最優(yōu)化計(jì)算方法

最優(yōu)化計(jì)算方法數(shù)學(xué)建模系列講座最優(yōu)化問題的解就是從所有可能的方案中選出最合理的,以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案--最優(yōu)方案.搜尋最優(yōu)方案的方法就是最優(yōu)化方法.

最優(yōu)化是工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、科學(xué)研究、社會(huì)生活中經(jīng)常遇到的問題.如：結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)資源分配生產(chǎn)計(jì)劃運(yùn)輸方案最優(yōu)化:在一定條件下,尋求使目標(biāo)最大（?。┑臎Q策CUMCM賽題：約一半以上與最優(yōu)化問題有關(guān).2012年B題太陽能小屋的設(shè)計(jì)，2011年B題交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度，2010年A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定，2009年B題眼科病床的合理安排等非線性規(guī)劃：96A最優(yōu)捕魚策略

96B節(jié)水洗衣機(jī)97A零件參數(shù)設(shè)計(jì)

98A投資收益與風(fēng)險(xiǎn)01B公交車調(diào)度混合整數(shù)規(guī)劃:99B鉆井布局最短路，二次規(guī)劃：00B管道訂購組合優(yōu)化最短路：97B截?cái)嗲懈睿?/p>

04A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市(MS)網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)旅行商問題:98B災(zāi)情巡視優(yōu)化：02A車燈光源優(yōu)化設(shè)計(jì)

02B彩票中的數(shù)學(xué)最優(yōu)化理論是運(yùn)籌學(xué)的基本內(nèi)容運(yùn)籌學(xué)OR：OperationalResearch管理科學(xué)MS:ManagementScience決策科學(xué)DS:DecisionScience優(yōu)化Optimization規(guī)劃Programming動(dòng)態(tài)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃不確定規(guī)劃非線性規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃組合優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化線性規(guī)劃無約束優(yōu)化多目標(biāo)規(guī)劃智能優(yōu)化優(yōu)化問題的一般形式優(yōu)化問題三要素：決策變量；目標(biāo)函數(shù)；約束條件

可行解（滿足約束）與可行域（可行解的集合）最優(yōu)解（取到最小或最大值的可行解）約束條件目標(biāo)函數(shù)決策變量最優(yōu)化模型與方法的步驟1.分析問題.發(fā)現(xiàn)、提出并形成問題,進(jìn)行抽象、簡化、歸納和綜合.明確問題的目標(biāo)、各種約束、問題的可控變量以及有關(guān)參數(shù),搜集有關(guān)資料2.建立模型.經(jīng)過合理的假設(shè),確定變量、參數(shù)和目標(biāo)與約束之間的關(guān)系,使用有效的模型來表示3.求解.使用和創(chuàng)立各種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)技術(shù),對(duì)模型求解(如最優(yōu)解、次優(yōu)解、近似解).借助于計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行求解復(fù)雜的模型,并進(jìn)行各種數(shù)據(jù)分析4.解的檢驗(yàn)和控制.檢查求解步驟和程序無誤后,檢驗(yàn)解是否反映現(xiàn)實(shí)問題并進(jìn)行靈敏度分析

建模時(shí)需要注意的幾個(gè)基本問題1.盡量使用實(shí)數(shù)優(yōu)化,減少整數(shù)約束和整數(shù)變量2.盡量使用光滑優(yōu)化,減少非光滑約束的個(gè)數(shù)

如:盡量少使用絕對(duì)值函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、多個(gè)變量求最大(最小)值、四舍五入、取整函數(shù)等3.盡量使用線性模型,減少非線性約束和非線性變量的個(gè)數(shù)

如:x/y<5應(yīng)改為x<5y4.合理設(shè)定變量上下界,盡可能給定變量初始值5.模型中使用的參數(shù)數(shù)量級(jí)要適當(dāng)

如:小于

無約束優(yōu)化最優(yōu)解都是局部最優(yōu)解,全局最優(yōu)解只能從局部最優(yōu)解的比較中得到.

