山西省忻州市走馬嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析_第1頁
山西省忻州市走馬嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析_第2頁
山西省忻州市走馬嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析_第3頁
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文檔簡介

山西省忻州市走馬嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若集合A={x|(x+1)(3﹣x)>0},集合B={x|1﹣x>0},則A∩B等于()A.(1,3) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣1,3) D.(﹣1,1)參考答案:D【考點】交集及其運算.【分析】求出集合的等價條件,利用集合的基本運算進行求解即可.【解答】解:A={x|(x+1)(3﹣x)>0}={x|﹣1<x<3},B={x|1﹣x>0}={x|x<1},則A∩B={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1).故選:D.2.在中,,則的面積為_______.參考答案:3.若等比數(shù)列{an}的前項和為Sn,且S2=3,S6=63,則S5=()A.﹣33 B.15 C.31 D.﹣33或31參考答案:D【考點】等比數(shù)列的前n項和.【分析】利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出.【解答】解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q≠1,∵S2=3,S6=63,∴a1(1+q)=3,=63,消去a1,化為q4+q2﹣20=0,解得q=±2.q=2時,a1=1;q=﹣2,a1=﹣3.則S5==31,或S5==﹣33.故選:D.4.函數(shù)的最小正周期為,且.當(dāng)時,那么在區(qū)間上,函數(shù)的零點個數(shù)是

A.

B.

C.

D.參考答案:B略5.設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x+3)=-,且當(dāng)x∈時,f(x)=4x,則f(107.5)=

(

)A.10

B. C.-10 D.—參考答案:B6.如圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),計算該幾何體的表面積為A.B.C.D.參考答案:C7.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為(

)A.1升

B.升

C.升

D.升參考答案:B設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為:a1,a2,…,a9,且為等差數(shù)列,

根據(jù)題意得:a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,

即4a1+6d=3①,

3a1+21d=4②,

②×4-①×3得:66d=7,解得d=,代入①得:a1=,則a5=+(5-1)×=.8.學(xué)校計劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座,每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié),則不同的安排方法共有()A.36種 B.30種 C.24種 D.6種參考答案:B【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.【分析】間接法:先從4個中任選2個看作整體,然后做3個元素的全排列,從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,可得結(jié)論.【解答】解:由于每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,必有兩科在同一節(jié),先從4個中任選2個看作整體,然后做3個元素的全排列,共=36種方法,再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,共=6種方法,故總的方法種數(shù)為:36﹣6=30故選:B.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入a,b,c分別為1,2,0.3,則輸出的結(jié)果為()A.1.125 B.1.25 C.1.3125 D.1.375參考答案:D【考點】程序框圖.【分析】模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)得到的a,b的值,當(dāng)a=1.25,b=1.5時滿足條件|a﹣b|<0.3,退出循環(huán),輸出的值為1.375.【解答】解:模擬程序的運行,可得a=1,b=2,c=0.3執(zhí)行循環(huán)體,m=,不滿足條件f(m)=0,滿足條件f(a)f(m)<0,b=1.5,不滿足條件|a﹣b|<c,m=1.25,不滿足條件f(m)=0,不滿足條件f(a)f(m)<0,a=1.25,滿足條件|a﹣b|<c,退出循環(huán),輸出的值為1.375.故選:D.【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用,模擬程序的運行,正確依次寫出每次循環(huán)得到的a,b的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10.將函數(shù)y=sin2x﹣cos2x的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)g(x)(

) A.由最大值,最大值為 B.對稱軸方程是 C.是周期函數(shù),周期 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增參考答案:D考點:兩角和與差的正弦函數(shù);函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.專題:計算題;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析:由兩角差的正弦公式化簡函數(shù),再由圖象平移的規(guī)律得到,易得最大值是2,周期是π,故A,C均錯;由,求出x,即可判斷B;再由正弦函數(shù)的增區(qū)間,即可得到g(x)的增區(qū)間,即可判斷D.解答: 解:化簡函數(shù)得,所以將函數(shù)y=sin2x﹣cos2x的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)g(x)=2sin,即,易得最大值是2,周期是π,故A,C均錯;由,得對稱軸方程是,故B錯;由,令k=0,故D正確.故選D.點評:本題考查三角函數(shù)的化簡和圖象變換,考查三角函數(shù)的最值和周期、以及對稱性和單調(diào)性,屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的反函數(shù)參考答案:答案:

