高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念單元測(cè)試 本章小結(jié)

一、集合1．集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合．(1)集合中的對(duì)象稱元素，若a是集合A的元素，記作a∈A；若b不是集合A的元素，記作b?A.(2)集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性．確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素．無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列，與順序無關(guān)．(3)表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法．列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào){}內(nèi)．描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào){}內(nèi)．具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法.)(4)常用數(shù)集及其記法．非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N；正整數(shù)集，記作N*或N＋；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R.2．集合的包含關(guān)系．(1)集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A)，記作A?B(或B?A)．集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣．若A?B且B?A，則稱A等于B，記作A＝B；若A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作AB.(2)簡(jiǎn)單性質(zhì)：①A?A；②??A；③若A?B，B?C，則A?C；④若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集(其中2n－1個(gè)真子集)．3．全集與補(bǔ)集．(1)包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U.(2)若S是一個(gè)集合，A?S，則?SA＝{x|x∈S且x?A}稱S中子集A的補(bǔ)集．(3)簡(jiǎn)單性質(zhì)：①?S(?SA)＝A；②?SS＝?；③?S?＝S.4．交集與并集．(1)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.)5．集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)．(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；(2)A∪?＝A，A∪B＝B∪A；(3)(A∩B)?(A∪B)；(4)A?B?A∩B＝A，A?B?A∪B＝B；(5)?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB)．二、函數(shù)1．函數(shù)的概念．設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)（1）“y＝f（x）”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y＝g（x）”；,（2）函數(shù)符號(hào)“y＝f（x）”中的f（x）表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x.)2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．(1)解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型．指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，等等)．②限制型．指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤．③實(shí)際型．解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考查自變量x的實(shí)際意義．(2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問題：①配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù))；②判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程)；③不等式法(運(yùn)用不等式的各種性質(zhì))；④函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等)．3．兩個(gè)函數(shù)的相等．函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f.當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定．因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)．4．區(qū)間．(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射的概念．一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．記作“f：A→B”．函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的對(duì)應(yīng)就叫映射．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?,（2）“都有唯一”什么意思？,包含兩層意思：一是必有一個(gè)，二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思.)6．常用的函數(shù)表示法．(1)解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱解析式．(2)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系．(3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系．7．分段函數(shù)．若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)．8．復(fù)合函數(shù)．若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域．三、函數(shù)性質(zhì)1．奇偶性．(1)定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)＝－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)．如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性．如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；,②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.)(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．②確定f(－x)與f(x)的關(guān)系．③作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數(shù)．(3)簡(jiǎn)單性質(zhì)．①圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)則它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)則它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．②設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．單調(diào)性．(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì).,②必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，總有f（x1）＜f（x2）[f（x1）＞f（x2）].)(2)如果函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)設(shè)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：①若u＝g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，y＝f(u)在B上也是增(或減)函數(shù)，則函數(shù)y＝f[g(x)]在A上是增函數(shù)．②若u＝g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，而y＝f(u)在B上是減(或增)函數(shù)，則函數(shù)y＝f[g(x)]在A上是減函數(shù)．(4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟．