劉泉《信號與系統(tǒng)》第三章85068036

第三章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析本章要點周期信號頻譜常用信號的傅里葉變換傅立葉變換的性質(zhì)FFFFFFFFF連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件理想低通濾波器的沖激響應與階躍響應非周期信號的傅里葉變換調(diào)制與解調(diào)周期信號傅里葉級數(shù)F抽樣與抽樣定理引言變換域分析——就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信號，或者說，信號用完備的正交函數(shù)集來展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章付里葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。2/5/20232WHUT從本章開始由時域分析轉(zhuǎn)入頻域分析。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎上發(fā)展而產(chǎn)生的。傅里葉分析的研究與應用經(jīng)歷了一百余年。1822年法國數(shù)學家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導理論時發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應用到電學中去。伴隨電機制造、交流電的產(chǎn)生與傳輸?shù)葘嶋H問題的需要，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及傅里葉分析等數(shù)學工具已得到廣泛的應用。傅里葉分析發(fā)展史2/5/20233WHUT直到19世紀末，制造出電容器。20世紀初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的在通信系統(tǒng)中的應用開辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實際應用之中，采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時間域（時域）方法有許多突出的優(yōu)點。當今，傅里葉分析方法已成為信號分析與系統(tǒng)設計不可缺少的重要工具。2/5/20234WHUT20世紀70年代，出現(xiàn)的各種二值正交函數(shù)（沃爾什函數(shù)），它對通信、數(shù)字信號處理等技術領域的研究提供了多種途徑和手段。使人們認識到傅里葉分析不是信息科學與技術領域中唯一的變換域方法。但傅里葉分析始終有著極其廣泛的應用，它是研究其他變換方法的基礎。而且出現(xiàn)了”快速傅里葉變換（FFT）”它給傅里葉分析這一數(shù)學工具增添了新的生命力。傅里葉分析方法不僅應用于電力工程、通信和控制領域之中，而且在力學、光學、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關數(shù)學、物理和工程技術領域中得到廣泛的應用。

2/5/20235WHUT本章討論的路線：傅里葉級數(shù)正交函數(shù)——傅里葉變換，建立信號頻譜的概念；通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，掌握傅里葉分析方法的應用。對于周期信號而言，進行頻譜分析可用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級數(shù)相當于傅里葉變換的一種特殊表達形式。最后對研究周期信號與抽樣信號的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字通信的理論基礎。2/5/20236WHUT

3.1周期信號的傅里葉級數(shù)

2/5/20237WHUT1、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)2/5/20238WHUT為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：三角函數(shù)集是一組完備函數(shù)集。2/5/20239WHUT2、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)2/5/202310WHUT通常所遇到的周期性信號都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。3、傅里葉級數(shù)展開的充分條件2/5/202311WHUT通常把頻率為：稱為基波。頻率為：稱為二次諧波。頻率為：稱為三次諧波。頻率為：稱為三次諧波?？梢姡绷鞣至康拇笮∫约盎ㄅc各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。4、基波、諧波2/5/202312WHUT周期信號的主要特點：5、幅度譜、相位譜2/5/202313WHUT二、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的形式

2/5/202314WHUT2.指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)中各個量之間的關系

example2/5/202315WHUT3.指數(shù)形式的信號頻譜--復數(shù)頻譜Fn一般是復函數(shù)，所以稱這種頻譜為復數(shù)頻譜。幅度譜與相位譜合并正、負頻率相應項成對合并，才是實際頻譜函數(shù)。2/5/202316WHUT4.周期信號的功率特性—時域和頻域能量守恒定理周期信號的平均功率P：在一個周期內(nèi)求平方再求積分。帕塞瓦爾定理2/5/202317WHUT1.函數(shù)的對稱性三、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系要將信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)，如果f(t)是實函數(shù)，且它波形滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數(shù)中有些項為0，留下的各項系數(shù)的表示式也比較簡單。波形對稱性有兩類：（1）對整周期對稱。即偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）對半周期對稱。即奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)。2/5/202318WHUT2.傅里葉級數(shù)的系數(shù)求解例如：周期三角波信號是一偶函數(shù)其傅里葉級數(shù)表達式為：(1)偶函數(shù)信號2/5/202319WHUT其傅里葉級數(shù)表達式為：例如：周期鋸齒波信號是一奇函數(shù)（2）奇函數(shù)信號2/5/202320WHUT例如：奇諧函數(shù)2/5/202321WHUT（3）奇諧函數(shù)信號（半波對稱函數(shù)）奇諧函數(shù)信號：若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化，即滿足：00a=2/5/202322WHUT三、周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關系。FF2/5/202323WHUT四、傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差實際應用中，經(jīng)常采用有限項級數(shù)來代替無限項級數(shù)。顯然，有限項數(shù)是一種近似的方法，所選項數(shù)愈多，有限項級數(shù)愈逼近原函數(shù)，其方均誤差愈小。2/5/202324WHUT以下為對稱方波，注意不同的項數(shù)，有限級數(shù)對原函數(shù)的逼近情況，并計算由此引起的方均誤差。只取基波分量一項解：其傅里葉級數(shù)表達式為：2/5/202325WHUT從上面例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號f(t)。(2)當信號f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形一般要發(fā)生失真。取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量2/5/202326WHUT當選取傅里葉有限級數(shù)的項數(shù)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。五、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象2/5/202327WHUT