解析:由12.函數(shù)的定義域為R,則實數(shù)的范圍

.參考答案:略13.已知集合,則

.參考答案:14.函數(shù)(為常數(shù),A>0,>0)的部分圖象如圖所示,則的值是

.參考答案:由圖象可知,,所以,,所以,,所以,所以,所以,.15.若x,y滿足約束條件則的最小值為__________.參考答案:2【分析】先由約束條件作出可行域,再由目標(biāo)函數(shù)可化,因此當(dāng)直線在軸上截距最小時,取最小,結(jié)合圖像即可求出結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如下:因為目標(biāo)函數(shù)可化為,因此當(dāng)直線在軸上截距最小時,取最小.由圖像易得,當(dāng)直線過點時,在軸上截距最小,即.故答案為2【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,只需由約束條件作出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合圖像即可求解,屬于??碱}型.16.將三項式展開,當(dāng)時,得到如下左圖所示的展開式,右圖所示的廣義楊輝三角形:

第0行

1

第1行

111

第2行

12321

第3行

1367631

第4行

14101619161041……觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系,可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形,其構(gòu)造方法:第0行為1,以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)(不足3數(shù)的,缺少的數(shù)計為0)之和,第行共有個數(shù).若在的展開式中,項的系數(shù)為75,則實數(shù)的值為___________.參考答案:2試題分析:展開式中系數(shù)為151530455145301551,所以在的展開式中,項的系數(shù)為考點:新定義17.已知函數(shù)與,它們的圖像有一個橫坐標(biāo)為的交點,則的值是

.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知向量,其中函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值.(2)求函數(shù)在上的最大值.參考答案:【知識點】向量的坐標(biāo)運算;三角函數(shù)的化簡求值.

F2

C7【答案解析】(1)(2)

解析:(1)2m·n-1

=.

………………6分由題意知:,即,解得.……7分(2)由(Ⅰ)知,∵≤x≤,得≤≤,又函數(shù)y=sinx在[,]上是減函數(shù),∴…………10分

=.…………………12分【思路點撥】由向量的坐標(biāo)運算可以列出關(guān)系式,求出的值,再根據(jù)解析式在定義域內(nèi)求出函數(shù)的最大值.19.對于數(shù)集,其中,,定義向量集.若對于任意,存在,使得,則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.(I)若,且具有性質(zhì),求的值;(II)若X具有性質(zhì)P,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列的通項公式.參考答案:(1)選取,Y中與垂直的元素必有形式.

……2分

所以x=2b,從而x=4.

……4分(2)[解法一]猜測,i=1,2,…,n.

``

記,k=2,3,…,n.

先證明:若具有性質(zhì)P,則也具有性質(zhì)P.

任取,、?.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時,顯然有滿足;

當(dāng)且時,、≥1.

因為具有性質(zhì)P,所以有,、?,使得,從而和中有一個是-1,不妨設(shè)=-1.假設(shè)?且?,則.由,得,與?矛盾.所以?.從而也具有性質(zhì)P.

……6分現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:,i=1,2,…,n.當(dāng)n=2時,結(jié)論顯然成立;

假設(shè)n=k時,有性質(zhì)P,則,i=1,2,…,k;

當(dāng)n=k+1時,若有性質(zhì)P,則

也有性質(zhì)P,所以.

取,并設(shè)滿足,即.由此可得s=-1或t=-1.

若,則不可能;

所以,,又,所以.

綜上所述,,i=1,2,…,n.

……10分

[解法二]設(shè),,則等價于.

