山東大學(xué) 自動控制原理 8-3離散系統(tǒng)分析

8.6離散系統(tǒng)的時域分析

對于離散系統(tǒng)的z變換理論，如前所述，它僅限于采樣值的分析。對于離散系統(tǒng)的性能分析的討論也只限于在采樣點(diǎn)的值。然而，當(dāng)采樣周期T選擇較大時，采樣間隔中隱藏著振蕩，可能反映不出來，這造成實際連續(xù)信號和采樣值變化規(guī)律不一致，會得出一些不準(zhǔn)確的分析結(jié)果。因此，必須注意采樣周期T是否小于系統(tǒng)的最大時間常數(shù)這一問題。只有滿足這一點(diǎn)，才會使離散理論分析結(jié)果貼近連續(xù)信號的變化規(guī)律。c(t)t01T2T

3T

4T

c(t)t01T2T

3T

16.1.１s平面與z平面的映射關(guān)系在z變換定義中已經(jīng)確定了z和s變量之間關(guān)系如下

z=eTs其中s是復(fù)變量，可寫成s=+j，所以z也是復(fù)變量

z=eTs=eTe

jT寫成極坐標(biāo)形式為z=ze

j

=eTe

jTs的實部只影響z的模，s的虛部只影響z的相角。s平面與z平面的映射關(guān)系為

s平面映射

z平面０右半平面

z

１單位園外=０虛軸

z=１單位園周０左半平面

z１單位園內(nèi)20j[s]0ReIm

[z]s/20j[s]0ReIm

[z]138.6.2離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，可以直接由時間響應(yīng)結(jié)果獲得，因為采樣時刻的值在時間響應(yīng)中均為已知的，這一點(diǎn)比連續(xù)系統(tǒng)直觀而且方便。另外，也可以不求時間解，直接在z區(qū)域中，通過分析零極點(diǎn)的位置關(guān)系而獲得,這對系統(tǒng)的設(shè)計是方便的。1、離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)及性能指標(biāo)求法由時域解求性能指標(biāo)的步驟：（1）由離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)，求出輸出量的z變換函數(shù)（2）用長除法將上式展成冪級數(shù)，通過z反變換求得c*(t)。4

例8-25單位反饋采樣系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)T=1s，試求單位階躍響應(yīng)c*(t)及動態(tài)性能指標(biāo)。r(t)c(t)+-1s(s+1)解：根據(jù)已知的G(s)求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（3）由c*(t)給出的各采樣時刻的值，直接得出p%、tr、tp

、ts等性能指標(biāo)。5再求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)=0.632z1+1.097z2+1.207z3+1.014z4+0.96z5+0.968z6+0.99z7+…c*(t)=0.632(tT)+1.097(t2T)+1.207(t3T)+1.014(t4T)+0.96(t5T)+0.968(t6T)+0.99(t7T)+…60T2T3T4T5T6Tc*(t)t1c*(t)=0.632(tT)+1.097(t2T)+1.207(t3T)+1.014(t4T)+0.96(t5T)+0.968(t6T)+0.99(t7T)+…p%=20.7%tr=2(s)tp=3(s)ts=5(s)

連續(xù)二階系統(tǒng):p%=16.3%，tr=2.42(s)，tp=3.6(s)，

ts=5.3(s)

7解：求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)例8-26在例8-45中，增加零階保持器，采樣系統(tǒng)如圖示，T＝1(s)，r(t)=1(t)，試分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)。r(t)c(t)+-1s(s+1)ZOH8再求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)=0.368z1+z2+1.4z3+1.4z4+1.147z5+0.895z6+0.802z7+0.868z8+…c*(t)=0.368(tT)+(t2T)+1.4(t3T)+1.4(t4T)+1.147(t5T)+0.895(t6T)+0.802(t7T)+0.868(t8T)+0.993(t9T)+…90T2T3T4T5T6T7Tc*(t)1tc*(t)=0.368(tT)+(t2T)+1.4(t3T)+1.4(t4T)+1.147(t5T)+0.895(t6T)+0.802(t7T)+0.868(t8T)+0.993(t9T)+…p%=40%tr=2(s)tp=4(s)ts=12(s)

10系統(tǒng)極點(diǎn)為單極點(diǎn)2.閉環(huán)極點(diǎn)與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，決定了閉環(huán)零極點(diǎn)的分布，而閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上單位園內(nèi)的分布，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)具有重要的影響，下面討論閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為11（1）正實軸上閉環(huán)極點(diǎn)當(dāng)0<pr<1時，極點(diǎn)位于單位園內(nèi)的正實軸上，響應(yīng)cr

prk為單調(diào)收斂，且pr越靠近原點(diǎn)，其值越小，收斂越快。12當(dāng)pr>1時，極點(diǎn)位于單位園外正實軸上，響應(yīng)cr

prk為單調(diào)發(fā)散，且pr值越大，發(fā)散越快。當(dāng)pr=1時，極點(diǎn)位于單位園上的正實軸上，響應(yīng)cr

prk=cr為一常數(shù)，是一串等幅脈沖序列；（2）負(fù)實軸上閉環(huán)極點(diǎn)當(dāng)1<pr<0時，極點(diǎn)位于單位園上的負(fù)實軸上，響應(yīng)cr