利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形(通常是因式分解和配方)；④定號(hào)[即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)]；⑤下結(jié)論[即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性]．(5)簡(jiǎn)單性質(zhì)．①奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)f(x)＋增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)＋減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；增函數(shù)f(x)－減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)－增函數(shù)g(x)是減函數(shù)．3．最值．(1)定義．最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)是最小值．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)①函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f（x0）＝M.,②函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M[f（x）≥M].)(2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法．①利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值．②利用圖象求函數(shù)的最大(小)值．③利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，c]在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)．如果函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，c]在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b)．設(shè)card(X)表示有限集X所含元素的個(gè)數(shù)，則①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，特別地，當(dāng)A∩B＝?時(shí)，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．例1某班有36名同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人．解析：由條件知，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為A，B，C，則card(A∩B∩C)＝0，card(A∩B)＝6，card(B∩C)＝4.由公式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)知36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)，故card(A∩C)＝8.即同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．答案：8?跟蹤訓(xùn)練1．已知全集U＝A∪B中有m個(gè)元素，(?UA)∪(?UB)中有n個(gè)元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為()A．mn個(gè)B．m＋n個(gè)C．n－m個(gè)D．m－n個(gè)2．某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為____人．1．解析：因?yàn)锳∩B＝(A∪B)－(?UA)∪(?UB)，所以A∩B共有m－n個(gè)元素，選D.答案：D2．解析：設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，則只喜愛籃球的有(15－x)人，只喜愛乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12.即所求人數(shù)為12人．答案：121．若a∈A，則a??UA；若a∈?UA，則a?A.2．若a∈A∩B，則a∈A且a∈B.3．設(shè)a<b，則x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))a≤x≤b))?a≤x≤b.已知A，B均為集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝()A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}解析：∵A∩B＝{3}，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UB))∩A＝{9}，且B∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UB))＝U，∴A＝{3，9}．故選D.本題也可以用Venn圖(如下圖)幫助理解并解決問題．答案：D?跟蹤訓(xùn)練3．設(shè)集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝____.3．解析：∵3∈A∩B，∴3∈B.又a2＋4>3，故由a＋2＝3,解得a＝1.答案：1有關(guān)集合的新定義問題，高考中常見的有兩類題型：一是定義集合的新概念，二是定義集合的新運(yùn)算．一、定義集合的新概念例3對(duì)于平面上的點(diǎn)集Ω，如果連接Ω中任意兩點(diǎn)的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集：給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如下(陰影區(qū)域及其邊界)，其中為凸集的是_____________(寫出所有凸集相應(yīng)圖形的序號(hào))．解析：由題中凸集的定義，觀察所給圖形知，①④不是凸集，而②③滿足條件，是凸集．答案：②③二、定義集合的新運(yùn)算在集合{a，b，c，d}上定義兩種運(yùn)算⊕和eq\a\vs4\al(○*)A．a(chǎn)B．bC．cD．d解析：由上表可知：(a⊕c)＝c，故deq\a\vs4\al(○*)(a⊕c)＝deq\a\vs4\al(○*)c＝a，故選A.答案：A?跟蹤訓(xùn)練4．設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)任意a，b∈P，都有a＋b、a－b，ab、eq\f(a,b)∈P(除數(shù)b≠0)，則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是數(shù)域．有下列結(jié)論：①數(shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)；②整數(shù)集是數(shù)域；③若有理數(shù)集Q?M，則M必為數(shù)域；④數(shù)域必為無限集．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是____(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)．4．解析：設(shè)a，b∈數(shù)域P，按照定義得eq\f(a,b)∈P，eq\f(b,a)∈P，從而eq\f(a,b)·eq\f(b,a)＝1∈P.又a，b∈P，則a＋b∈P，a－b∈P，b－a∈P，從而0＝(a－b)＋(b－a)∈P，于是數(shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)，因此①正確；以此類推下去，可知數(shù)域必為無限集，④正確．②對(duì)除法如eq\f(1,2)?Z不滿足，所以排除；③取M＝Q∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(2)))，1，eq\r(2)∈M，但對(duì)除法eq\f(1,\r(2))?M.所以①④正確．答案：①④設(shè)集合M有n個(gè)元素，那么集合M的所有子集共有2n個(gè)，集合M的所有真子集共有2n－1個(gè)，集合M的所有非空真子集共有2n－2個(gè)．若集合M＝?，顯然M的所有子集共有1個(gè)；若集合M只有一個(gè)元素，即M＝{a1}，M的所有子集分別是?和M＝{a1}，所有子集共有2個(gè)；設(shè)集合M含有n－1個(gè)元素，M的所有子集共有Mn－1個(gè)，當(dāng)集合M含有n個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)M＝{a1，a2，a3，…，an－1，an}，M的所有子集共分為兩類：一類是不含an的子集，即{a1，a2，a3，…，an－1}的子集，共有Mn－1個(gè)，另一類是含an的子集，只需將an添加到{a1，a2，a3，…，an－1}的所有子集中去，便得到含an的所有子集，顯然也有Mn－1個(gè)，故Mn＝2Mn－1.由此可知，M1＝2M0＝2,M2＝2M1＝4,M3＝2M2＝8，…，Mn＝2Mn例5設(shè)M為非空的數(shù)集，M?{1，2，3}，且M中至少含有一個(gè)奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有()A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)解析：集合{1，2，3}的所有子集共有23＝8(個(gè))，集合{2}的所有子集共有2個(gè)，故滿足要求的集合M共有8－2＝6(個(gè))．