山西省大同市平旺鄉(xiāng)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省大同市平旺鄉(xiāng)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若命題“p∨q”為真，“?p”為真，則（） A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假． 【專題】閱讀型． 【分析】本題考查的是復(fù)合命題的真假問題．在解答時(shí)，可先結(jié)合條件“p或q”為真命題判斷p、q的情況，根據(jù)?p為真，由此即可獲得p、q的真假情況，得到答案 【解答】解：由題意可知：“p∨q”為真命題， ∴p、q中至少有一個(gè)為真， ∵?p為真， ∴p、q全為真時(shí)，p且q為真，即“p且q為真”此時(shí)成立； 當(dāng)p假、q真， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是復(fù)合命題的真假問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了命題中的或非關(guān)系．值得同學(xué)們體會(huì)反思．屬基礎(chǔ)題． 2.設(shè)（1+i)=1+,其中x，y為實(shí)數(shù)，則=（

）A.1 B. C. D.2參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意知，復(fù)數(shù)滿足，可得，解得，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖正方體，在下底面中到直線和距離相等的點(diǎn)的軌跡（）A．直線

B．橢圓

C．拋物線

D．雙曲線參考答案：D略4.定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”.若已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為,又,則(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C5.曲線y=與直線y=x﹣1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2參考答案：D【考點(diǎn)】67：定積分．【分析】作出函數(shù)的圖象，可得圍成的封閉圖形為曲邊三角形ABC，它的面積可化作梯形ABEF的面積與曲邊梯形BCEF面積的差，由此結(jié)合定積分計(jì)算公式和梯形面積公式，不難得到本題的答案．【解答】解：令x=4，代入直線y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲線y=與直線y=x﹣1交于點(diǎn)B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封閉圖形ABC的面積SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故選D【點(diǎn)評(píng)】本題利用定積分計(jì)算公式，求封閉曲邊圖形的面積，著重考查了利用積分公式求原函數(shù)和定積分的幾何意義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6.若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)a的值為（

）

A

–1或

B

1或3

C

–2或6

D

0或4參考答案：D7.已知等比數(shù)列中，有，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則A．2B．4C．8D．16參考答案：C略8.若則的值為（

）

參考答案：C9.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于2的概率是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A平面區(qū)域的面積為4，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于2的點(diǎn)所到區(qū)域?yàn)椋袔缀胃判偷母怕使娇芍獏^(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于等于2的概率為．10.執(zhí)行右圖程序中，若輸出y值為1，則輸入x的值為A．0

B．1

C．0或1

D．－1，0或1參考答案：C由題意得或，解得x＝1或x＝0，故選C．考點(diǎn)：程序框圖．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)()，則_________。參考答案：【分析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，所以，解得，所以復(fù)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的條件，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值等于

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參考答案：-113.對(duì)于三次函數(shù)，定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是“對(duì)稱中心”.請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件，則函數(shù)的對(duì)稱中心為__________.參考答案：，，令，得.又，所以的對(duì)稱中心為.14.一個(gè)五位數(shù)滿足且(如37201,45412)，則稱這個(gè)五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”．那么，其中五個(gè)數(shù)字互不相同的五位數(shù)共有

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個(gè)．參考答案：略15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____________。參考答案：略16.函數(shù)的最大值為__________.參考答案：17.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【分析】（1）求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．（2）已知f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在區(qū)間（0，）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上為減函數(shù)，∴x∈時(shí)﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．設(shè)，則∵x∈時(shí)，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上遞減，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．19.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足.（1）若a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，由x2－4x＋3<0，得：1<x<3······①，又由得：，∴2<x≤3······②，∴由①②得：2<x<3，∴x的取值范圍為（2，3）.（2）∵p：x2－4ax＋3a2<0，即(x－a)(x－3a)<0（a>0），∴a<x<3a，∴p：x≤a或x≥3a；設(shè)A＝（－∞，a]∪[3a，＋∞）；又q：x≤2或x>3，設(shè)B＝（－∞，2]∪（3，＋∞），由p是q的充分不必要條件，得：AB，∴，∴1<a≤2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，2].

略20.（本小題14分）已知定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上是減函數(shù)；（Ⅱ）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）要使方程在[－1，1]上恒有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）．證：任設(shè)，則．，．，即∴在上是減函數(shù).．

……4分

（Ⅱ）由

得：

……8分（Ⅲ）記，則為上的單調(diào)遞減函數(shù)．∴．∵在[－1，1]上為奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)．又，∴，即．

……14分略21.已知函數(shù)f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的區(qū)間即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）先求出端點(diǎn)的函數(shù)值f（﹣2）與f（2），比較f（2）與f（﹣2）的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[﹣1，2]上單調(diào)遞增，在[﹣2，﹣1]上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式關(guān)系求出a，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因?yàn)閒（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因?yàn)樵冢ī?，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上單調(diào)遞增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上單調(diào)遞減，因此f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值為﹣7．22.已知函數(shù)f（x）=x2++1．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=1平行，求a的值；（Ⅱ）若0＜a＜2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得切線的斜率，解方程可得a的值；（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x2++1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=1平行，可得2﹣2a3=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣=，由x∈[1，2]，當(dāng)0＜a≤1