動(dòng)力計(jì)算習(xí)題課11

結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算習(xí)題課溫故而知新一、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度

確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度。幾點(diǎn)注意：1）對(duì)于具有集中質(zhì)量的體系，其自由度數(shù)并不一定等于集中質(zhì)量數(shù)，可能比它多，也可能比它少。2）體系的自由度與其超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)。3）在幾何構(gòu)造分析中所說(shuō)的自由度是剛體系的運(yùn)動(dòng)自由度，動(dòng)力計(jì)算中討論的自由度是變形體系中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)自由度。也可以運(yùn)用附加支桿法確定。溫故而知新二、單自由度體系的自由振動(dòng)自由振動(dòng)(固有振動(dòng))：振動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有干擾力作用，振動(dòng)是由初始位移或初始速度(瞬時(shí)沖量)或兩者共同影響下所引起的。（剛度法）（柔度法）振動(dòng)微分方程)sin(aw+t=asincos)(00www+=tvtyty質(zhì)點(diǎn)位移001vytgwa-=振幅:初始相位角:無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)....質(zhì)體動(dòng)位移y(t)是以靜力平衡位置為位移零點(diǎn)來(lái)確定的，質(zhì)體的重力對(duì)y(t)沒(méi)有影響,但在確定質(zhì)體的最大豎向位移是,則應(yīng)包含位移幅值和自重下的靜位移δst=Wδ兩部分在內(nèi).溫故而知新T=wp2mk=wm=d1其中δ——是沿質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向加單位荷載使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移。k——使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加的力。結(jié)構(gòu)的自振頻率ω(自振周期T)圓頻率工程頻率使用于各質(zhì)點(diǎn)慣性力共線的單自由度體系單位:T—秒；ω—弧度/每秒，即2π秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)；

f—HZ（赫芝）即每秒振動(dòng)次數(shù)。自振周期（頻率）與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與荷載和初始干擾因素?zé)o關(guān)。是結(jié)構(gòu)的固有特性。要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度。增大質(zhì)量或降低剛度可降低頻率或提高周期，反之亦然。周期三、單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)在荷載作用下的振動(dòng)。無(wú)阻尼有阻尼運(yùn)動(dòng)微分方程穩(wěn)態(tài)解動(dòng)位移幅值動(dòng)力系數(shù)共振時(shí)阻尼作用很大對(duì)于簡(jiǎn)諧荷載下的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)，其質(zhì)點(diǎn)位移（加速度和慣性力）與干擾力作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)；對(duì)于簡(jiǎn)諧荷載下的有阻尼受迫振動(dòng)其質(zhì)點(diǎn)位移（加速度和慣性力）與干擾力之間存在一個(gè)相位差α，兩者總是不同時(shí)達(dá)到最大值。.....當(dāng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，不論是否考慮阻尼，各截面的動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)，按靜力方法來(lái)計(jì)算即可。阻尼對(duì)振動(dòng)的影響

1、考慮阻尼時(shí)體系的自振頻率減小，周期增大。當(dāng)ξ<0.2,可近似取.2、自由振動(dòng)的振幅ae-ξωt隨時(shí)間單調(diào)衰減，最后停止。3、試驗(yàn)測(cè)定阻尼比yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅。

l/2l/2l/2EI＝∞mmk例1：建立圖示體系的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求自振頻率和周期。EI＝∞mm

解：用剛度法：作受力圖ll/2EIEIm1l解：用柔度法作單位彎矩圖............例2:已知m=300kg，EI=90·105N·m2，l=4m，k=48EI/l3，F(xiàn)=20kN，θ=80s-1。求：(1)無(wú)阻尼時(shí)梁中點(diǎn)的動(dòng)位移幅值；(2)當(dāng)ξ=0.05時(shí)，梁中點(diǎn)的動(dòng)位移幅值和最大動(dòng)力彎矩。

FsinθtEIl/2l/2mk解：1、求自振頻率

1EIk1/2f11k2121EIl19253=EIl483+f11=2、求無(wú)阻尼時(shí)的跨中動(dòng)位移幅值552.1=1122-=wqb16.134801122-=3、求有阻尼時(shí)的跨中動(dòng)位移幅值.4、求有阻尼時(shí)的跨中動(dòng)彎矩幅值一般方法：當(dāng)位移y=ypsin(θt－α)達(dá)幅值時(shí)θt－α=90ot=1.19s此時(shí)慣性力幅值:此時(shí)荷載值:產(chǎn)生動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力幅值的外力:30.92kNEIk30.92kN.m動(dòng)力彎矩幅值圖注意:1、由于干擾力作用在質(zhì)點(diǎn)上且沿振動(dòng)方向，故位移和彎矩動(dòng)力系數(shù)相同,可按比例算法計(jì)算。2、考慮與不考慮阻尼的動(dòng)位移幅值相差不大。這是因?yàn)轭l率比θ/ω=80/134.16=0.596,在共振區(qū)之外的緣故。比例算法:本例動(dòng)荷載與慣性力共線,

