng)正常工作的概率為()A． B．C． D．解析：由已知P＝P(Keq\x\to(A)1A2)＋P(Keq\x\to(A)2A1)＋P(KA1A2)＝××＋××＋××＝.故選B.答案：B4．已知離散型隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤X≤3)＝eq\f(1,5)，則n的值為()A．3 B．5C．10 D．15解析：由已知X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,n)，k＝1,2,3，…，n，∴P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝eq\f(1,5)，∴n＝15.答案：D5．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝，則P(0<ξ<2)等于()A． B．C． D．解析：由題意知正態(tài)曲線對(duì)稱軸為x＝2，設(shè)P(0<ξ<2)＝y(tǒng)，則P(ξ<0)＝eq\f(1－2y,2)，∴P(ξ<4)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<2)＋P(2<ξ<4)＝eq\f(1－2y,2)＋2y＝，∴y＝.故選C.答案：C6．(2023·銀川一中模擬)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)＝，D(X)＝，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為()A．n＝4，p＝ B．n＝6，p＝C．n＝8，p＝ D．n＝24，p＝解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝,np1－p＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝6，,p＝.))答案：B7．兩臺(tái)相互獨(dú)立工作的電腦，產(chǎn)生故障的概率分別為a，b，則產(chǎn)生故障的電腦臺(tái)數(shù)的均值為()A．a(chǎn)b B．a(chǎn)＋bC．1－ab D．1－a－b解析：設(shè)產(chǎn)生故障的電腦臺(tái)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的取值為0,1,2，其分布列為：X012P(1－a)(1－b)a(1－b)＋(1－a)bab∴E(X)＝a(1－b)＋(1－a)b＋2ab＝a－ab＋b－ab＋2ab＝a＋b，故選B.答案：B8．(2023·雅安市下學(xué)期高二期末檢測(cè))甲、乙、丙三人獨(dú)立解決同一道數(shù)學(xué)題，如果三人分別完成的概率依次是P1，P2，P3，那么至少有一人解決這道題的概率是()A．P1＋P2＋P3B．1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)C．1－P1P2P3D．P1P2P3解析：設(shè)“至少有一人解決這道題”為事件A，則eq\x\to(A)表示“沒(méi)有一人解決這道題”，由相互獨(dú)立事件公式得P(eq\x\to(A))＝(1－P1)(1－P2)(1－P3)，∴P(A)＝1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)，故選B.答案：B9．節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束元，銷售價(jià)是每束5元；節(jié)日賣不出去的鮮花以每束元價(jià)格處理．根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列：X200300400500P若進(jìn)這種鮮花500束，則利潤(rùn)的均值為()A．706元 B．690元C．754元 D．720元解析：∵E(X)＝200×＋300×＋400×＋500×＝340，∴利潤(rùn)的均值為340×(5－－(500－340)×－＝706(元)，故選A.答案：A10．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生成績(jī)X～N(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為()A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，∴eq\f(57,60)＝≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)．答案：C11．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()\f(3,10) \f(2,9)\f(7,8) \f(7,9)解析：設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30).在已知第1次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).答案：D12．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,8)eq\f(3,8)又變量η＝4ξ＋3，則η的期望是()\f(7,2) \f(5,2)C．－1 D．1解析：E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,8)＋1×eq\f(3,8)＝－eq\f(1,8)E(η)＝4E(ξ)＋3＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＋3＝eq\f(5,2).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．某燈泡廠生產(chǎn)大批燈泡，其次品率為%，從中任意地陸續(xù)取出100個(gè)，則其中正品數(shù)X的均值為_(kāi)_______個(gè)，方差為_(kāi)_______．解析：由題意可知X～B(100,%)∴E(ξ)＝np＝100×%＝，D(ξ)＝np(1－p)＝100×%×%＝5.答案：514．某種電路開(kāi)關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的概率是eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為eq\f(1,6).則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的條件下，第二次出現(xiàn)紅燈閃爍的概率是________．解析：第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍記為事件A，第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍記為事件B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．(2023·北京市朝陽(yáng)區(qū)高二第二學(xué)期期末測(cè)試)接種某疫苗后，經(jīng)過(guò)大量的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為eq\f(1,5)，現(xiàn)有3人接種該疫苗，恰有一人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_(kāi)_______．解析：3人接種該疫苗相當(dāng)于做了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其成功概率為eq\f(1,5)，因此恰有一人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(48,125).答案：eq\f(48,125)16．(2023·福州地區(qū)八縣一中高二期末聯(lián)考)一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列結(jié)論：①?gòu)闹腥稳?球，恰有一個(gè)白球的概率是eq\f(3,5)；②從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為eq\f(4,3)；③從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為eq\f(2,5)；④從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為eq\f(26,27).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：①恰有一個(gè)白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正確；②每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差為6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故②正確；③設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故③錯(cuò)；④每次取到紅球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到紅球的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故④正確．答案：①②④三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)一批產(chǎn)品分一、二、三級(jí)，其中一級(jí)品的數(shù)量是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品的數(shù)量是二級(jí)品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢查其品級(jí)，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，寫(xiě)出它的分布列．解析：設(shè)二級(jí)品有2n個(gè)，則一級(jí)品有4n個(gè)，三級(jí)品有n個(gè)．一級(jí)品占總數(shù)的eq\f(4n,4n＋2n＋n)＝eq\f(4,7)，二級(jí)品占總數(shù)的eq\f(2n,4n＋2n＋n)＝eq\f(2,7)，三級(jí)品占總數(shù)的eq\f(1,7).又設(shè)X＝k表示取到的是k級(jí)品(k＝1,2,3)，則P(X＝1)＝eq\f(4,7)，P(X＝2)＝eq\f(2,7)，P(X＝3)＝eq\f(1,7)，∴X的分布列為：X123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)18.(本小題滿分12分)甲投籃命中率為，乙投籃命中率為，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？解析：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是P(AB)＝P(A)×P(B)＝Ceq\o\al(2,3)××＋Ceq\o\al(2,3)××＝＋＝.19．(本小題滿分12分)袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．解析：記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).20．(本小題滿分12分)一批電池用于1節(jié)電池的手電筒的壽命是服從均值為小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正態(tài)分布的．隨機(jī)從這批電池中取一節(jié)電池裝在手電筒中，問(wèn)：這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時(shí)的概率是多少？(參考數(shù)據(jù)：P(|x－μ|<σ)＝6，P(|x－μ|<2σ)＝4，P(|x－μ|<3σ)＝4)解析：用X表示電池的使用壽命，由題意知，X～N,，從而P(X≥＝P(X≥＋＝eq\f(1,2)[1－P－<X<＋]＝eq\f(1,2)(1－6)＝7.21．(本小題滿分13分)某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過(guò)一扇智能門(mén)．首次到達(dá)此門(mén)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開(kāi)一個(gè)通道，若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門(mén)．再次到達(dá)智能門(mén)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開(kāi)一個(gè)你未到過(guò)的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望．解析：(1)必須要走到1號(hào)門(mén)才能走出，ξ可能的取值為1,3,4,6.P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝6)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)))×1＝eq\f(1,3).∴ξ的分布列為：ξ1346Peq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)(2)E(ξ)＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(7,2).22．(本小題滿分13分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對(duì)方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解析：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4