新高考數(shù)學二輪復習專題講測練專題06 一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問題（精講精練）（原卷版）

專題06外接球與內(nèi)切球問題【命題規(guī)律】縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答．從近幾年全國高考命題來看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見，此部分是重點也是一個難點，屬于中等難度．【核心考點目錄】核心考點一：正方體、長方體外接球核心考點二：正四面體外接球核心考點三：對棱相等的三棱錐外接球核心考點四：直棱柱外接球核心考點五：直棱錐外接球核心考點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型核心考點七：側(cè)棱為外接球直徑模型核心考點八：共斜邊拼接模型核心考點九：垂面模型核心考點十：二面角模型核心考點十一：坐標法核心考點十二：圓錐圓柱圓臺模型核心考點十三：錐體內(nèi)切球核心考點十四：棱切球【真題回歸】1．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全國·高考真題（理））已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·全國·高考真題（理））已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個點，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2020·全國·高考真題（理））已知△ABC是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】1、補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．（3）正四面體SKIPIF1<0可以補形為正方體且正方體的棱長SKIPIF1<0，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4【核心考點】核心考點一：正方體、長方體外接球【規(guī)律方法】1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習）已知正方體外接球的體積是SKIPIF1<0，那么正方體的體對角線等于（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0.例2．（2022·陜西西安·模擬預測（文））長方體的過一個頂點的三條棱長分別是2，4，4，則該長方體外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2022·貴州黔南·高三開學考試（理））自2015年以來，貴陽市著力建設“千園之城”，構建貼近生活、服務群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為SKIPIF1<0，則石凳所對應幾何體的外接球的表面積為________SKIPIF1<0．核心考點二：正四面體外接球【規(guī)律方法】如圖，設正四面體SKIPIF1<0的的棱長為SKIPIF1<0，將其放入正方體中，則正方體的棱長為SKIPIF1<0，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為SKIPIF1<0，即正四面體外接球半徑為SKIPIF1<0．【典型例題】例4．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（理））已知正四面體SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0表面積為SKIPIF1<0，則該正四面體棱長為______；若SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值為______．例5．（2022·江蘇南京·高三開學考試）已知一個正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個頂點為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.例6．（2022·福建·福州三中模擬預測）表面積為SKIPIF1<0的正四面體的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點三：對棱相等的三棱錐外接球【規(guī)律方法】四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，三式相加可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【典型例題】例7．（2022·全國·高三專題練習）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的表面積為___________.例8．（2022·全國·高三專題練習）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若該四面體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．（2020·全國·模擬預測（文））在三棱錐SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點四：直棱柱外接球【規(guī)律方法】如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；第二步：算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0【典型例題】例10．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））已知正三棱柱的側(cè)棱長為SKIPIF1<0，底面邊長為SKIPIF1<0，若該正三棱柱的外接球體積為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最大時，該正三棱柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．（2022·湖南岳陽·高三階段練習）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．（2021·四川瀘州·二模（文））直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是SKIPIF1<0，則該六棱柱的外接球的表面積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點五：直棱錐外接球【規(guī)律方法】如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將SKIPIF1<0畫在小圓面上，SKIPIF1<0為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必過球心SKIPIF1<0；第二步：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典型例題】例13．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（文））三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．（2022·福建·寧德市民族中學高三期中）已知三棱錐P-ABC中，SKIPIF1<0底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．（2021·四川成都·高三開學考試（文））已知在三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型【規(guī)律方法】1、正棱錐外接球半徑：SKIPIF1<0．2、側(cè)棱相等模型：如圖，SKIPIF1<0的射影是SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的三條側(cè)棱相等SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0在圓錐的底上，頂點SKIPIF1<0點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心SKIPIF1<0的位置，取SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點共線；第二步：先算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，再算出棱錐的高SKIPIF1<0（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0．【典型例題】例16．（2022·江西·金溪一中高三階段練習（文））在正三棱錐S－ABC中，SKIPIF1<0，△ABC的邊長為2，則該正三棱錐外接球的表面積為______．例17．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱錐SKIPIF1<0，其外接球球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則該正三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為__________．例18．