高中數(shù)學(xué)北師大版第二章函數(shù)對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識第2章2

第二章§2A級基礎(chǔ)鞏固1．下列對應(yīng)為A到B的函數(shù)的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814286)(D)A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0[解析]由函數(shù)的定義可知，對于A,0∈R，且|0|＝0?B，故A不是f：A→B的函數(shù)；對于B,0∈Z，且02＝0?N＋，故B不是f：A→B的函數(shù)；對于C，當(dāng)x<0時，如－2∈Z，但eq\r(－2)無意義，故C不是f：A→B的函數(shù)；對于D，是多對一的情形，符合函數(shù)的定義，是f：A→B的函數(shù)．2．下列各圖中表示的對應(yīng)，其中能構(gòu)成映射的個數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814287)(D)A．4 B．3C．2 D．1[解析]所謂映射，是指“多對一”或“一對一”的對應(yīng)，且A中每一個元素都必須參與對應(yīng)．只有圖(3)所表示的對應(yīng)符合映射的定義，即A中的每一個元素在對應(yīng)法則下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)．3．已知(x，y)在映射下的像是(x＋y，x－y)，則像(1,2)在f下的原像為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814288)(D)A．(eq\f(5,2)，eq\f(3,2)) B．(－eq\f(3,2)，eq\f(1,2))C．(－eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)) D．(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))[解析]根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝－\f(1,2))).4．設(shè)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列能表示從集合A到集合B的映射的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814289)(D)[解析]對于A，當(dāng)x＝0，y＝0?{y|1≤y≤2}，不是從A到B的映射；對于B，當(dāng)x＝2時y＝0?{y|1≤y≤2}，也不是從A到B的映射；對于C，當(dāng)x＝0時，y＝1且y＝2，即集合A中的一個元素0與集合B中的兩個元素1和2相對應(yīng)，所以也不是從A到B的映射；對于D，集合A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，所以是從A到B的映射．5．下列對應(yīng)是集合M到集合N的一一映射的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814290)(D)A．M＝N＝R，f：x→y＝－eq\f(1,x)，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝eq\f(1,|x|＋x)，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N[解析]用排除法，A中集合M的元素0，在f下，N中沒有元素與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；C中，負(fù)實(shí)數(shù)及0在f下沒有元素和它對應(yīng)，應(yīng)排除；故選D．6．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且對任意的a∈A，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814291)(A)A．4 B．5C．6 D．7[解析]∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．7．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，則由A到B的一一映射的個數(shù)為\x(導(dǎo)學(xué)號00814292)[解析]由題意可知如圖：共有2個一一映射．8．設(shè)集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，對A中的每一個元素x總有x＋f(x)為偶數(shù)，那么從A到B的映射f的個數(shù)是\x(導(dǎo)學(xué)號00814293)[解析]從A到B的映射共有4個，即其中滿足x＋f(x)為偶數(shù)的映射只有第3個，因此符合題意的映射共有1個．9．已知映射f：(x，y)→(x＋y，xy).eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814294)(1)求(－2,3)的像；(2)求(2，－3)的原像．[解析](1)∵x＝－2，y＝3，∴x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6，∴(－2,3)的像是(1，－6)．(2)由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,xy＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝3))，∴(2，－3)的原像是(3，－1)或(－1,3)．10．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x和B中元素y＝2x對應(yīng)，求實(shí)數(shù)m的值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814295)[解析]由對應(yīng)關(guān)系f可知，集合A中元素0,2分別和集合B中的元素0,4對應(yīng)，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2對應(yīng)．于是m2＝2×4，解得m＝±2eq\r(2).B級素養(yǎng)提升1．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列對應(yīng)不表示從A到B的映射的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814296)(C)A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(3,2)x D．f：x→y＝eq\r(x)[解析]對于A，當(dāng)0≤x≤4時，0≤eq\f(1,2)x≤2，f：x→y＝eq\f(1,2)x能構(gòu)成A到B的映射；對于B,0≤eq\f(1,3)x≤eq\f(4,3)，也能構(gòu)成集合A到集合B的映射；對于C,0≤eq\f(3,2)x≤6，而[0,6]?[0,2]，所以不能構(gòu)成從A到B的映射；對于選項(xiàng)D,0≤eq\r(x)≤2，能構(gòu)成從A到B的映射．2．設(shè)M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，從M到N的映射f滿足f(a)>f(b)≥f(c)，則這樣的映射f的個數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814297)(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]根據(jù)f(a)>f(b)≥f(c)列表：f(a)0111f(b)－1－100f(c)－1－1－10故符合條件的映射共有4個．3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{0,1}，若映射f：A→B滿足f(a)＋f(b)＝f(c)，則這樣的映射的個數(shù)是\x(導(dǎo)學(xué)號00814298)[解析]由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以只能有f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1，或f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1，或f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，即這樣的映射有3個．4．下列對應(yīng)是集合A到集合B的一一映射的是_(2)__(填正確序號).eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814299)(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝eq\f(1,3)x；(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝eq\f(1,x)；(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形與它面積的對應(yīng)．[解析](1)(2)(4)為映射，(3)不是映射(因?yàn)?3)中集合A中的元素0沒有像)，只有(2)是一一映射．5．設(shè)f，g都是由A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其對應(yīng)關(guān)系如下表：eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814300)映射f的對應(yīng)關(guān)系映射g的對應(yīng)關(guān)系原像123原像123像231像213設(shè)a＝g(f(3))，b＝g(g(2))，c＝f(g(f(1)))．試判斷a，b，c的大小關(guān)系．[解析]∵a＝g(f(3))＝g(1)＝2，b＝g(g(2))＝g(1)＝2，c＝f(g(f(1)))＝f(g(2))＝f(1)＝2，∴a＝b＝c.6．下列對應(yīng)是不是從A到B的函數(shù)？是不是從A到B的映射？eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814301)(1)A＝B＝N，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圓}，f：三角形的內(nèi)切圓；(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→y＝eq\f(1,x).[解析](1)當(dāng)x∈N時，則|x－3|∈N，即A中的元素在B中都有像，所以(1)是映射，也是函數(shù)．(2)由于A，B不是數(shù)集，所以(2)不是函數(shù)，但每個三角形都有唯一的內(nèi)切圓，所以(2)是A到B的映射．(3)A中的每一個數(shù)都與B中的數(shù)1對應(yīng)，因此，(3)是A到B的函數(shù)，它是A到B的映射．(4)取x＝0，y＝eq\f(1,0)沒有意義，即A中元素0在B中沒有像，所以(4)不是函數(shù)，也不是映射．規(guī)律技巧總結(jié)：(1)函數(shù)是一種特殊的映射，是非空數(shù)集間的一種映射．(2)有的同學(xué)問：關(guān)系式y(tǒng)＝1是y關(guān)于x的函數(shù)，那么關(guān)系式x＝1是y關(guān)于x的函數(shù)嗎？對于關(guān)系式x＝1，顯然有x∈{1}，y∈R，則1與全體實(shí)數(shù)建立對應(yīng)關(guān)系，不符合函數(shù)的定義，因此，“x＝1”不是y關(guān)于x的函數(shù)C級能力拔高已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．對應(yīng)f：x→y＝ax.若在f的作用下能夠建立從A到B的映射f：A→B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814302)[解析]①當(dāng)a≥0時，集合A中元素的像滿足－2a≤ax≤2a.若能夠建立從A到B的映射，則[－2a,2a]?[－1,1]，即eq