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文檔簡介
山西省忻州市原平知源高級中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知、表示兩個不同的平面,、表示兩條不同的直線,則下列命題正確的是(
)A.若⊥,⊥,則∥
B.若∥,∥,則∥C.若⊥,⊥,則∥
D.若⊥,⊥,則∥
參考答案:A略2.若向量,滿足,,且,則與的夾角為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A
考點:函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.4.已知函數(shù)f(x)的定義域為[﹣1,5],部分對應(yīng)值如下表,f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.x﹣10245f(x)121.521下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題:①函數(shù)f(x)的值域為[1,2];②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù);③如果當x∈[﹣1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4;④當1<a<2時,函數(shù)y=f(x)﹣a最多有4個零點.其中正確命題的個數(shù)為(
) A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:D考點:命題的真假判斷與應(yīng)用.專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;簡易邏輯.分析:由f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,可得:函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,0]上單調(diào)遞增;在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減;在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增;在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞減.結(jié)合表格可得函數(shù)f(x)的圖象,進而判斷出答案.解答: 解:由f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,可得:函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,0]上單調(diào)遞增;在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減;在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增;在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞減.結(jié)合表格可得函數(shù)f(x)的圖象:由圖象可得:①函數(shù)f(x)的值域為[1,2],正確;②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù),正確;③如果當x∈[﹣1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為5,因此不正確;④當1<a<2時,函數(shù)y=f(x)﹣a最多有4個零點,正確.綜上可得:正確命題的個數(shù)為:3.故選:D.點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性圖象與性質(zhì),考查了推理能力與數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.5.已知函數(shù),若恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是
(A)
(B)(C)
(D)
參考答案:B略6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為63,則判斷框中應(yīng)填
A. B.
C.
D.參考答案:D略7.已知變量滿足約束條件,則的最大值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C試題分析:可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部,其中,因此直線過C點時取最大值1,選C.考點:線性規(guī)劃求最值【易錯點睛】線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一,準確無誤地作出可行域;二,畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.8.若函數(shù)同時具有以下兩個性質(zhì):①是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有。則的解析式可以是(
)A.=cosx B.=C.= D.=cos6x參考答案:C【知識點】函數(shù)的奇偶性B4由題意可得,函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=對稱.
∵f(x)=cosx是偶函數(shù),當x=時,函數(shù)f(x)=,不是最值,故不滿足圖象關(guān)于直線x=對稱,故排除A.∵函數(shù)f(x)=cos(2x+)=-sin2x,是奇函數(shù),不滿足條件,故排除B.
∵函數(shù)f(x)=sin(4x+)=cos4x是偶函數(shù),當x=時,函數(shù)f(x)=-4,是最大值,故滿足圖象關(guān)于直線x=對稱,故C滿足條件.∵函數(shù)f(x)=cos6x是偶函數(shù),當x=時,函數(shù)f(x)=0,不是最值,故不滿足圖象關(guān)于直線x=對稱,故排除D,【思路點撥】先判斷三角函數(shù)的奇偶性,再考查三角函數(shù)的圖象的對稱性,從而得出結(jié)論.9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當0≤x≤1時,f(x)=,當x>0時,f(x+1)=f(x)+f(1),若直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有7個不同的公共點,則實數(shù)k的取值范圍為A.(2-2,2-4)
B.(+2,+)C.(2+2,2+4)
D.(4,8)參考答案:A10.若變量x,y滿足約束條件,則的最大值為A.1
B.3
C.4
D.5參考答案:D【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出A點的坐標,將z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=﹣2x+z,結(jié)合函數(shù)圖象求出z的最大值即可.【詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:,由,解得:A(2,1),由z=2x+y得:y=﹣2x+z,顯然直線y=﹣2x+z過(2,1)時,z最大,故z的最大值是:z=4+1=5,故選:D.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對任意,都有,則稱S為封閉集。下列命題:①集合S={a+bi|(為整數(shù),為虛數(shù)單位)}為封閉集;②若S為封閉集,則一定有;③封閉集一定是無限集;④若S為封閉集,則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是____________.(寫出所有真命題的序號)參考答案:①②略12.第十一屆全運會的籃球比賽中,已知甲、乙兩名運動員每場比賽的得分統(tǒng)計莖葉圖如圖所示,則發(fā)揮較穩(wěn)定的運動員是
.參考答案:甲13.在△ABC中,角A,B,C的對邊為a,b,c,若,則角A=
。參考答案:或由正弦定理可知,即,所以,因為,所以,所以或。14.底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.已知同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球.已知兩個正三棱錐的底面邊長為a,球的半徑為R.設(shè)兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為α、β,則tan(α+β)的值是
.參考答案:考點:兩角和與差的正切函數(shù);球內(nèi)接多面體.專題:三角函數(shù)的求值;空間位置關(guān)系與距離.分析:由題意畫出圖象以及過球心的截面圓,由球和正三棱錐的幾何特征可得:兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為α、β,再求出涉及的線段的長度,根據(jù)兩角和的正切函數(shù)和正切函數(shù)的定義求出tan(α+β)的值.解答: 解:由題意畫出圖象如下圖:由圖得,右側(cè)為該球過SA和球心的截面,由于三角形ABC為正三角形,所以D為BC中點,且AD⊥BC,SD⊥BC,MD⊥BC,故∠SDA=α,∠MDA=β.設(shè)SM∩平面ABC=P,則點P為三角形ABC的重心,且點P在AD上,SM=2R,AB=a,∴,因此=,故答案為:.點評:本題通過對球的內(nèi)接幾何體的特征考查利用兩角和的正切函數(shù)的進行計算,對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求,本題是一道綜合題,屬于較難題.15.已知函數(shù)的定義域[-1,5],部分對應(yīng)值如表,的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,
x-10245F(x)121.521
下列關(guān)于函數(shù)的命題;①函數(shù)的值域為[1,2];②函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù);③如果當時,的最大值是2,那么t的最大值為4;④當時,函數(shù)最多有4個零點.其中正確命題的序號是
.參考答案:①②④由導(dǎo)數(shù)圖象可知,當或時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當或,,函數(shù)單調(diào)遞減,當和,函數(shù)取得極大值,,當時,函數(shù)取得極小值,,又,所以函數(shù)的最大值為2,最小值為1,值域為,①正確;②正確;因為在當和,函數(shù)取得極大值,,要使當函數(shù)的最大值是4,當,所以的最大值為5,所以③不正確;由知,因為極小值,極大值為,所以當時,最多有4個零點,所以④正確,所以真命題的序號為①②④.16.設(shè)不等式組,其中a>0,若z=2x+y的最小值為,則a=
.