多局部極小

唯一極小(全局極小)在迭代的每一步,確定一個(gè)搜索方向和一個(gè)步長,使沿此方向和此步長走一步到達(dá)下一點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(X)的值下降.步長的選擇:搜索方向

確定后,求步長實(shí)際上是一個(gè)一維優(yōu)化問題

成功-失敗法黃金分割法(0.618法)Fibonacci法拋物線插值法三次插值法求解方法:搜索算法(數(shù)值迭代)

方向的選擇:最速下降法(梯度法)牛頓法擬牛頓法由BFGS迭代公式或DEP公式迭代得出稱為一維搜索搜索過程最優(yōu)點(diǎn)(11)初始點(diǎn)(-11)-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8

最速下降法是一種最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位.最速下降法的優(yōu)點(diǎn)是工作量小，存儲(chǔ)變量較少,初始點(diǎn)要求不高；缺點(diǎn)是收斂慢，最速下降法適用于尋優(yōu)過程的前期迭代或作為間插步驟，當(dāng)接近極值點(diǎn)時(shí)，宜選用別種收斂快的算法.

1．最速下降法（共軛梯度法）算法步驟：無約束優(yōu)化問題的基本算法2．牛頓法算法步驟：

如果f是對(duì)稱正定矩陣A的二次函數(shù)，則用牛頓法經(jīng)過一次迭代就可達(dá)到最優(yōu)點(diǎn),如不是二次函數(shù)，則牛頓法不能一步達(dá)到極值點(diǎn)，但由于這種函數(shù)在極值點(diǎn)附近和二次函數(shù)很近似,因此牛頓法的收斂速度還是很快的.

牛頓法的收斂速度雖然較快，但要求Hessian矩陣要可逆,要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)和逆矩陣，就加大了計(jì)算機(jī)計(jì)算量和存儲(chǔ)量.3．?dāng)M牛頓法選址問題:某市燃?xì)夤居?jì)劃要建一個(gè)煤氣供應(yīng)站,該站向城市中有固定位置的m個(gè)用戶供貨.對(duì)于選定的坐標(biāo)系,已知第i個(gè)用戶的位置為如果只考慮直線距離,如何確定煤氣站的位置,才能使總的運(yùn)輸距離最短?設(shè)煤氣站的位置為

,則問題的數(shù)學(xué)模型為容積問題:對(duì)邊長為3米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？產(chǎn)銷量的最佳安排

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大.所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量.總利潤為：z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2基本假設(shè)1．價(jià)格與銷量成線性關(guān)系2．成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系

模型建立總利潤函數(shù)

z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量x1，x2，使總利潤z最大.為簡化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求:z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2

的極值.顯然其解為x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,可以把它作為原問題的初始值.約束優(yōu)化連續(xù)優(yōu)化離散規(guī)劃線性規(guī)劃LP

目標(biāo)和約束均為線性函數(shù)非線性規(guī)劃NLP

目標(biāo)和約束均為非線性函數(shù)

二次規(guī)劃QP

目標(biāo)為二次函數(shù),約束為線性函數(shù)整數(shù)規(guī)劃IP

決策變量(全部或部分)為整數(shù)

整數(shù)線性規(guī)劃ILP

整數(shù)非線性規(guī)劃INLP

純整數(shù)規(guī)PIP

混合整數(shù)規(guī)劃MIP

一般整數(shù)規(guī)劃0--1整數(shù)規(guī)劃線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)線性規(guī)劃的其他形式可通過形式變換和添加松弛變量而化為標(biāo)準(zhǔn)型.常用求解方法:單純形法線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型:其中運(yùn)輸問題:

設(shè)有m個(gè)生產(chǎn)地點(diǎn)可供應(yīng)物資,其供應(yīng)量(產(chǎn)量)分別為.有n個(gè)銷售地點(diǎn),其需求量分別為,假設(shè)供需平衡,即

.用表示由運(yùn)

輸單位物資的運(yùn)價(jià),如何

確定一種調(diào)運(yùn)方案才能

使總運(yùn)輸費(fèi)用最小.