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱錐SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，底面邊長為6．則該正三棱錐外接球的表面積為_______．例19．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則三棱錐外接球的表面積為____________．例20．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.核心考點七：側(cè)棱為外接球直徑模型【規(guī)律方法】找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．【典型例題】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0是該球的直徑，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為_____.例22．（2022·河南·一模（理））三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，AD是該球的直徑，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為______．例23．（2021·全國·高三專題練習（文））已知三棱錐P﹣ABC中，SKIPIF1<0，AC=2，PA為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為SKIPIF1<0，則外接球的表面積為___________．核心考點八：共斜邊拼接模型【規(guī)律方法】如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，SKIPIF1<0為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點SKIPIF1<0為公共斜邊SKIPIF1<0的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點的距離相等，故點SKIPIF1<0就是四面體SKIPIF1<0外接球的球心，公共的斜邊SKIPIF1<0就是外接球的一條直徑．【典型例題】例24．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將矩形SKIPIF1<0折成一個直二面角SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例25．三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為例26．在平行四邊形SKIPIF1<0中，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若將其沿SKIPIF1<0折成直二面角SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點九：垂面模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體SKIPIF1<0，已知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其外接球問題的步驟如下：（1）找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圓圓心，分別記為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）分別過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂線，其交點為球心，記為SKIPIF1<0．（3）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足記為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（4）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，如圖2所示，底面四邊形SKIPIF1<0的四個頂點共圓且SKIPIF1<0為該圓的直徑．圖1圖2【典型例題】例27．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為______例28．（2022·安徽馬鞍山·一模（文））三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球的表面積為________．例29．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球的體積為______例30．（2021·全國·高三專題練習）已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為__________．核心考點十：二面角模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體SKIPIF1<0，已知二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0，其外接球問題的步驟如下：（1）找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圓圓心，分別記為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）分別過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂線，其交點為球心，記為SKIPIF1<0．（3）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足記為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（4）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，如圖2所示，底面四邊形SKIPIF1<0的四個頂點共圓且SKIPIF1<0為該圓的直徑．【典型例題】例31．（2022·貴州·模擬預測（理））如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為______.例32．（2022·江西贛州·高三階段練習（文））已知菱形SKIPIF1<0的邊長為2，且SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0把SKIPIF1<0折起，得到三棱錐SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.例33．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）在三棱錐SKIPIF1<0中，△SKIPIF1<0是邊長為3的正三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則此三棱錐外接球的體積為________．例34．（2022·廣東汕頭·高三階段練習）在邊長為2的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將菱形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0對折，使二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，則所得三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.核心考點十一：坐標法【規(guī)律方法】對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為SKIPIF1<0，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．【典型例題】例35．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測）直角SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上的一動點，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0為直二面角，當線段SKIPIF1<0的長度最小時，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例36．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0內(nèi)一動點，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例37．（2022·山西·一模（理））如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，E分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如圖②.若F是SKIPIF1<0的中點，則四面體SKIPIF1<0的外接球體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點十二：圓錐圓柱圓臺模型【規(guī)律方法】1、球內(nèi)接圓錐如圖SKIPIF1<0，設圓錐的高為SKIPIF1<0，底面圓半徑為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0．