參考答案:畫出可行域如圖所示,目標函數(shù)可變?yōu)?,平移可知在取得最小值,代入可得,所?17.設(shè)函數(shù)其中.①當時,若,則__________;②若在上是單調(diào)遞增函數(shù),則的取值范圍________.參考答案:1,
【考點】分段函數(shù),抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)【試題解析】①當時,若x<1,則無實數(shù)解;
若則
②若在上是單調(diào)遞增函數(shù),
則即
令
所以g(a)在單調(diào)遞增,且
所以的解為:
故的取值范圍是:。三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(12分)設(shè)Sn是數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和,已知a1=4,an+1=Sn+3n,設(shè)bn=Sn﹣3n.(Ⅰ)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式;(Ⅱ)令cn=2log2bn﹣+2,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.參考答案:【考點】:數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項公式.計算題;證明題;等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】:(Ⅰ)由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2(Sn﹣3n),從而得到bn+1=2bn,于是有:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,可求得b1=1,從而可求得數(shù)列{bn}的通項公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:cn=2log2bn﹣+2=2n﹣,設(shè)M=1++++…++…①則M=++++…++…②,利用錯位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項和Tn.證明:(Ⅰ)∵an+1=Sn+3n,∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n,∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2(Sn﹣3n)∴bn+1=2bn…(4分)又b1=S1﹣3=a1﹣3=1,∴{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得:cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…(8分)設(shè)M=1++++…++…①則M=++++…++…②①﹣②得:M=1+++++…+﹣=2﹣﹣,∴M=4﹣﹣=4﹣,∴Tn=n(n+1)+﹣4…(12分)【點評】:本題考查數(shù)列的求和,考查等比數(shù)列的通項公式,突出考查了錯位相減法,考查分析與轉(zhuǎn)化的能力,屬于中檔題.19.已如直線C的參數(shù)方程為((為參數(shù)).以原點O為極點.x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(Ⅰ)求曲線C的極坐標方程:(Ⅱ)若直線(,)與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段AB的中點為M,求的最大值.參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ).試題分析:(Ⅰ)利用求極坐標方程即可;(Ⅱ)設(shè)、,則,聯(lián)立和即可.試題解析:(I)曲線C的普通方程為,由,得;(II)解法1:聯(lián)立和,得,設(shè)、,則,由,得,當時,|OM|取最大值.解法2:由(I)知曲線C是以點P為圓心,以2為半徑的圓,在直角坐標系中,直線的方程為,則,∵,當時,,,,當且僅當,即時取等號,∴,即的最大值為.20.(本小題滿分分)已知函數(shù).(1)若對都成立,求的取值范圍;(2)已知為自然對數(shù)的底數(shù),證明:N,.參考答案:(1)解:∵,其定義域為,
∴.
…………1分
①當時,,當時,,
則在區(qū)間上單調(diào)遞減,此時,,不符合題意.…2分
②當時,令,得,,
當時,,則在區(qū)間上單調(diào)遞減,
此時,,不符合題意. …………3分
③當時,,當時,,
則在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時,,符合題意.……4分
④當時,令,得,,當時,,
則在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時,,符合題意.……5分
綜上所述,的取值范圍為.
…………6分(2)證明:由(1)可知,當時,對都成立,
即對都成立.
…………7分
∴.………………8分
即.
由于N,則.
…………9分
∴.
∴.
…………10分
由(1)可知,當時,對都成立,
即對都成立.
…………11分∴.
…………12分
即.
得
由于N,則.…………13分
∴.
∴.
…………14分21.(本小題滿分14分)在中,角,,所對應(yīng)的邊分別為,,,且.(Ⅰ)求角的大??;
(Ⅱ)若,求的面積.參考答案:解:(Ⅰ)因為,由正弦定理,得
.
∴.
∵,
∴,
∴.
又∵
,
∴.
(Ⅱ)由正弦定理,得,
由可得,由,可得
,
∴.
22.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的最小值;(3)設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點,線段的中點為
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