用表示由調(diào)運(yùn)物資的

數(shù)量,則運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)

模型為:任務(wù)分配問題：某車間有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，可用于加工三種工件。假定這兩臺(tái)車床的可用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺(tái)時(shí)數(shù)和加工費(fèi)用如下表。問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費(fèi)用最低？設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6。可建立以下線性規(guī)劃模型：人員問題:某廠每日8小時(shí)的產(chǎn)量不低于1800件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員。一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時(shí)，正確率98%，計(jì)時(shí)工資4元/小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15小時(shí)/件，正確率95%，計(jì)時(shí)工資3元/小時(shí)。檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？

設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資為：因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：故目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：線性規(guī)劃模型：整數(shù)規(guī)劃決策變量只能取整數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題模型的一般形式為

求解方法:割平面法—用于求解純整數(shù)規(guī)劃分枝定界法—用于求解混合整數(shù)規(guī)劃.

窮舉法—用于規(guī)模不大的整數(shù)規(guī)劃.背包問題:

有一只背包(泛指倉庫、船艙、衛(wèi)星倉等)，最大裝載重量為w單位?，F(xiàn)有k種物品，每種的數(shù)量無限。第i種物品每件重量為,價(jià)值.每種物品各取多少裝入背包，使其中的物品總價(jià)值最高。設(shè)取第i種物品件,則非線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)與約束條件中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)SUTM外點(diǎn)法SUTM內(nèi)點(diǎn)法（障礙罰函數(shù)法）罰函數(shù)法近似規(guī)劃法常用方法基本思想：將非線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件

近似為線性函數(shù)，并對(duì)變量的取值范圍加以限制，從而得到一個(gè)近似線性規(guī)劃問題，再用單純形法求解之，把其符合原始條件的最優(yōu)解作為原問題的近似解．每得到一個(gè)近似解后，都從這點(diǎn)出發(fā)，重復(fù)以上步驟．這樣，通過求解一系列線性規(guī)劃問題，產(chǎn)生一個(gè)由線性規(guī)劃最優(yōu)解組成的序列，經(jīng)驗(yàn)表明，這樣的序列往往收斂于非線性規(guī)劃問題的解。近似規(guī)劃法

SUTM外點(diǎn)法將求解將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為無約束問題

構(gòu)造罰函數(shù)

罰函數(shù)法基本思想是通過構(gòu)造罰函數(shù)把約束問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束最優(yōu)化問題.稱為序列無約束最小化方法,簡稱SUMT.其中T(x,M)稱為罰函數(shù)，M稱為罰因子，帶M的項(xiàng)稱為罰項(xiàng)這里的罰函數(shù)只對(duì)不滿足約束條件的點(diǎn)實(shí)行懲罰：當(dāng)時(shí),滿足各,故罰項(xiàng)=0,不受懲罰.當(dāng)時(shí),必有的約束條件,故罰項(xiàng)>0,要受懲罰．SUTM內(nèi)點(diǎn)法(障礙函數(shù)法)設(shè)集合是可行域中所有嚴(yán)格內(nèi)點(diǎn)的集合.構(gòu)造障礙函數(shù)考慮問題將問題轉(zhuǎn)化為無約束問題其中則是問題的解.