為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。一、頻譜圖的概念由上一節(jié)知周期信號f（t）可用付里葉級數(shù)來表示?；?.2周期信號的頻譜2/5/202328WHUT二、典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號F（t）TtT：脈沖周期：脈沖寬度A：脈沖幅度第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù)f(t)是偶函數(shù)bn=0T：三角函數(shù)公共周期2/5/202329WHUT第二步：展成指數(shù)形式付里葉級數(shù)FS2/5/202330WHUT當時第三步：頻譜分析與之比值有關，取

與包絡線均為為離散頻率即2/5/202331WHUT計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)n幅度頻譜圖1抽樣函數(shù)2/5/202332WHUT0an>00Cn>0Cn<0即即0相位頻譜圖2/5/202333WHUT-第四步：討論頻譜結構與、T的關系1.當不變，T增大，譜線間隔減小，譜線逐漸密集，幅度減小

當非周期信號連續(xù)頻率非周期信號連續(xù)頻譜

此例中為一實數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合畫在一張圖上。2/5/202334WHUT2/5/202335WHUT對于一般頻譜，常以0頻率開始振幅將為包絡線最大值的1/10的頻率之間的頻帶定義為信號的頻帶寬度2.當T不變，減小時T不變間隔不變振幅為0的諧波頻率3.頻帶寬度的定義對于周期矩形信號，一般或周期矩形信號的時間特性：f(t)變化快

f(t)變化慢頻率特性：變化快的信號必然具有較寬的頻帶2/5/202336WHUT三、周期信號的頻譜特點(1)離散性——譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為。這種頻譜常稱為離散頻譜。(2)諧波性——譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。(3)收斂性——各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當諧波次數(shù)無限增高時，譜線的高度也無限減小2/5/202337WHUT一、頻譜密度函數(shù)以周期矩形信號為例，當周期（周期信號變?yōu)榉侵芷谛盘枺?，（離散頻譜變成連續(xù)頻譜），即譜線長度趨于零（無窮?。?。以上兩節(jié)討論了周期信號的付里葉級數(shù)，并得到周期信號的頻譜具有離散性、諧波性、收斂性三個特點，本節(jié)把上述傅立葉分析方法推廣到非周期信號中，導出非周期信號的傅立葉變換FT。此時，原分析方法失效，但譜線長度（振幅）雖同為無窮小，但它們的大小并不相同，相對值仍有差別。3.3非周期信號的傅里葉變換2/5/202338WHUT為了表明無窮小的振幅間的相對差別，有必要引入一個新的量——稱為“頻譜密度函數(shù)”。設周期信號2/5/202339WHUT頻譜密度函數(shù)2/5/202340WHUT2/5/202341WHUT2/5/202342WHUT從上式可以看出：非周期信號和周期信號一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信號的于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。同時，三角函數(shù)振幅，故用頻譜不能直接畫出，必須用它的密度函數(shù)作出。最后必須指出，從理論上講，F(xiàn)T也應滿足類似狄氏條件。討論：2/5/202343WHUT3.4常用信號的傅里葉變換1t0f(t)(a)0(b)0(c)2/5/202344WHUTf(t)0t(a)0(b)2/5/202345WHUT2/5/202346WHUT3、矩形單脈沖信號（門函數(shù)）(a)(b)(c)(d)2/5/202347WHUT2/5/202348WHUT常數(shù)頻譜1不滿足絕對可積條件，反變換求解過程見管致中書P120物理意義：在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱為“均勻譜“或”白色譜“。2/5/202349WHUT2/5/202350WHUT2/5/202351WHUT01t2/5/202352WHUT2/5/202353WHUT2/5/202354WHUT-2T-T0T2T3Tt(a)周期單位沖激序列