故可用比例算法P=βF=1.546×20000=30920N運(yùn)動(dòng)方程：mtFyyqwsin2=+..荷載幅值引起的靜位移β動(dòng)力系數(shù)位移穩(wěn)態(tài)反應(yīng)為與動(dòng)荷載同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。兩者同時(shí)達(dá)到幅值。慣性力與位移同方向同時(shí)達(dá)到幅值。動(dòng)內(nèi)力計(jì)算：當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，各截面的動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。先求動(dòng)荷載幅值引起的靜位移、靜內(nèi)力及動(dòng)力系數(shù)β，將靜位移、靜內(nèi)力乘以β即得動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力的幅值。當(dāng)動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)或與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不一致時(shí)，內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù)不相同?？捎靡韵氯N方法計(jì)算。穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：振幅A：2、單自由度體系簡(jiǎn)諧荷載下的動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算l/2l/2EImMsinθtABC例：建立圖示梁運(yùn)動(dòng)微分方程，求B點(diǎn)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)彎矩。解：1、采用柔度法列運(yùn)動(dòng)微分方程MsinθtABCI(t)ABC11ABC×Msinθt10.5l/21C11C0.25..2、求B點(diǎn)位移幅值yP：..l/2l/2EImMsinθtABC例：建立圖示梁運(yùn)動(dòng)微分方程，求B點(diǎn)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)彎矩。解：3、求動(dòng)彎矩幅值:IMABCABC11ABC×M10.50.25C11C⑴將荷載化成作用在質(zhì)點(diǎn)且與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向一致的荷載m(b)m()ty(c)=+(b)中質(zhì)點(diǎn)無(wú)位移，無(wú)慣性力，按靜力法計(jì)算反力。(c)所示是力作用于質(zhì)點(diǎn)上的情況。內(nèi)力及其它處位移為(b)(c)之和mlEI()ty(a)A內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù)不相同11l⑵利用幅值方程求解位移穩(wěn)態(tài)反應(yīng)為與動(dòng)荷載同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。兩者同時(shí)達(dá)到幅值。慣性力與位移同方向同時(shí)達(dá)到幅值。線彈性體系，位移達(dá)幅值時(shí)內(nèi)力也達(dá)幅值穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：振幅A：mlEIA振幅方程為：⑶直接建立運(yùn)動(dòng)方程求解。mlEI()ty宜列柔度方程：或：mEI()ty11l動(dòng)內(nèi)力計(jì)算例6.測(cè)圖示剛架動(dòng)力特性。加力20kN時(shí)頂部側(cè)移2cm，振動(dòng)一周

T=1.4s后，回?cái)[1.6cm，求系統(tǒng)的阻尼比ξ、大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)求W：由(2)求ω(3)求ξ(4)6周后的振幅溫故而知新多自由度體系的自由振動(dòng)（以兩個(gè)自由度為例）主要目的：1）求自振頻率；2）確定振型。（由于阻尼對(duì)頻率和振型的影響很小，不考慮阻尼。）1、頻率方程和頻率a）剛度法導(dǎo)出的頻率方程：或：b）柔度法導(dǎo)出的頻率方程：或：溫故而知新2、振型：振型是指體系按某一頻率發(fā)生振動(dòng)的形式。注意：1）振型是在特定的初始條件下才能出現(xiàn)的一種振動(dòng)形式。任一瞬時(shí)各質(zhì)點(diǎn)位移的比值不變，即結(jié)構(gòu)的變形形式不變。2）對(duì)于每一自振頻率，體系有一個(gè)確定的相應(yīng)振型。a）剛度法導(dǎo)出的振型公式：b）柔度法導(dǎo)出的振型公式：振型常數(shù)ρ1ρ2

必具有相反的正負(fù)號(hào)。3）振型正交性：可用來(lái)檢查所求振型是否正確。例：計(jì)算體系的自振頻率和振型llmEIEIP1=1P2=1ll1）求柔度系數(shù)2）代公式（15.45）求頻率3）代公式（15.49）求振型10.414第一振型第一振型12.414llEI=常數(shù)mml求圖示體系的頻率、振型，并演算正交性