北師大版七年級數(shù)學(下)整式的運算知識點總結及習題

七年級數(shù)學第一單元《整式的運算》本章知識結構：一、整式的有關概念1、單項式3、多項式二、整式的運算2、單項式的系數(shù)及次數(shù)4、多項式的項、次數(shù)5、整式（一）整式的加減法（二）整式的乘法1、同底數(shù)的哥相乘3、積的乘方5、單項式乘以單項式7、多項式乘以多項式9、完全平方公式（三）整式的除法1、單項式除以單項式2、多項式除以單項式2、哥的乘方4、同底數(shù)的哥相除6、單項式乘以多項式8、平方差公式一、整式的有關概念1、單項式：數(shù)與字母乘積，這樣的代數(shù)式叫單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。2、單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)。3、單項式的次數(shù)：單項式中所有的字母的指數(shù)和。練習：指出下列單項式的系數(shù)、指數(shù)和次數(shù)各是多少。a,c3 42xy,c32mn,a2b4、多項式：幾個單項式的和叫多項式。多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。5、多項式的項及次數(shù)：組成多項式中的單項式叫多項式的項,特別注意，多項式的次數(shù)不是組成多項式的所有字母指數(shù)和！練習：指出下列多項式的次數(shù)及項。多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。2x3y2z3 4 -ab,32xy5m5n26、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱整式。特別注意，分母含有字母的代數(shù)式不是整式，即單項式和多項式的分母都不能含有字母。二、整式的運算（一）整式的加減法基本步驟：去括號，合并同類項。特別注意：1.整式的加減實質(zhì)上就是去括號后，合并同類項，運算結果是一個多項式或是單項式 ^2.括號前面是”號，去括號時，括號內(nèi)各項要變號，一個數(shù)與多項式相乘時，這個數(shù)與括號內(nèi)各項都要相乘.(二)整式的乘法1、同底數(shù)的哥相乘法則：同底數(shù)的哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。數(shù)學符號表示：am?anamn(其中m、n為正整數(shù))練習：判斷下列各式是否正確。a3?a32a3,b4b4b8,m2m22m2(x)3?(x)2?(x)(x)6x6特別注意，公式還可以逆用： amnam?an(m、n均為正整數(shù))2、哥的乘方法則：哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。數(shù)學符號表示：(am)namn(其中m、n為正整數(shù))[(am)n]pamnp(其中m、n、P為正整數(shù))練習：判斷下列各式是否正確。(a4)4a44a8,[(b2)3]4b234b24(x2)2n1x4n2,(a4)m(am)4(a2m)2特別注意，公式還可以逆用：amn(am)n(an)m,amnp[(am)n]p(m、n均為正整數(shù))3、積的乘方法則：積的乘方，先把積中各因式分別乘方，再把所得的哥相乘。(即等于積中各因式乘方的積。)符號表示：(ab)nanbn,(其中n為正整數(shù))，(abc)nanbncn(其中n為正整數(shù))練習：計算下列各式。(2xyz)4,(1-a2b)3,( 2xy2)3,(a3b2)32特別注意，公式還可以逆用： an?bn(ab)n,an?bn?cn(abc)n,(其中n為正整數(shù))4、同底數(shù)的哥相除法則：同底數(shù)的哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。數(shù)學符號表示：amanamn(其中m、n為正整數(shù))ap工(a0,p為正整數(shù))paa01(a0)判斷：TOC\o"1-5"\h\z6 3 63 2 2\o"CurrentDocument"aaaa,10 20,/40 5 3 2(-) 1,(m)(m)m5練習：計算1 2c3/1、1 2003,010 (0.1) 2 (-) [(2)]2m、2m.2.2 2、mnm(2) 2,(x)(x?x),aa5、單項式乘以單項式法則：單項式乘以單項式，把它們的系數(shù)、相同字母的哥分別相乘，其余的字母則連同它的指數(shù)不變，作為積的一個因式。單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運用同底數(shù)的乘法法則；③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。練習：計算下列各式。(1)(5x3)(2x2y),(2)(3ab)2(4b3)(3)(am)2b(a3b2n),(4)(2a2bc3)(4c5)(3ab2c)6、單項式乘以多項式法則：單項式乘以多項式，就是根據(jù)乘法分配律用單項式的去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；③在混合運算時，要注意運算順序。7、多項式乘以多項式法則：多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原兩個多項式項數(shù)的積；②多項式相乘的結果應注意合并同類項；練習：1、計算下列各式。(1)(2a)(x2y3c),(2)(x2)(y3)(x1)(y2)1⑶(xy)(2x2y)8、平方差公式法則：兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩數(shù)的平方差。數(shù)學符號表示：2 2(ab)(ab)ab其中a,b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式.說明：平方差公式是根據(jù)多項式乘以多項式得到的，它是兩個數(shù)的和與同樣的兩個數(shù)的差的積的形式。其結構特征是：①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數(shù)；②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。9、完全平方公式TOC\o"1-5"\h\z法則：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和再加上(或減去)這兩數(shù)積的 2倍?？跊Q：首平方，尾平方， 2倍乘積在中央。數(shù)學符號表示：2 2_ 2(a b) a 2ab b ;2 2_ 2(a b) a 2ab b其中a,b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式.一一 2 2 2即:(ab)a2abb結構特征：①公式左邊是二項式的完全平方；②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的 2倍。特別說明：完全平方公式是根據(jù)乘方的意義和多項式乘法法則得到的，因此(ab)2a2b2/ 2 2 2 2 2(a b) (a b)(a b) a ab ab b a 2ab b(a b)2 (a b)(a b) a2 ab ab b2 a2 2ab b2練習：1、判斷下列式子是否正確，并說明理由。― ― 2_2⑴(x2y)(x2y)x2y,2 2 2⑵(2a5b)24a225b2,1 2 12(3)(—x1)2—x2x1,2 4⑷無論是平方差公式，還是完全平方公式，a,b只能表示一切有理數(shù).2、計算下列式。(1)(6xy)(6xy)(2)(x4y)(x9y)(3)(3x7y)(3x7y)(4)(x3y2z)(x3y2z)⑸(x3y2z)(x3y2z)(6)199.92(7)20012199923、簡答下列各題：(1)已知a2」25,求(a工)2的值.a a⑵若xy22,x2y2 1,求xy的值.(3)如果(mn)2zm22mnn2,則z應為多少？(三)整式的除法1、單項式除以單項式法則：單項式除以單項式，把它們的系數(shù)、相同字母的哥分別相除后，作為商的一個因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。2、多項式除以單項式法則：多項式除以單項式，就是多項式的每一項去除單項式，再把所得的商相加。練習：計算下列各題。1C1)( a6b4c)(2a3c)45 1 2(2)6(ab)5[-(ab)2]3(3)(5x2y34x3y26x)(6x)13m2n2m12 32m13 2m12、⑷/xyxyxy)(0.5xy)3 4《整式的運算》一、知識點：1、只有數(shù)與字母的的代數(shù)式叫做單項式（單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式） ；幾個單項式的和叫做多項式；單項式和多項式統(tǒng)稱整式。下列代數(shù)式中，單項式共有個，多項式共有個。212 2 3； 1/ 、 1/ x1xya,5a b,2,ab,—（xy）,（ab）,a, , 3 4 a 2 72、一個單項式中，所有的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)；一個多項式中，次數(shù)的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。（單獨一個非零數(shù)的次數(shù)是0）23斗亍I、xyz,次數(shù)是;（2）兀的次數(shù)是,次數(shù)是;（2）兀的次數(shù)是2（3）3ab2c2a2bab2是單項式和，次數(shù)最高的項是,它是次項式，二次項是,常數(shù)項是.3、同底數(shù)哥的乘法，底數(shù),指數(shù)。即：aman（m,n都是正整數(shù)）。5 6填空：(1) 35 36(2)b2mbm145 6填空：(1) 35 36(2)b2mbm14、哥的乘方，底數(shù)o即:（m,n都是正整數(shù)）。,,、 _32填空：（1）2355b2n13x5、積的乘方等于每一個因數(shù)乘方的積。即:nab（n是正整數(shù)）2填空：（1）3x32b412xy6、同底數(shù)哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即:6、同底數(shù)哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即:n（a0,m,n都是正整數(shù)，且m>n）,零指數(shù):a0,（a0）；負指數(shù)a零指數(shù):a0,（a0）；負指數(shù)ap0,p是正整數(shù)）.填空：①- 4②xyxy3.147、整式的乘法：（1）單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的哥分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為2 1積的因式。如：2xyz-xy