(b)付里葉變換頻譜

表示在無窮小的頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點）取得了無限大的頻譜密度值。2/5/202355WHUT2/5/202356WHUT例2：付里葉變換付里葉變換付里葉級數(shù)0t-2T–T0T2Tt0t2/5/202357WHUT例3：2/5/202358WHUT3.5傅立葉變換的性質(zhì)說明：相加信號的頻譜等于各個單獨信號的頻譜之和。F2/5/202359WHUTF2/5/202360WHUT頻移性質(zhì)2/5/202361WHUTF2/5/202362WHUT2/5/202363WHUT2/5/202364WHUT2/5/202365WHUT2/5/202366WHUT2/5/202367WHUT2/5/202368WHUTE2/5/202369WHUT2/5/202370WHUT2/5/202371WHUT2/5/202372WHUT2/5/202373WHUT2/5/202374WHUTParseval’s定理與能量頻譜從能量的角度來考察信號時域和頻域特性間的關系2/5/202375WHUT2/5/202376WHUTParseval’s定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。一般非周期信號屬于能量有限信號2/5/202377WHUT2/5/202378WHUTParseval定理：非周期信號在時域中求得的信號能量等于在頻域中求得的信號能量。2/5/202379WHUT2/5/202380WHUTLTI系統(tǒng)的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應本節(jié)只研究零狀態(tài)響應。1.時域分析法即將

分解為無限個

之疊加。即零狀態(tài)響應分解為所有被激勵加權的之疊加。時域方法缺點：計算復雜。3.6連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析2/5/202381WHUT2.頻域分析法（是變換域分析法的一種）由時域卷積定理知：稱為系統(tǒng)函數(shù)（或傳遞函數(shù)）此方法稱為頻域分析法，另外還有復頻域分析法、Z域分析法等都是屬于變換域分析法。2/5/202382WHUT將任意激勵信號分解為無窮多項信號的疊加（或無窮多項正弦分量的疊加）將無窮多項信號分量作用于系統(tǒng)所得的響應取和（疊加）22/5/202383WHUT頻域分析法：也是建立在線性系統(tǒng)具有疊加性、齊次性基礎上，與時域分析法不同處在于信號分解的單元函數(shù)不同?？偨Y：在線性時不變系統(tǒng)的分析中，無論時域、頻域的方法都可按信號分解、求響應再疊加的原則來處理。2/5/202384WHUT有始信號通過線性電路的瞬態(tài)分析

例1：已知，求零狀態(tài)響應。時域電路模型（RC低通網(wǎng)絡）頻域電路模型2/5/202385WHUT解：電壓傳輸比2/5/202386WHUT2/5/202387WHUT2/5/202388WHUT例題說明+-RC11￠22￠+-2OttEOttOwOwtEOw122急速變化處意味著有很高的頻率分量2/5/202389WHUT

從以上分析可以看出，利用從頻譜改變的觀點解釋激勵與響應波形的差異，物理概念比較清楚，但求傅立葉逆變換的過程比較煩瑣，因此，在求解一般非周期信號作用于具體電路的響應時，用更方便，很少利用。這節(jié)引出的重要意義在于研究信號傳輸?shù)幕咎匦浴⒔V波器的基本概念并理解頻響特性的物理意義。結論2/5/202390WHUT3.7系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件由前面舉例（例1）知：失真：系統(tǒng)的響應波形與激勵波形不相同，稱信號在傳輸過程中產(chǎn)生了失真。一.線性系統(tǒng)引起信號失真的原因1.幅度失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，引起幅度失真。2/5/202391WHUT2.相位失真：系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，造成各頻率分量在時間軸上的相對位置變化，引起相位失真。由延時特性知：在實際應用中，有時需要有意識地利用系統(tǒng)的失真進行波形變換有時希望傳輸過程中使用信號失真最小。2/5/202392WHUT二.線性系統(tǒng)無失真條件波形無改變則稱為無失真實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑧獫M足的條件2/5/202393WHUT信號通過系統(tǒng)時諧波的相移比需與其頻率成正比。2/5/202394WHUT例：基波二次諧波為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時間，以保證不產(chǎn)生相位失真，應有2/5/202395WHUT一、理想低通濾波器的頻域特性

為截止頻率(Cutofffrequency)相移特性是過原點直線3.8

理想低通濾波器的沖激響應與階躍響應阻帶通帶阻帶2/5/202396WHUT二、理想低通濾波器的沖激響應由圖知t<0時，，而輸入

在t=0時加入，這是反因果規(guī)律的，所以理想低通濾波器是無法實現(xiàn)的。02/5/202397WHUT三、理想低通濾波器的階躍響應設理想低通濾波器的階躍響應為令，則，于是有2/5/202398WHUT上式第一項積分第二項積分是正弦積分函數(shù)

它的函數(shù)值可從正弦積分函數(shù)表中查得，于是可得理想低通濾波器的階躍響應為2/5/202399WHUTxxsinx1Op2pp3p4()xSixO2p2p-式中稱為正弦積分函數(shù)1tO210ttOBA2/5/2023100WHUTA點處：B點處：查表得：故可求得：響應電壓的建立時間與通頻帶成反比。2/5/2023101WHUT四、理想低通濾波器的物理可實現(xiàn)條件給定一個網(wǎng)絡數(shù)學模型，什么樣的可以物理實現(xiàn)，什么樣的不行？這是一個網(wǎng)絡綜合問題。