通常在SKIPIF1<0中，由勾股定理建立方程來計算SKIPIF1<0．如圖SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖SKIPIF1<0、圖SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，其外接球的半徑為SKIPIF1<0，三者之間滿足SKIPIF1<0．例38．球內(nèi)接圓臺SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為圓臺的上底面、下底面、高．【典型例題】例39．（2022·廣東·廣州市第十六中學高三階段練習）已知一圓臺高為7，下底面半徑長4，此圓臺外接球的表面積為SKIPIF1<0，則此圓臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例40．（2022·河南·高三階段練習（文））已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的外接球的表面積為______．例41．（2022·上?！げ軛疃懈呷A段練習）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為___________.例42．（2022·全國·高三專題練習）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為______.核心考點十三：錐體內(nèi)切球【規(guī)律方法】等體積法，即SKIPIF1<0【典型例題】例43．（2022·全國·高三專題練習）球O是棱長為1的正方體SKIPIF1<0的內(nèi)切球，球SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、球O都相切，則球SKIPIF1<0的表面積是_______________．例44．（2022·全國·高三專題練習）若正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0過球心SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的半徑與正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑之比為__________.例45．（2022·山東濟南·二模）在高為2的直三棱柱SKIPIF1<0中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長的最小值為___________.核心考點十四：棱切球【規(guī)律方法】找切點，找球心，構造直角三角形【典型例題】例46．（2022?涪城區(qū)校級開學）一個正方體的內(nèi)切球SKIPIF1<0、外接球SKIPIF1<0、與各棱都相切的球SKIPIF1<0的半徑之比為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例47．（2022?江蘇模擬）正四面體SKIPIF1<0的棱長為4，若球SKIPIF1<0與正四面體的每一條棱都相切，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例48．（2022?昆都侖區(qū)校級一模）已知正三棱柱的高等于1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【新題速遞】一、單選題1．（2022·湖北·高三階段練習）已知某圓臺的體積為SKIPIF1<0，其上底面和下底面的面積分別為SKIPIF1<0，且該圓臺兩個底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·甘肅·高臺縣第一中學模擬預測（文））已知A，B，C均在球O的球面上運動，且滿足SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為6，則球O的體積為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的四點，記SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·黑龍江·海倫市第一中學高三期中）已知四面體ABCD的所有頂點在球O的表面上，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球O的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國·高三階段練習（文））已知正四棱錐的所有頂點都在體積為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的球面上，若該正四棱錐的高為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐的體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·貴州·高三階段練習（文））已知正三棱錐SKIPIF1<0的底面邊長為6，體積為SKIPIF1<0，A，B，C三點均在以S為球心的球S的球面上，P是該球面上任意一點，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·全國·高三階段練習（理））已知體積為SKIPIF1<0的正三棱柱SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，當球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0取得最小值時，該正三棱柱的底面邊長SKIPIF1<0與高SKIPIF1<0的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·福建·浦城縣第三中學高三期中）《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一.”下圖解釋了這段話中由一個長方體得到塹堵、陽馬、鱉臑的過程.在一個長方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2022·浙江·慈溪中學高三期中）已知棱長為1的正方體SKIPIF1<0，以正方體中心SKIPIF1<0為球心的球SKIPIF1<0與正方體的各條棱相切，點SKIPIF1<0為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球SKIPIF1<0在正方體外部分的體積為SKIPIF1<0B．若點SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的正方體外部（含正方體表面）運動，則SKIPIF1<0C．若點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0下方，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大為SKIPIF1<0D．若點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的正方體外部（含正方體表面）運動，則SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<010．（2022·福建泉州·高三開學考試）已知正四棱臺SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)部（含邊界）的動點，則（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的最大值為60°11．（2022·廣東·鐵一中學高三階段練習）如圖，已知圓錐頂點為SKIPIF1<0，其軸截面SKIPIF1<0是邊長為6的為正三角形，SKIPIF1<0為底面的圓心，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的一條直徑，球SKIPIF1<0內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（

）A．圓錐的表面積是SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0C．四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<012．（2022·湖南·長沙一中模擬預測）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等SKIPIF1<0“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，SKIPIF1<0為圓柱上下底面的圓心，SKIPIF1<0為球心，EF為底面圓SKIPIF1<0的一條直徑，若球的半徑SKIPIF1<0，則（

）A．球與圓柱的表面積之比為SKIPIF1<0B．平面DEF截得球的截面面積最小值為SKIPIF1<0C．四面體CDEF的體積的取值范圍為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<013．（2022·全國·模擬預測）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小均為SKIPIF1<0．設五面體SKIPIF1<0的各個頂點均位于球SKIPIF1<0的表面上，則（

）A．有且僅有一個SKIPIF1<0，使得五面體SKIPIF1<0為三棱柱B．有且僅有兩個SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．