數(shù)學(xué)半期復(fù)習(xí)大全

概念由某些確定的對(duì)象組成的整體就叫做集合，簡(jiǎn)稱集.組成集合的每個(gè)對(duì)象稱為元素.1.1.1集合的概念思考一、集合集合中的元素具有下列性質(zhì)：(1)互異性：一個(gè)給定的集合中的元素都是互不相同的；

(2)無序性：一個(gè)給定的集合中的元素排列無順序；(3)確定性：一個(gè)給定的集合中的元素必須是確定的.

不能確定的對(duì)象，不能組成集合．例如，某班跑得快的同學(xué)，就不能組成集合．概念

由數(shù)所組成的集合稱作數(shù)集.我們用某些特定的大寫英文字母表示常用的一些數(shù)集：所有非負(fù)整數(shù)所組成的集合叫做自然數(shù)集，記作；所有正整數(shù)所組成的集合叫做正整數(shù)集，記作；所有整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作；所有有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作

；所有實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作.歸納

根據(jù)集合所含有元素個(gè)數(shù)可以將其分為有限集和無限集兩類.含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.1.1.2集合的表示方法1.列舉法

把集合的元素一一列舉出來，元素中間用逗號(hào)隔開，寫在花括號(hào)“｛｝”中用來表示集合，這種方法即為列舉法.

例如，由小于5的自然數(shù)所組成的集合用列舉法表示為：

自然數(shù)集為無限集，用列舉法表示為：用列舉法表示集合可以明確地看到集合中的每一個(gè)元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性質(zhì)，因此在具體的應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際情況靈活選用.提示返回概念

1.2集合之間的關(guān)系1.2.1子集概念：一般地，如果集合B的元素都是集合A的元素，那么稱集合A包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.表示：將集合A包含集合B記作

或

（讀作“A包含B”或“B包含于A”）．可以用下圖表示出這兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系．拓展：由子集的定義可知，任何一個(gè)集合A都是它自身的子集，即．規(guī)定：空集是任何集合的子集，即

．例1用符號(hào)“

”、“

”、“

”或“

”填空：(1)

（）

；(2)0（）

；分析:“”與“”是用來表示元素與集合之間關(guān)系的符號(hào)；而“”與“”是用來表示集合與集合之間關(guān)系的符號(hào)．首先要分清楚對(duì)象，然后再根據(jù)關(guān)系，正確選用符號(hào)．概念

1.2集合之間的關(guān)系1.2.2

真子集概念：如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集．表示：記作A(或)，讀作“A真包含B”（或“B真包含于A”）．拓展：空集是任何非空集合的真子集．例3設(shè)集合

,試寫出的所有子集，并指出其中的真子集．分析：集合中有3個(gè)元素，可以分別列出空集、含1個(gè)元素的集合、含2個(gè)元素的集合、含3個(gè)元素的集合．解：M的所有子集為除集合

外，所有集合都是集合的真子集．想一想返回1.2.2集合的相等理論升華整體建構(gòu)元素與集合關(guān)系：屬于與不屬于；集合與集合關(guān)系：子集、真子集、相等；首先要分清楚對(duì)象，然后再根據(jù)關(guān)系，正確選用符號(hào)．概念1.3集合的運(yùn)算1.3.1交集概念1.3.2并集學(xué)習(xí)提示

在求并集時(shí)，兩個(gè)集合中相同的元素只列舉一次，不能重復(fù)列舉.概念

1.3.3補(bǔ)集歸納學(xué)習(xí)提示

在求并集時(shí)，兩個(gè)集合中相同的元素只列舉一次，不能重復(fù)列舉.

兩個(gè)非空集合的交集可能是空集嗎？試舉例說明想一想返回1.4充要條件已知條件p和結(jié)論q：（1）如果由條件p成立可推出結(jié)論q成立，則說明條件p是結(jié)論q的充分條件，記作“”.

（2）如果由結(jié)論q成立可推出條件p成立，則說明條件p是結(jié)論q的必要條件，記作“（或）”.

（3）如果，且，那么p是q的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作“”.返回2.1不等式的基本性質(zhì)2.1.1實(shí)數(shù)大小的比較對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，有二、不等式性質(zhì)3

性質(zhì)2表明，不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，因此性質(zhì)2稱為不等式的加法性質(zhì).性質(zhì)2性質(zhì)12.1.2不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1所描述的不等式的性質(zhì)稱為不等式的傳遞性.性質(zhì)3表明，不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的反向改變.因此性質(zhì)3稱為不等式的乘法性質(zhì)返回2.2區(qū)間概念

一般地，由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的一切實(shí)數(shù)所組成的集合叫做區(qū)間.其中，這兩個(gè)點(diǎn)叫做區(qū)間端點(diǎn).不含端點(diǎn)的區(qū)間叫做開區(qū)間.如集合

表示的區(qū)間是開區(qū)間，用記號(hào)(2,4)表示.其中2叫做區(qū)間的左端點(diǎn)，4叫做區(qū)間的右端點(diǎn).