prk為正、負(fù)交替的收斂脈沖序列；當(dāng)pr<1時，極點(diǎn)位于單位園外的負(fù)實軸上，響應(yīng)cr

prk為正、負(fù)交替的振蕩發(fā)散脈沖序列；當(dāng)pr=1時，極點(diǎn)位于單位園上的負(fù)實軸上，響應(yīng)cr

prk=(1)kcr為正、負(fù)交替的等幅脈沖序列；130ReIm

114（3）z平面上的閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)復(fù)數(shù)極點(diǎn)總是共軛出現(xiàn)，一般表達(dá)式為15當(dāng)pr>1時，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于單位園外；對應(yīng)的瞬態(tài)分量振蕩發(fā)散；當(dāng)pr<1時，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于單位園內(nèi)，振蕩衰減，且pr越小，即復(fù)極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，振蕩收斂得越快。當(dāng)pr=1時，閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)位于單位園周上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量是等幅振蕩的脈沖序列。以余弦規(guī)律振蕩的瞬態(tài)分量，其振蕩角頻率與共軛復(fù)極點(diǎn)的幅角r有關(guān)，r越大，振蕩頻率越高。所以位于左半單位園內(nèi)的復(fù)極點(diǎn)，瞬態(tài)分量的振蕩頻率要高于右半單位園內(nèi)的情況，振蕩周期包含采樣周期T的個數(shù)k為16

例8-27設(shè)離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的共軛復(fù)極點(diǎn)以及負(fù)實軸上的極點(diǎn)分布如圖所示，其中p1,

p2所具有的相角1,2=/4，p3,

p4所具有的相角3,4=/2，p5,

p6所具有的相角5,6=2/3，p7所具有的相角7=，試確定相應(yīng)的各瞬態(tài)分量的振蕩周期和振蕩角頻率。并畫出瞬態(tài)分量變化圖形。0ReIm

1p1p2p7p3p4p6p5解：對p1,

p2所對應(yīng)分量的振蕩周期為過渡過程每經(jīng)過８個采樣周期形成一個循環(huán)。17對p3,

p4所對應(yīng)分量的振蕩周期為對p5,

p6所對應(yīng)分量的振蕩周期為c(k)k18c(k)kc(k)kc(k)kc(k)k19綜上分析，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)在單位園內(nèi)，對應(yīng)的瞬態(tài)分量均為收斂的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位園上或單位園外，對應(yīng)的瞬態(tài)分量均不收斂，產(chǎn)生持續(xù)等幅脈沖或發(fā)散脈沖，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使離散系統(tǒng)具有較滿意的動態(tài)過程，極點(diǎn)應(yīng)盡量避免在左半園內(nèi)，尤其不要靠近負(fù)實軸，以免產(chǎn)生較強(qiáng)烈的振蕩。閉環(huán)極點(diǎn)最好分布在單位園的右半部，尤為理想的是分布在靠近原點(diǎn)的地方。這樣系統(tǒng)反應(yīng)迅速，過程進(jìn)行較快。208.6.3離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，與系統(tǒng)參數(shù)及采樣參數(shù)T等均有關(guān)。根據(jù)第三章所述，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的主要條件是系統(tǒng)的極點(diǎn)均在s平面左半部，s平面的虛軸就是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。對于線性離散系統(tǒng)，其拉氏變換式中含有ekTs項，因此分析采樣系統(tǒng)在s平面上的極點(diǎn)分布，就不像連續(xù)系統(tǒng)那么簡單。

1、z域穩(wěn)定的充分必要條件根據(jù)s平面與z平面的映射關(guān)系及閉環(huán)極點(diǎn)與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系，容易算出離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的全部根的模都小于１?；蛘哒f，全部特征根都位于z平面以原點(diǎn)為園心的單位園內(nèi)。21例8-28設(shè)離散系統(tǒng)如圖所示，其中T＝0.07(秒)，試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。r(t)c(t)+-100s(s+10)

解：由已知的G(s)可求出開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程為z2+3.5z+0.5=0z1=0.15z2=3.73因為z2

1，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。22３、代數(shù)判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)中的代數(shù)判據(jù)(勞斯判據(jù))，是根據(jù)特征方程的系數(shù)關(guān)系判斷其根是否在s左半平面，從而確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

勞斯判據(jù)：特征方程是代數(shù)方程穩(wěn)定的邊界是虛軸，穩(wěn)定的區(qū)域是復(fù)平面的左半平面在離散系統(tǒng)中，在z平面或在s半平面都不能直接引用勞斯判據(jù)。根據(jù)復(fù)變函數(shù)雙線性變換公式，引用下列變換：或23

或或令z=x+jyw=u+jv24當(dāng)u＝０時，對應(yīng)w平面虛軸，則有x2+y2=1即z平面單位圓。當(dāng)u<０時，w平面左半平面，對應(yīng)z平面單位圓內(nèi)；當(dāng)u>０時，w平面右半平面，對應(yīng)z平面單位圓外。0ImRew+1w+1w1125

例8-29若已求得采樣系統(tǒng)的特征方程式為3z3+3z2+2z+1=0試用w平面的勞斯判據(jù)判別穩(wěn)定性。解：應(yīng)用w變換，令由于第一列元素全為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。w3+7w2+7w+9=0勞斯表為26例8-30利用代數(shù)判據(jù)分析如圖所示二階離散系統(tǒng)放大系數(shù)k和采樣周期T對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：根據(jù)已知的G(s)求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)r(t)c(t)+-ks(s+1)閉環(huán)特征方程為27得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：