(2)單項式與多項式相乘：4ab2ab23a2b=(3)多項式與多項式相乘：2xyx2y8、平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。即:公式逆用：a2b2計算：①58x58x②3xy3xy,③37.5217.529、完全平方公式：ab2a公式逆用：a2b2計算：①58x58x②3xy3xy,③37.5217.529、完全平方公式：ab2a22abb2a22abb2o公式變形：①a2b2(ab)2公式推廣：①ab計算：①2x4… _ 2mn2ax22x1⑤(xy)2(xy)22 2、(xy)(xy)(xy)⑥(4y3x5z)(3x4y5z)10、整式的除法：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。如：(1)10a4b3c5a3b ；⑵3x3y2 xy ；多項式除以單項式，如:18a2b10b22b二、鞏固練習：1、選擇題：(1)下列敘述中，正確的是( )、，一. 2B、a、兀、0、22都是單項式B、a、兀、0、22都是單項式C、多項式3a3b22a1是六次三項式D、mnn 是二2.次二項式(2)減去3x等于5x25的代數(shù)式是()一2一 _A、5x6x52B、5x3x5C、55x22D、5x6x5.. 3 5(3)計算(610)(810)的結果是()9A、4810一 一9B、4.810C、一 一94.810一 一15D、48102(4)如果多項式xmx9是一個完全平方式,則m的值是(：)A、±3B、3C、士6D、6(5)如果多項式x28xk是一個完全平方式，則k的值是()A、一4B、4C、—16D、162、計算：3 3 3(1)aa 2a2 23a(2)2x3y2x3y 2x3yxyzxyz

9(x+2)(x—2)—(3x—2)223 2 4⑸x3xx2x2

_ 2 _ 2(6)2ab2ab3、運用整式乘法公式進行計算:99101999912399101999912321221184、解答題：2(1)解萬程：x1x2x215(2)化簡求值:xy(2)化簡求值:xy2xy22x2y24xy,其中x10,y125(3)(3)若xy6,xy3,求x2y2的值。(4)計算圖中陰影部分的面積。

BB卷練習題TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2X X1化簡：x 3 - 3 =2 22.已知,x、y是非零數(shù)，如果個一5,則31\o"CurrentDocument"xy xy2 ,2 4 ,43'abababab.一■ 1 ?4、乘積一■ 1 ?4、乘積1 21221321 21——2等于1999 20005、下列各圖中，每個正