答案：A例6滿足{0，1，2}A?{0，1，2，3，4，5}的集合A的個(gè)數(shù)是________個(gè)．解析：集合{3，4，5}的所有非空真子集共有23－1＝7(個(gè))，滿足要求的集合A就是這7個(gè)真子集與集合{0，1，2}的并集，故滿足要求的集合A共有7個(gè)．答案：7?跟蹤訓(xùn)練5．已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是()A．3個(gè)B．4個(gè)C．15個(gè)D．16個(gè)5．C6．已知集合M＝{0，1}，則滿足M∪N＝{0，1，2}的集合N的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．8個(gè)對(duì)于函數(shù)的概念及其表示要注意：1．函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．2．定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．3．求抽象函數(shù)定義域的方法：(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，求f[g(x)]的定義域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集；(2)已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，求f(x)的定義域，就是求當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，g(x)的值域．4．求函數(shù)解析式的常用方法：①湊配法；②換元法；③待定系數(shù)法；④構(gòu)造法．5．求函數(shù)值域的方法：①配方法；②分離常數(shù)法；③換元法．隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會(huì)有更多的求值域的方法．例7設(shè)x≥0時(shí)，f(x)＝2，x＜0時(shí)，f(x)＝1，又規(guī)定g(x)＝eq\f(3f（x－1）－f（x－2）,2)(x＞0)，試寫出y＝g(x)的表達(dá)式，畫出其圖象．分析：對(duì)于x＞0的不同區(qū)間，討論x－1與x－2的符號(hào)可求出g(x)的表達(dá)式．解析：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x－1＜0，x－2＜0，∴g(x)＝eq\f(3－1,2)＝1；當(dāng)1≤x＜2時(shí)，x－1≥0，x－2＜0，∴g(x)＝eq\f(6－1,2)＝eq\f(5,2)；當(dāng)x≥2時(shí)，x－1＞0，x－2≥0.∴g(x)＝eq\f(6－2,2)＝2.故g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，0＜x＜1，,\f(5,2)，1≤x＜2，,2，x≥2.))其圖象如右圖所示．點(diǎn)評(píng)：此題要注意分類討論，做題時(shí)要分段求解析式．畫圖要注意端點(diǎn)的取舍．?跟蹤訓(xùn)練7．求下列函數(shù)的定義域．(1)f(x)＝x＋eq\f(2,x－1)；(2)f(x)＝eq\f(\r(4－x),x－1)；(3)f(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)；(4)f(x)＝eq\r(x2＋x＋1)＋eq\f(1,x2－2x＋1).7．解析：(1)∵x－1≠0，∴x≠1，∴函數(shù)的定義域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．(2)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x≥0，,x－1≠0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤4，,x≠1.))∴函數(shù)的定義域是(－∞，1)∪(1，4]．(3)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1.))∴x＝1，∴函數(shù)的定義域是{1}．(4)∵x2＋x＋1的判別式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，∴x2＋x＋1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，∴函數(shù)的定義域由x2－2x＋1≠0確定，由x2－2x＋1≠0，得x≠1.∴函數(shù)的定義域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的定義域要注意使函數(shù)解析式中每個(gè)式子都有意義，有時(shí)需解不等式組．1．判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；(3)變形(通分、配方、因式分解)；(4)判斷差的符號(hào)，下結(jié)論．2．求函數(shù)單調(diào)性要先確定函數(shù)的定義域．3．若f(x)為增(減)函數(shù)，則－f(x)為減(增)函數(shù)．4．復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則．5．奇函數(shù)的性質(zhì)：(1)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；(3)若在x＝0處有定義，則有f(0)＝0.6．偶函數(shù)的性質(zhì)：(1)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；(3)f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．7．若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上有最大值M，則在區(qū)間[－b，－a]上有最小值－M.例8已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x|x－2|，求f(x)在R上的表達(dá)式．解析：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.(2)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0.∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x|x＋2|，∴f(x)＝x|x＋2|.綜上可知，f(x)在R上的表達(dá)式為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x－2|，x＞0，,0，x＝0，,x|x＋2|，x＜0.))點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于通過區(qū)間的過渡，將(－∞，0)上的變量轉(zhuǎn)換到(0，＋∞)上，從而利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在(0，＋∞)上的解析式求出函數(shù)在(－∞，0)上的解析式，但不要忘記f(x)為奇函數(shù)且x∈R時(shí)，f(0)＝0.?跟蹤訓(xùn)練8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)證明：f(x)是偶函數(shù)；(2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(3)求函數(shù)的值域．8．(1)證明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(2)解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2－2，x≥0，,（x＋1）2－2，x＜0.))根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖所示．函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]．f(x)在區(qū)間[－3，－1)，[0，1)上為減函數(shù)，在[－1，0)，[1，3]上為增函數(shù)．(3)解析：由圖象可知，函數(shù)值域?yàn)閇－2，2]．點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性，可以作出相應(yīng)的圖象．9．若f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(3)＝0，則xf(x)＜0的解集是()A．{x|－3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜－3或0＜x＜3}C．{x|x＜－3或x＞3}D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}9．解析：因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，f(3)＝0，所以當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f(x)＜0；當(dāng)x＞3時(shí)，f(x)＞0.