隨機(jī)過(guò)程在金融中的應(yīng)用5平穩(wěn)過(guò)程

第五章平穩(wěn)過(guò)程第一節(jié)基本概念第二節(jié)平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程與正交增量過(guò)程第四節(jié)遍歷性定理第一節(jié)基本概念一、嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程定義1若對(duì)任意n，任意則稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程首頁(yè)二、嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的特點(diǎn)1二維概率密度僅與時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。證同理有一維分布函數(shù)也與t無(wú)關(guān)，即一維首頁(yè)對(duì)于二維概率密度，有證二維其中同理二維分布函數(shù)也僅與時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即首頁(yè)2若嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程存在二階矩，則證（2）相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù)：記（1）均值函數(shù)為常數(shù)：只對(duì)連續(xù)型的情況首頁(yè)記三、寬平穩(wěn)過(guò)程定義2如果它滿(mǎn)足：則稱(chēng)為寬平穩(wěn)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程首頁(yè)當(dāng)T為整數(shù)集或注2注1嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。平穩(wěn)時(shí)間序列因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是二階矩過(guò)程。若嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。寬平穩(wěn)過(guò)程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過(guò)程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時(shí)間而推移。注3利用均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)也可討論隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性。首頁(yè)因?yàn)榫岛瘮?shù)協(xié)方差函數(shù)即表示協(xié)方差函數(shù)僅依賴(lài)于，而與t無(wú)關(guān)，與相關(guān)函數(shù)相同。首頁(yè)例1試討論隨機(jī)變量序列的平穩(wěn)性。且均值和方差為解因?yàn)樽⒃诳茖W(xué)和工程中，例1中的過(guò)程稱(chēng)為“白噪聲”，它是實(shí)際中最常用的噪聲模型。首頁(yè)試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。例2是在[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)變量，其中T={1，2，…}解的密度函數(shù)為所以注例2中的過(guò)程是寬平穩(wěn)的，但不是嚴(yán)平穩(wěn)的返回首頁(yè)性質(zhì)1第二節(jié)平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)證性質(zhì)2證由許瓦茲不等式得注首頁(yè)性質(zhì)3證性質(zhì)4即對(duì)任意的2n個(gè)實(shí)數(shù)證首頁(yè)對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，重要的是它們是否平穩(wěn)相關(guān)，因此先給出平穩(wěn)相關(guān)概念。二、互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)定義1平穩(wěn)相關(guān)注兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程當(dāng)它們的互相關(guān)函數(shù)僅依賴(lài)于時(shí)，它們才是平穩(wěn)相關(guān)的。首頁(yè)證性質(zhì)5

性質(zhì)6證性質(zhì)7證首頁(yè)證性質(zhì)8由性質(zhì)7得而有兩個(gè)數(shù)的幾何平均值不超過(guò)它們的算術(shù)平均值得證性質(zhì)9則和也是平穩(wěn)過(guò)程。其相關(guān)函數(shù)為則首頁(yè)則積性質(zhì)10也是平穩(wěn)過(guò)程其相關(guān)函數(shù)為例1設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程其中U和V是均值都為零、方差都為的不相關(guān)隨機(jī)變量，試討論它們的平穩(wěn)性，并求自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。首頁(yè)因?yàn)榻馑酝瑯涌汕蟮檬醉?yè)返回首頁(yè)第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程與正交增量過(guò)程一、平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程

定義1則稱(chēng)為平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程。注平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。證由于首頁(yè)正態(tài)過(guò)程的n維特征函數(shù)為由過(guò)程的平穩(wěn)性得所以對(duì)任一，有首頁(yè)即是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。即特征函數(shù)不因時(shí)間推移而改變。由特征函數(shù)與分布函數(shù)的唯一確定性，必有這表明的一切有限維分布也不隨時(shí)間推移而改變，說(shuō)明對(duì)正態(tài)過(guò)程，寬平穩(wěn)過(guò)程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程；嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程也一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。首頁(yè)則稱(chēng)為正交增量過(guò)程。二、正交增量過(guò)程定義2有定理1且則首頁(yè)證取其中則有即所以同樣可得故返回首頁(yè)第四節(jié)遍歷性定理介紹從一次試驗(yàn)所獲得的一個(gè)樣本函數(shù)來(lái)決定隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)，從而就可以得到該過(guò)程的全部信息，即遍歷性問(wèn)題。

定義1一、基本概念稱(chēng)為沿整個(gè)時(shí)間數(shù)軸上的時(shí)間均值；稱(chēng)為沿整個(gè)時(shí)間數(shù)軸上的時(shí)間相關(guān)函數(shù)首頁(yè)定義2若則稱(chēng)的均值具有遍歷性；則稱(chēng)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性如果均值、相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性若則稱(chēng)具有遍歷性，或者說(shuō)是遍歷的首頁(yè)例1是否具有遍歷性。解首頁(yè)故有即此過(guò)程是遍歷的。首頁(yè)例2研究隨機(jī)過(guò)程的遍歷性其中Y為隨機(jī)變量，且解因?yàn)閅為隨機(jī)變量，且存在有限的二階矩，所以由此知是平穩(wěn)過(guò)程，由于不是常數(shù)故即不是遍歷的首頁(yè)

注遍歷性隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，但平穩(wěn)過(guò)程不一定具備遍歷性。引理二、遍歷性定理且則其中首頁(yè)證由均方可積條件得所以首頁(yè)為應(yīng)用方便，化簡(jiǎn)上式令則于是首頁(yè)定理1均值遍歷性定理首頁(yè)證由引理得從而故首頁(yè)注則可表示為定理2自相關(guān)函數(shù)遍歷性定理則相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為首頁(yè)其中證注則首頁(yè)三、均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式1求相關(guān)函數(shù)常用的兩種方法：2未知的表達(dá)形式時(shí)，用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)求相關(guān)函數(shù)的近似值。在實(shí)際應(yīng)用中，的表達(dá)形式常常不能給出，因此下面介紹第二種方法。如果試驗(yàn)只在時(shí)間[0，T]上給出了的一個(gè)樣本函數(shù)，則均值和相關(guān)函數(shù)有以下近似估計(jì)式：首頁(yè)用上式估計(jì)m與的方法，通常稱(chēng)為數(shù)字方法，或稱(chēng)均值與