含有兩個(gè)端點(diǎn)的區(qū)間叫做閉區(qū)間.如集合

表示的區(qū)間是閉區(qū)間，用記號(hào)[2,4]表示.返回2.2區(qū)間概念

只含左端點(diǎn)的區(qū)間叫做右半開區(qū)間，如集合

表示的區(qū)間是右半開區(qū)間，用記號(hào)[2,4)表示；

只含右端點(diǎn)的區(qū)間叫做左半開區(qū)間，如集合

表示的區(qū)間是左半開區(qū)間，用記號(hào)(2,4]表示.引入問題中，新時(shí)速旅客列車的運(yùn)行速度值（單位：公里/小時(shí)）區(qū)間為[200,350]．返回2.2區(qū)間學(xué)習(xí)提示

與只是符號(hào)，而不表示具體的數(shù).返回有限區(qū)間：區(qū)間在兩個(gè)方向均有界；比如，（2，4），[2，4），（2，4]；無限區(qū)間：即區(qū)間在某個(gè)方向無界；用表示正無窮大；用表示負(fù)無窮大；

概念

2.3一元二次不等式及其解法返回返回2.4含絕對(duì)值的不等式概念絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式叫做含絕對(duì)值的不等式.

不等式的解法返回概念

三、函數(shù)學(xué)習(xí)提示由定義可知，一個(gè)函數(shù)的確定只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則.返回P40例1，例2，例3方法23.1

函數(shù)的概念表示方法方法1

通過列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法.方法3利用圖像表示函數(shù)的方法叫做圖像法.3.1.2

函數(shù)的三種表示方法P43例43.1

函數(shù)的概念表示方法已知函數(shù)的解析式，作函數(shù)圖像P44例5（1）確定函數(shù)的定義域；（2）選取自變量x的若干值（一般選取某些代表性的值）計(jì)算出它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，列出表格；（3）以表格中x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)(x,y)；（4）根據(jù)題意確定是否將描出的點(diǎn)聯(lián)結(jié)成光滑的曲線．這種作函數(shù)圖像的方法叫做描點(diǎn)法．3.2

函數(shù)的性質(zhì)3.2.1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有意義。如果對(duì)任意的x1,x2?(a,b),當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)成立，那么函數(shù)f(x)叫做區(qū)間(a,b)內(nèi)的增函數(shù)，區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)f(x)的增區(qū)間。設(shè)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有意義。如果對(duì)任意的x1,x2?(a,b),當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)成立，那么函數(shù)f(x)叫做區(qū)間(a,b)內(nèi)的減函數(shù)，區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)f(x)的減區(qū)間。概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是增函數(shù)（或減函數(shù)），那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有單調(diào)性，區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)局部的一個(gè)性質(zhì).思考提示幾何特征：函數(shù)單調(diào)性的幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，順著x軸的正方向，若函數(shù)的圖像上升，則函數(shù)為增函數(shù)；若圖像下降則函數(shù)為減函數(shù)．判定方法：判定函數(shù)的單調(diào)性有兩種方法：借助于函數(shù)的圖像或根據(jù)單調(diào)性的定義來判定．P47例1，例23.2.2函數(shù)的奇偶性

1.對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征一般地，設(shè)點(diǎn)P(a,b)為平面上的任意一點(diǎn)，則（1）點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b)；（2）點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b)；（3）點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b)．P50例33.2.2函數(shù)的奇偶性

2.函數(shù)的奇偶性對(duì)于圖（1），如果沿著y軸對(duì)折，那么對(duì)折后y軸兩側(cè)的圖像完全重合．即函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)p關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)p/仍然在函數(shù)圖像上，這時(shí)稱函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；y軸叫做這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸．3.2.2函數(shù)的奇偶性

2.函數(shù)的奇偶性對(duì)于圖（2），如果將圖像沿著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)前后的圖像完全重合．即函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P/仍然在函數(shù)的圖像上，這時(shí)稱函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；原點(diǎn)O叫做這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么，就說這個(gè)函數(shù)具有奇偶性．不具有奇偶性的函數(shù)叫做非奇非偶函數(shù)．判斷:判斷一個(gè)函數(shù)是否具有奇偶性的基本步驟是：（1）求出函數(shù)的定義域，如果對(duì)于任意的x?D都有-x?D（即關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱），則分別計(jì)算出f(x)與f(-x),然后根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性．（2）如果存在某個(gè)x0?D，但是-，則函數(shù)肯定是非奇非偶函數(shù)．學(xué)習(xí)提示（1）如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，這個(gè)函數(shù)也一定是偶函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這個(gè)函數(shù)也一定是奇函數(shù).（2）一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.返回對(duì)于用圖像法表示的函數(shù)，可以通過對(duì)圖像對(duì)稱性的觀察判斷函數(shù)是否具有奇偶性P52例43.3函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例概念

在定義域的