其中稱或?yàn)檎系K項(xiàng),為障礙因子資金使用問題:設(shè)有400萬元資金,要求4年內(nèi)使用完,若在一年內(nèi)使用資金x萬元,則可得效益萬元(效益不能再使用),當(dāng)年不用的資金可存入銀行,年利率為10%.試制定出資金的使用計(jì)劃,以使4年效益之和為最大.設(shè)變量表示第i年所使用的資金數(shù),則有其中H為n階對(duì)稱半正定矩陣.二次規(guī)劃問題標(biāo)準(zhǔn)形為動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決多階段決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法特點(diǎn):具有明確的階段性,各階段次序遞推且相互依賴和影響.各個(gè)階段所作的決策形成確定整個(gè)系統(tǒng)的決策序列,稱這樣的決策序列為系統(tǒng)的一個(gè)策略.多階段決策過程就是在所有允許的策略集合中確定一個(gè)達(dá)到最優(yōu)指標(biāo)的最優(yōu)策略.多階段決策過程是一種多維優(yōu)化問題的方法.動(dòng)態(tài)規(guī)劃是基于最優(yōu)性原理,將一個(gè)復(fù)雜的多元問題分解成為若干個(gè)相互依賴,相互聯(lián)系的易于求解優(yōu)化的少階段低維問題.構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的步驟1）將實(shí)際問題恰當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾呻A段;2）正確選擇狀態(tài)變量;3）確定決策變量及每段的允許決策集合4）正確選擇狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；5）正確列出指標(biāo)函數(shù)并要求滿足遞推性。根據(jù)Bellman的最優(yōu)化原理，利用逆推（初始狀態(tài)給定）和順推方法(終止?fàn)顟B(tài)給定)，可求出最優(yōu)決策和最優(yōu)值。把資源分配過程分為N個(gè)階段.第k階段是向第k個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)目分配資源.用x(k+1)表示分配完1,2,…,k個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)目后剩余的資源數(shù)量(稱為狀態(tài)變量,x(1)=M).用v(x(k+1),k+1)表示把剩余的資源x(k+1)分配給第k+1,k+2,…,N個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)目能獲得的最大利潤(稱為最優(yōu)值函數(shù)).投資問題設(shè)有某種資源(或資金)M個(gè)單位(M為正整數(shù)),欲分配用于N個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)目.已知第k個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)目獲得u(k)個(gè)單位(u(k)為非負(fù)整數(shù),稱為決策變量)這種資源后可創(chuàng)利潤L((u(k)),k).L(u(k)),K)是u(k)的不減函數(shù).如何分配這些資源可使所獲利潤

最大.根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

逆向遞推可求得最優(yōu)決策序列和總利潤的最大值其中多目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上函數(shù)構(gòu)成其中

為(vp)的絕對(duì)最優(yōu)解.

為(vp)的(弱)有效解或pareto最優(yōu)解.求解求解多目標(biāo)函數(shù)的評(píng)價(jià)函數(shù)方法求多目標(biāo)規(guī)劃有效解的最基本方法.基本思想:借助于幾何和應(yīng)用中的直觀背景,構(gòu)造所謂的評(píng)價(jià)函數(shù),從而將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題.然后利用單目標(biāo)優(yōu)化問題的求解方法求出最優(yōu)解,并把這種最優(yōu)解當(dāng)作多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解.所謂的評(píng)價(jià)函數(shù)是利用(vp)的目標(biāo)函數(shù)f(x),構(gòu)造一個(gè)復(fù)合函數(shù),然后在(vp)的約束集上極小化.φ的構(gòu)造必須保證在一定條件下,的最優(yōu)解是(vp)的(弱)有效解.理想點(diǎn)法線性加權(quán)和法極大極小法理想點(diǎn)法

先求解p個(gè)單目標(biāo)問題.設(shè)其最優(yōu)值為,稱為一個(gè)理想值點(diǎn),一般很難達(dá)到,尋求距最近的f作為近似值.