網(wǎng)絡分析：已知網(wǎng)絡結構和參數(shù)，求系統(tǒng)在一定輸入下的響應。網(wǎng)絡綜合：在給定網(wǎng)絡特性的情況下，確定網(wǎng)絡的結構和參數(shù)。2/5/2023102WHUT1.物理可實現(xiàn)的時域條件：這一條件也稱為“因果條件”2.物理可實現(xiàn)的頻域條件：物理可實現(xiàn)的必要條件是：其中滿足這一條件稱為佩利－維納準則例如：理想低通濾波器違反了佩利－維納準則，則系統(tǒng)不可實現(xiàn)。2/5/2023103WHUT舉例：一個簡單的低通濾波器。2/5/2023104WHUT分析：可看出，與理想低通濾波器有些相似，不同在于以圖示電路為例，設，則網(wǎng)絡系統(tǒng)函數(shù)：例題分析2/5/2023105WHUT例題分析

與理想低通濾波器有些相似，不同在于“佩利－維納準則”是系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的必要條件，而不是充分條件。

2/5/2023106WHUT3.9調(diào)制與解調(diào)一、為什么要調(diào)制？為了有效傳輸信號①天線尺寸可實現(xiàn)。天線尺寸②不同信號在同一信道里傳輸不產(chǎn)生重疊。（用多路復用技術解決：在一個信道中傳輸多路信號。）調(diào)制是實現(xiàn)多路復用的關鍵技術。2/5/2023107WHUT二、調(diào)制原理theoryofmodulation。調(diào)制——將信號頻譜搬移到任何所需的較高頻率范圍的過程。相乘——待傳輸?shù)男盘?，稱為調(diào)制信號——運載的高頻振蕩信號稱為載波?！獮榻?jīng)調(diào)制后的高頻信號稱為已調(diào)波。

2/5/2023108WHUT應用付里葉變換的性質(zhì)說明頻譜搬遷的原理2/5/2023109WHUT分析例中已調(diào)波振幅隨調(diào)制信號而變，這種調(diào)制稱為調(diào)幅調(diào)制調(diào)幅調(diào)頻調(diào)相脈沖調(diào)制（分兩步進行）這些內(nèi)容在后續(xù)課本中學習如高頻電子線路、通信原理2/5/2023110WHUT三、調(diào)幅波的頻譜分析舉例2/5/2023111WHUT1、正弦調(diào)制載頻分量上邊頻分量邊頻分量下邊頻分量頻譜調(diào)幅波的頻寬為調(diào)制頻率的兩倍2/5/2023112WHUT這種調(diào)制中載波的振幅隨信號e(t)成比例的改變，稱為調(diào)幅，簡稱AMa(t)中含有載波分量，當時，解調(diào)不需本地載波，直接用簡單的包絡檢波器（二極管、電阻、電容組成）即可提取包絡恢復e(t)。接收機簡單，成本降低，但代價是使用價格昂貴的發(fā)射機。2/5/2023113WHUT2、復雜周期信號調(diào)制下邊帶上邊帶調(diào)幅波的頻譜2/5/2023114WHUT2/5/2023115WHUT3、頻分復用（多路復用技術之一）至信道傳輸多路復用頻分復用時分復用2/5/2023116WHUT四、解調(diào)demodulation解調(diào)——由已調(diào)信號a（t）恢復原始信號e（t）的過程稱為解調(diào)。2/5/2023117WHUT相乘低通2/5/2023118WHUT2/5/2023119WHUT5.1抽樣定理SamplingTheorem

2/5/2023120WHUT一、提出問題

（1）如何從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號；（2）在什么條件下才可以無失真地完成這種恢復作用?！俺闃佣ɡ怼弊鞒雒鞔_面精辟的回答。應用：廣泛地應用在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論方面。特別是在數(shù)字通信系統(tǒng)中。（以此為理論基礎）“抽樣定理”分為：時域抽樣定理頻域抽樣定理2/5/2023121WHUT二、時域抽樣定理

（1）時域抽樣定理

即：f(t)一個頻譜受限的信號內(nèi)容：由于這個定理是Nquist1928年提出的，所以也稱為奈奎斯特準則。這個定理形式的應用卻是香農(nóng)(Shannon)。2/5/2023122WHUT（2）奈奎斯特間隔、奈奎斯特頻率2/5/2023123WHUT（３）時域抽樣定理圖解

頻譜頻譜滿足抽樣定理，不產(chǎn)生混疊（高采樣率）頻譜不滿足抽樣定理，產(chǎn)生混疊（低采樣率）2/5/2023124WHUT（3）時域抽樣定理物理意義

為保留波形所有頻率分量的全部