又因f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)－3＜x＜0時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)x＜－3時(shí)，f(x)＜0，可見xf(x)＜0的解集是{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}．答案：D分段函數(shù)是指在定義域的不同子集上解析式不同的函數(shù)．在求分段函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，要根據(jù)自變量的所在范圍，選擇相應(yīng)的解析式進(jìn)行研究．分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各解析式的取值范圍的并集．分段函數(shù)的性質(zhì)往往要結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷研究．分段函數(shù)解析式的確定一定要分類討論，根據(jù)不同情形分別確定．例9某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到每張降為450元為止．每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？解析：(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x人，由題知0<x≤75，飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,900－（x－30）·10，30<x≤75，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,1200－10x，30<x≤75.))(2)設(shè)旅行社獲利為S元，則S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,x（1200－10x）－15000，30<x≤75，))即S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,－10（x－60）2＋21000，30<x≤75，))因此，當(dāng)x＝60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)．?跟蹤訓(xùn)練10．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈[0，1]，,3－x，x∈（－∞，0）∪（1，＋∞），))若f[f(x)]＝1，求x的取值范圍．10．解析：f[f(x)]＝1等價(jià)于：f(x)∈[0，1]，①或3－f(x)＝1.②①式又等價(jià)于x∈[0，1]或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x∈[0，1]，,x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）；))②式又等價(jià)于3－x＝2.解得x的取值范圍是[0，1]∪[2，3]．11．通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間．講座開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和講授概念的時(shí)間(單位：分鐘)，可有以下的公式：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－＋＋43，0<x≤10，,59，10<x≤16，,－3x＋107，16<x≤30.))(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時(shí)間？(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？(3)一個(gè)數(shù)學(xué)難題需要55的接受能力以及13分鐘時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題？11．解析：(1)易知在前10分鐘學(xué)生的接受能力一直增強(qiáng)，所以開講后10分鐘學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，此時(shí)達(dá)到59；而從16分鐘后開始，學(xué)生的接受能力從59起一直在下降，故能維持6分鐘．(2)因?yàn)殚_講后5分鐘學(xué)生的接受能力為－×25＋13＋43＝，開講后20分鐘學(xué)生的接受能力為－3×20＋107＝47，所以學(xué)生在開講后5分鐘接受能力強(qiáng)一些．(3)因?yàn)橐浊蟮脧牡?分鐘開始學(xué)生的接受能力開始達(dá)到55，一直維持到第eq\f(52,3)分鐘時(shí)開始從55下降，所以能保持接受能力為55的時(shí)間為eq\f(52,3)－6＝eq\f(34,3)<13，因?yàn)橹v這個(gè)數(shù)學(xué)難題需要55的接受能力和13分鐘，因此老師不能在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題.抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以常見函數(shù)為背景，通過代數(shù)表述給出函數(shù)性質(zhì)．處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段．也是解決這類問題的主要方法．例10已知定義域?yàn)镽＋的函數(shù)f(x)，同時(shí)滿足下列條件：①f(2)＝1，f(6)＝eq\f(1,5)；②f(x·y)＝f(x)＋f(y)．求f(3)、f(9)的值．解析：取x＝2，y＝3，得f(6)＝f(2)＋f(3)，∵f(2)＝1，f(6)＝eq\f(1,5)，∴f(3)＝－eq\f(4,5).又取x＝y(tǒng)＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝－eq\f(8,5).點(diǎn)評(píng)：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地取x＝2，y＝3，這樣便把已知條件f(2)＝1，f(6)＝eq\f(1,5)與欲求的f(3)聯(lián)系了起來．這是解此類問題的常用技巧．?跟蹤訓(xùn)練12．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)＝x0，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式．12．解析：(1)因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2.又由f(2)＝3得f(3－22＋2)＝3－22＋2，即f(1)＝1.若f(0)＝a，則f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)＝x0，所以，對(duì)任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0，在上式中令x＝x0，有f(x0)－xeq\o\al(2,0)＋x0＝x0，又因?yàn)閒(x0)＝x0，所以x0－xeq\o\al(2,0)＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，則f(x)－x2＋x＝0，即f(x)＝x2－x.但方程x2－x＝x有兩個(gè)不同實(shí)根，與題設(shè)矛盾，故x0≠0.若x0＝1，則有f(x)－x2＋x＝1，即f(x)＝x2－x＋1.易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件．綜上可知，所求函數(shù)為f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中有三個(gè)參數(shù)a，b，c.解題時(shí)常常需要通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù).二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0))的圖象為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等.結(jié)合這些圖象特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀．二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(b,2a)對(duì)稱，設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)也反映了二次函數(shù)的一種對(duì)稱性．將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)進(jìn)行配方可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)，由此可知函數(shù)的對(duì)稱軸、最值及判別式．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0))在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))和區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上分別單調(diào)，所以二次函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得．例11某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，改造就需要投入，相應(yīng)就要提高產(chǎn)品附加值．假設(shè)附加值