高中數(shù)學(xué)北師大版1第二章圓錐曲線 說(shuō)課一等獎(jiǎng)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十一)§3柱面與平面的截面§4平面截圓錐面(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.圓錐的頂角為50°，圓錐的截面與軸線所成的角為30°，則截線是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線【解析】由已知α＝eq\f(50°,2)＝25°，β＝30°，∴β>α.故截線是橢圓.【答案】B2.一圓柱面被一平面所截，平面與母線成60°角，截線上最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為4eq\r(3)，則該圓柱底面的半徑為()\r(3) \r(3) 【解析】圓柱底半徑r＝2eq\r(3)sin60°＝3.【答案】C3.已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面π與軸夾角為45°，則平面π與圓錐交線的離心率是()\f(\r(2),2) \f(\r(2),3)\r(2) \r(2)【解析】由題意，θ＝45°，σ＝60°，由θ<σ知，平面π與圓錐面的交線為雙曲線，雙曲線的離心率為e＝eq\f(cos45°,cos60°)＝eq\r(2).【答案】C4.已知半徑為2的圓柱面，一平面與圓柱面的軸線成45°角，則截線橢圓的焦距為()\r(2) \r(2)【解析】由2a＝eq\f(2r,sin45°)＝4eq\r(2)，∴a＝2eq\r(2)，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝2，故焦距為4.【答案】C5.已知圓錐面的軸截面為等腰直角三角形，用一個(gè)與軸線成30°角的不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的截線的離心率為()\f(\r(6),2) \f(\r(6),3)\f(3,2) \f(\r(2),2)【解析】∵圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以母線與軸線的夾角σ＝45°；又截面與軸線的夾角θ＝30°，即θ＜σ，∴截線是雙曲線，其離心率e＝eq\f(cosθ,cosσ)＝eq\f(cos30°,cos45°)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).【答案】A二、填空題6.已知圓錐面的母線與軸成44°角，用一個(gè)與軸線成44°角的不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的交線是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990049】【解析】根據(jù)平面截圓錐面定理知，交線為拋物線.【答案】拋物線7.已知圓柱底面半徑為b，平面α與圓柱母線夾角為30°，在圓柱與平面交線上有一點(diǎn)P到一準(zhǔn)線l1的距離是eq\r(3b)，則點(diǎn)P到另一準(zhǔn)線l2對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)F1的距離是__________.【解析】由題意知，橢圓短軸為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝eq\f(2b,sin30°)＝4b，∴c＝eq\r(4b2－b2)＝eq\r(3)b.∴e＝eq\f(\r(3)b,2b)＝eq\f(\r(3),2)(或e＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)).設(shè)P到F1的距離為d，則eq\f(d,\r(3)b)＝eq\f(\r(3),2)，∴d＝eq\f(3,2)b.又PF1＋PF2＝2a＝4b，∴PF2＝4b－PF1＝4b－eq\f(3,2)b＝eq\f(5,2)b.8.已知圓柱面軸線上一點(diǎn)O到圓柱的同一條母線上兩點(diǎn)A，B的距離分別為2和3eq\r(2)，且∠AOB＝45°.則圓柱面內(nèi)切球的半徑是__________.【解析】如圖所示為圓柱面的軸截面.依題意，OA＝2，OB＝3eq\r(2)，∠AOB＝45°，∴AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos45°＝4＋18－2×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10，∴AB＝eq\r(10).設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·r＝eq\f(\r(10),2)r.又∵S△OAB＝eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,2)×2×3eq\r(2)sin45°＝3，∴eq\f(\r(10),2)r＝3，∴r＝eq\f(3\r(10),5)，即圓柱面內(nèi)切球半徑為eq\f(3\r(10),5).三、解答題9.如圖2-3-6，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.圖2-3-6【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，焦距為2c.由已知可得a＝10，b＝6，c＝eq\r(a2－b2)＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).由橢圓定義PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20.又∵PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.由離心率定義，∴eq\f(PF1,PQ)＝eq\f(4,5).∴PQ＝eq\f(25,4).10.如圖2-3-7，圓柱被平面α所截.已知AC是圓柱口在平面α上最長(zhǎng)投影線段，BD是最短的投影線段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圓柱的軸上，EG和FH都是投影線，分別與平面α交于點(diǎn)G，H.圖2-3-7(1)比較EF，GH的大小；(2)若圓柱的底面半徑為r，平面α與母線的夾角為θ，求CD.【解】(1)∵EG和FH都是投影線，∴EG∥FH又EG＝FH，∴四邊形EFHG是平行四邊形，∴EF＝GH.(2)如題圖，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于點(diǎn)P，則在Rt△CDP中，有：sin∠DCP＝eq\f(DP,CD)，又∠DCP＝θ，DP＝2r，∴CD＝eq\f(2r,sinθ).能力提升]1.如圖2-3-8所示，球O與圓柱的上、下底面以及側(cè)面均相切，用一平面去截圓柱的球，得到的截面圖有可能是()圖2-3-8A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①②③④【解析】如圖所示，AB為圓柱的軸，當(dāng)平面與AB垂直且過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，截得的圖形是圖①；當(dāng)平面與AB垂直不過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，截得的圖形是兩個(gè)同心圓，是圖②；當(dāng)平面經(jīng)過(guò)軸AB時(shí)，截得的圖形是圖③；當(dāng)平面與軸AB不垂直且平面與圓柱的側(cè)面有交線時(shí)，截得的圖形是圖④，故有可能的圖形是①②③④.【答案】D2.在陽(yáng)光照射下，地面上籃球的影子是個(gè)橢圓，如圖2-3-9所示，則籃球與地面的接觸點(diǎn)是橢圓的一個(gè)__________.圖2-3-9【解析】如圖，作籃球與影子的縱截面圖，M為球心，D為籃球與地面的接觸點(diǎn)，易知MD⊥A1A2，MD＝b.因?yàn)楣饩€EA1∥FA2，且EA1，F(xiàn)A2，A1A2均與圓M相切，所以∠MA1D＋∠MA2D＝90°，所以∠A1MA2＝90°，于是MO＝A1O＝A2O＝a.于是OD＝eq\r(MO2－MD2)＝eq\r(a2－b2)＝c，所以D是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).【答案】焦點(diǎn)3.如圖2-3-10，已知兩焦點(diǎn)的距離F1F2＝2c，兩端點(diǎn)G1G2＝2a.求證：l1與l2之間的距離為eq\f(2a2,c).圖2-3-10【證明】設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P，過(guò)P作PQ1⊥l1于Q1，過(guò)P作PQ2⊥l2于Q2.∵e＝eq\f(PF1,PQ1)＝eq\f(PF2,