構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)線性加權(quán)和法

構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)極大極小法在決策時(shí),采取保守策略是穩(wěn)妥的.即在最壞的情況下,尋求最好的結(jié)果.構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)材料問題用直徑為1的圓木制作截面為矩形的梁,為使重量最輕而強(qiáng)度最大,問截面的長與寬應(yīng)取何尺寸?設(shè)矩形截面的長與寬分別為,這時(shí)梁的面積為

,它決定重量.而梁的強(qiáng)度取決于截面矩故得到模型為組合最優(yōu)化可行解集合為有限點(diǎn)集求解方法:枚舉法有限個(gè)點(diǎn),逐一判別.以時(shí)間為代價(jià)

啟發(fā)式算法不一定能保證所得解的可行性和最優(yōu)性.現(xiàn)代優(yōu)化算法包括禁忌搜索,模擬退火,遺傳算法,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).D表示由有限點(diǎn)組成的集合背包問題:設(shè)有一個(gè)容積為b的背包,n個(gè)體積分別為,價(jià)值分別為的物品,如何以最大的價(jià)值裝包?設(shè)則建模為旅行商問題:一個(gè)商人欲到n個(gè)城市推銷商品,每兩個(gè)城市i和j之間的距離為,如何選擇一條道路使得商人每個(gè)城市走一遍后回到起點(diǎn)且所走路徑最短.決策變量和分別表示行走的路線不包含和包含從城市i到城市j路徑,則數(shù)學(xué)模型為投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)任何人都希望最大化自己的效用而非最小，在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這是經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驗(yàn)命題，從重商主義、重農(nóng)主義、古典經(jīng)濟(jì)學(xué)、新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)到當(dāng)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)(新古典主義和新凱恩斯主義)，無不接受、繼承和發(fā)展這一命題，效用最大化,支出最小化問題得到了越來越深入的研究。偏好的無滿足性決定了消費(fèi)者根本不可能在整個(gè)消費(fèi)集合中選擇出最為滿意的消費(fèi)方案，因此，無限制的效用最大化是無法實(shí)現(xiàn)的。也就是說，消費(fèi)者的欲望是無止境的，永遠(yuǎn)沒有一個(gè)滿足的時(shí)候，當(dāng)消費(fèi)者面臨一種消費(fèi)方案時(shí)，常常會(huì)作出這樣的考慮：只要效用水平不降低，支出越少就越好。正常人都會(huì)有想占便宜的正常心理，誰不想以較少的效用換得較多的效用呢？任何人都處在一定的客觀環(huán)境中，客觀環(huán)境必然對(duì)人們的選擇行為帶來一定的限制。人們受到的種種限制影響了人們的選擇和享受，但這些限制卻使得效用最大化問題有了解決途徑——服從約束條件的效用最大化。理性消費(fèi)者正是在服從種種條件限制的情況下，選擇自己最滿意的方案。在保證不降低生活水平的前提下謀求消費(fèi)支出達(dá)到最少。二、問題的分析與假設(shè)這是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，目標(biāo)有二，凈收益最大和整體風(fēng)險(xiǎn)最小.一般來說，這兩個(gè)目標(biāo)是矛盾的，收益大，風(fēng)險(xiǎn)必然大，所以不可能給出這兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的所謂最優(yōu)決策，我們追求的只能是，在一定的風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策，或在一定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小的決策，或收益和風(fēng)險(xiǎn)按一定比例組合最優(yōu)的決策。這就是說應(yīng)該給出的不是一個(gè)解，而是一組Pareto解，比如在一系列風(fēng)險(xiǎn)值下收益最大的決策，冒險(xiǎn)者會(huì)從中選擇高風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策，保守者會(huì)從低風(fēng)險(xiǎn)下的決策中選擇。三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}對(duì)投資時(shí)交易費(fèi)凈收益風(fēng)險(xiǎn)所需資金

用表示投資方案,則投資方案的

總收益整體風(fēng)險(xiǎn)所需資金將多目標(biāo)規(guī)劃問題化為單目標(biāo)規(guī)劃問題雙目標(biāo)優(yōu)化模型a.在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃。模型M1:確定風(fēng)險(xiǎn)水平,優(yōu)化收益.記.求解

模型M2:確定盈利水平,極小化風(fēng)險(xiǎn).記.求解模型M3:確定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)-收益的相對(duì)偏好參數(shù),求解b．若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。c．投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自