記,則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點對稱.注意到-1是X中的唯一負(fù)數(shù),共有n-1個數(shù),所以也只有n-1個數(shù).由于,已有n-1個數(shù),對以下三角數(shù)陣

……

注意到,所以,從而數(shù)列的通項公式為

,k=1,2,…,n.20.(本小題滿分14分)已知函數(shù)的減區(qū)間是.⑴試求m、n的值;⑵求過點且與曲線相切的切線方程;⑶過點A(1,t)是否存在與曲線相切的3條切線,若存在求實數(shù)t的取值范圍;若不存在,請說明理由.參考答案:解:⑴由題意知:的解集為,

所以,-2和2為方程的根,

………………2分由韋達定理知

,即m=1,n=0.

………………4分⑵∵,∴,∵

當(dāng)A為切點時,切線的斜率,∴切線為,即;

………………6分

當(dāng)A不為切點時,設(shè)切點為,這時切線的斜率是,切線方程為,即

因為過點A(1,-11),

,∴,∴或,而為A點,即另一個切點為,∴,切線方程為,即………………8分所以,過點的切線為或.

…………9分⑶存在滿足條件的三條切線.

…………10分設(shè)點是曲線的切點,則在P點處的切線的方程為

即因為其過點A(1,t),所以,,

由于有三條切線,所以方程應(yīng)有3個實根,

…………11分設(shè),只要使曲線有3個零點即可.設(shè)=0,∴分別為的極值點,當(dāng)時,在和上單增,當(dāng)時,在上單減,所以,為極大值點,為極小值點.所以要使曲線與x軸有3個交點,當(dāng)且僅當(dāng)即,解得

.

…………14分略21.設(shè)點M是x軸上的一個定點,其橫坐標(biāo)為a(a∈R),已知當(dāng)a=1時,動圓N過點M且與直線x=﹣1相切,記動圓N的圓心N的軌跡為C.(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)當(dāng)a>2時,若直線l與曲線C相切于點P(x0,y0)(y0>0),且l與以定點M為圓心的動圓M也相切,當(dāng)動圓M的面積最小時,證明:M、P兩點的橫坐標(biāo)之差為定值.參考答案:【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系.【分析】(Ⅰ)通過圓N與直線x=﹣1相切,推出點N到直線x=﹣1的距離等于圓N的半徑,說明點N的軌跡為以點M(1,0)為焦點,直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,求出軌跡方程.(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y﹣y0=k(x﹣x0),聯(lián)立得,利用相切關(guān)系,推出k,求解直線l的方程為.通過動圓M的半徑即為點M(a,0)到直線l的距離.利用動圓M的面積最小時,即d最小,然后求解即可.【解答】解:(Ⅰ)因為圓N與直線x=﹣1相切,所以點N到直線x=﹣1的距離等于圓N的半徑,所以,點N到點M(1,0)的距離與到直線x=﹣1的距離相等.所以,點N的軌跡為以點M(1,0)為焦點,直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,所以圓心N的軌跡方程,即曲線C的方程為y2=4x.(Ⅱ)由題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y﹣y0=k(x﹣x0),由得,又,所以,因為直線l與曲線C相切,所以,解得.所以,直線l的方程為.動圓M的半徑即為點M(a,0)到直線l的距離.當(dāng)動圓M的面積最小時,即d最小,而當(dāng)a>2時;==.當(dāng)且僅當(dāng),即x0=a﹣2時取等號,所以當(dāng)動圓M的面積最小時,a﹣x0=2,即當(dāng)動圓M的面積最小時,M、P兩點的橫坐標(biāo)之差為定值.22.已知函數(shù)f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0且a≠1)(1)求函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;絕對值不等式的解法.【分析】(1)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;(2)f(x)的最大值減去f(x)的最小值大于或等于e﹣1,由單調(diào)性知,f(x)的最大值是f(1)或f(﹣1),最小值f(0)=1,由f(1)﹣f(﹣1)的單調(diào)性,判斷f(1)與f(﹣1)的大小關(guān)系,再由f(x)的最大值減去最小值f(0)大于或等于e﹣1求出a的取值范圍.【解答】解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna.令h(x)=f'(x)=2x+(ax﹣1)lna,h'(x)=2+axln2a,當(dāng)a>0,a≠1時,h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函數(shù),…(2分)又h(0)=f'(0)=0,所以,f'(x)>0的解集為(0,+∞)

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