山西省忻州市杏嶺子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市杏嶺子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則=與=的大小關(guān)系（）A． B．

C． D．參考答案：C；初步判斷便可以確定：、都是周期函數(shù)，且最小正周期都為．所以，只需考慮的情形．另外，由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，很自然的可以聯(lián)想到：能否把需考慮的的范圍繼續(xù)縮??？事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，>0，恒成立，此時(shí)，>．下面，我們只需考慮的情形．如果我們把看作是關(guān)于的余弦函數(shù)，把看作是關(guān)于的正弦函數(shù)，那么這兩個(gè)函數(shù)既不同名，自變量也不相同，為了能進(jìn)行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數(shù)，以期利用三角函數(shù)的單調(diào)性．至此為止，可以看出：由于和同屬于余弦函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，（即，），所以，只需比較與的大小即可．事實(shí)上，（）—=—=所以，利用余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得：<．也即<另解：可用特值法代入驗(yàn)算，輕易得出結(jié)論。2.2007年12月中旬，我國南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災(zāi)，電煤庫存吃緊。為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)救災(zāi)，國家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運(yùn)電煤。某鐵路貨運(yùn)站對6列電煤貨運(yùn)列車進(jìn)行編組調(diào)度，決定將這6列列車編成兩組，每組3列，且甲、乙兩列列車不在同一小組。如果甲所在小組3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發(fā)車順序共有A、36種B、108種

C、216種

D、432種參考答案：答案：C3.已知集合，或，若，則的取值范圍是（

）A．(－∞,3]

B．(－∞,4]

C．[3,4]

D．(3,4)參考答案：C4.有語文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績評定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種.若同學(xué)每科成績不

低于同學(xué)，且至少有一科成績比高，則稱“同學(xué)比同學(xué)成績好.”現(xiàn)有若干同學(xué)，他們之間沒有一個(gè)人比另一個(gè)成績好，且沒有任意兩個(gè)人語文成績一樣，數(shù)學(xué)成績也一樣的.問滿足條件的最多有多少學(xué)生（）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.若函數(shù)f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，則f（x）在[0，]上的最大值為（）A．2 B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）的最小正周期求出ω的值，由x的取值范圍求出f（x）的最大值【解答】解：f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+），∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，∴ω==2，∴f（x）=cos（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）在[0，]上的最大值為f（0）=cos=故選：C6.設(shè)全集，集合，集合，則=A．

B．

C．

D．參考答案：D7.（7）關(guān)于的不等式（）的解集為，且：，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A．8.已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面積分別為，x，y，則+的最小值是（）A．9 B．16 C．18 D．20參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得?=bccos∠BAC=bc×=2，∴bc=4，故S△ABC=x+y+bcsinA=1，∴x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=時(shí)取等號．故選：C．9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A

() B

() C

() D

()參考答案：A略10.一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”（如243），現(xiàn)從集合中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B本題考查古典概型,新定義問題.因?yàn)閺募现腥〕鋈齻€(gè)不相同的數(shù)共有個(gè),由題意知,凸數(shù)有132,231,143,341,243,342,342,243共8個(gè),所以這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率.選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為

．（容器壁的厚度忽略不計(jì)）參考答案：41π【考點(diǎn)】LE：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】由題意，該球形容器的半徑的最小值為=，即可求出該球形容器的表面積的最小值．【解答】解：由題意，該球形容器的半徑的最小值為=，∴該球形容器的表面積的最小值為=41π．故答案為41π12.設(shè)數(shù)列滿足，(n∈N﹡)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.參考答案：設(shè)，即，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，所以.13.設(shè)函數(shù)f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=

．參考答案：2【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】函數(shù)可化為f（x）==，令，則為奇函數(shù)，從而函數(shù)的最大值與最小值的和為0，由此可得函數(shù)f（x）=的最大值與最小值的和．【解答】解：函數(shù)可化為f（x）==，令，則為奇函數(shù)，∴的最大值與最小值的和為0．∴函數(shù)f（x）=的最大值與最小值的和為1+1+0=2．即M+m=2．故答案為：2．14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n﹣1（n∈N*），則a1=

；數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=．參考答案：2,.【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】本題直接利用數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系，可得到本題結(jié)論【解答】解：∵Sn=n2+2n﹣1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1+2﹣1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵當(dāng)n=1時(shí)，a1=﹣2+1=3≠2，∴an=，故答案為：2，=．15.已知函數(shù)若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：(－2,1)16.已知，，，則在方向上的投影為

．參考答案：﹣．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】運(yùn)用向量模的公式和向量的平方即為模的平方，可得?，再由在方向上的投影為，計(jì)算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即為2+4?+42=4，即有1+4?+4=4，?=﹣，可得在方向上的投影為=﹣．故答案為：﹣．17.函數(shù)的值域是 .

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）在數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和.參考答案：（1）（2）見解析（3）（1）,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，公差，所以?shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.（3）由（1）知，,所以①??②由①-②得：19.已知正實(shí)數(shù)a、b滿足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），對于（1）中求得的m，是否存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）=成立，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；（2）利用絕對值形式的三角不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號．∴m=2．（2）函數(shù)f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴滿足條件的實(shí)數(shù)x不存在．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對值形式的三角不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.已知函數(shù)，其中a∈R.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．參考答案：略21.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角△ABC所對的邊分別為a，b，c，向量，，且（1）求角A的大??；（2）若BC＝，試求△ABC面積的最大值及此時(shí)△ABC的形狀．參考答案：(1)60°；(2)，等邊三角形.【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合倍角公式的使用，通過解三角方程，即可求解；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合均值不等式，即可求得面積的最值，以及此時(shí)的形狀.【詳解】（1）因，故可得，由公式可得即可得，解得，又，故可得.（2）因?yàn)锽C＝，即.由余弦定理可得，整理得即可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，又因?yàn)?，故此時(shí)為等邊三角形.故，此時(shí)三角形的形狀是等邊三角形.【點(diǎn)睛】（1）本題考查余弦的倍角公式，三角形面積的最大值問題，涉及均值不等式的使用，屬綜合性中檔題.22.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中點(diǎn)，求：

（Ⅰ）A1D與EF所成角的大??；（II）A1F與平面B1EB所成角的余弦值；

（III）二