第四章 根軌跡法

自動(dòng)控制理論方煒安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第四章根軌跡法本章的主要內(nèi)容12廣義根軌跡3滯后系統(tǒng)的根軌跡4根軌跡的基本概念繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能5安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）決定，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的基本特性也與閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的分布有密切的關(guān)系。

伊凡思(W.R.Evans)提出了一種在復(fù)平面上由開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn)的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個(gè)參數(shù)（比如開(kāi)環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關(guān)系表示在一張圖上。

高階系統(tǒng)特征根的求取比較困難，從而限制了時(shí)域分析法在二階以上系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院4-1根軌跡的基本概念[根軌跡定義]：

系統(tǒng)中某參量變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點(diǎn))在s平面上運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[討論]：①當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2,

是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)②當(dāng)K=0.32時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6③當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=-1,s2=-1④當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當(dāng)K=5時(shí)，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j特征根為：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性考察根軌跡是否進(jìn)入右半s平面。穩(wěn)態(tài)性能開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是系統(tǒng)的型號(hào)。根軌跡上的K值就是開(kāi)環(huán)增益。（通常根軌跡增益與開(kāi)環(huán)增益不同，但有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系）動(dòng)態(tài)性能由K值所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布來(lái)估計(jì)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院根軌跡可以很直觀地表示出當(dāng)參數(shù)K變化時(shí)閉環(huán)特征根的變化，反映出參數(shù)K對(duì)系統(tǒng)性能的影響；

也可以很方便地確定滿足系統(tǒng)性能要求的K值。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：-閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程式為：凡是滿足該方程的s值，就是系統(tǒng)的特征根，或者說(shuō)是根軌跡上的點(diǎn)。

所以該方程也稱為根軌跡方程。4-2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則一、根軌跡繪制條件安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院把上式改寫(xiě)為：為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。因?yàn)閟是復(fù)數(shù)，所以G(s)H(s)也是復(fù)數(shù)，需滿足幅值和幅角（相角）兩方面的條件，即：1.幅值條件：2.相角條件：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院為了把幅值條件和相角條件寫(xiě)成更具體的形式，把開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)成如下形式：∴幅值條件：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院∴相角條件：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院相角條件：幅值條件：

可見(jiàn)，幅值條件與Kg有關(guān)，相角條件與Kg無(wú)關(guān)。

因此，把滿足相角條件的s值代入到幅值條件中，一定能求得一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的Kg值。即凡是滿足相角條件的點(diǎn)必然也同時(shí)滿足幅值條件；反之，滿足幅值條件的點(diǎn)未必都滿足相角條件。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院根軌跡就是s平面上滿足相角條件的點(diǎn)的集合。

通常根據(jù)相角條件繪制根軌跡；用幅值條件確定根軌跡上某些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。

安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院二、繪制根軌跡的基本規(guī)則下面介紹以Kg為參變量時(shí)繪制根軌跡的基本規(guī)則。（Kg從0變化到+∞）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其根必為實(shí)根或共軛復(fù)根。因此根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。1、根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益Kg的函數(shù)。當(dāng)Kg從0到無(wú)窮變化時(shí)，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院根軌跡方程為：時(shí)為起點(diǎn)，時(shí)為終點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，只有時(shí)，上式才能成立，所以根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。2、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。

n階系統(tǒng)有n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，分別是n支根軌跡的起點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

我們稱系統(tǒng)有n-m個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)。有限值零點(diǎn)加無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)時(shí)，①，上式成立。是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點(diǎn)，有m個(gè)。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點(diǎn)在m個(gè)有限零點(diǎn)處。②若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里呢？在無(wú)窮遠(yuǎn)處。由根軌跡方程知：當(dāng)時(shí)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

n階特征方程有n個(gè)根。當(dāng)Kg從0到無(wú)窮大變化時(shí)，n個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階次。3、實(shí)軸上的根軌跡：

實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[例]設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求實(shí)軸上的根軌跡。[解]：零極點(diǎn)分布如下：紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院4、根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個(gè)內(nèi)容：漸近線的傾角（漸近線與實(shí)軸的夾角）和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。

傾角：設(shè)根軌跡在無(wú)限遠(yuǎn)處有一點(diǎn)，則s平面上所有的開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[例]系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡支數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和傾角。

[解]：根軌跡有3支。

起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)無(wú)有限值零點(diǎn)，所以三支根軌跡都趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的傾角：零極點(diǎn)分布和漸近線（紅線）如圖所示。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院5、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開(kāi)，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，A點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)，B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法]：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函：可由確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)0根軌跡方程：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

注意：上式只是確定分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的必要條件，求出的解是否實(shí)際的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，還需進(jìn)一步判斷。根據(jù)相應(yīng)的規(guī)則判斷求出的點(diǎn)是否在根軌跡上。

求出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益，若增益為大于零的實(shí)數(shù)，則所求出的點(diǎn)為分離會(huì)合點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[例]單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實(shí)軸上根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的位置。實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：顯然，-0.4725為分離點(diǎn)，而-3.5275不是分離回合點(diǎn)。[解]：閉環(huán)特征方程為：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院6、根軌跡的出射角和入射角根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)極點(diǎn)的切線與實(shí)軸正方向的夾角稱為出射角；根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)零點(diǎn)的切線與實(shí)軸正方向的夾角稱為入射角。在復(fù)數(shù)極點(diǎn)-pl

處的出射角為：——所有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)指向極點(diǎn)-pl矢量的相角之和?！?pl之外的其余開(kāi)環(huán)極點(diǎn)指向極點(diǎn)-pl

矢量的相角之和。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院在復(fù)數(shù)零點(diǎn)-zl

處的入射角為：——所有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)指向零點(diǎn)-zl矢量的相角之和?！?zl之外的其余開(kāi)環(huán)零點(diǎn)指向零點(diǎn)-zl矢量的相角之和。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[例]如圖，試確定根軌跡離開(kāi)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的出射角。[解]：根據(jù)對(duì)稱性，可知點(diǎn)的出射角為：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院7、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)：根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益稱為臨界根軌跡增益。

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實(shí)、虛部為零即可求和

。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。交點(diǎn)和

的求法：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院方法一：用勞斯判據(jù)[例]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和。

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯表：勞斯表中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。令，得臨界增益為：共軛虛根為輔助方程

的根，安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院方法二：將代入得：當(dāng)時(shí)，為根軌跡的起點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）當(dāng)

時(shí)，，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院8、特征根之和閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

，即：比較上面各式得：

當(dāng)n-m≥2時(shí)，

，即：對(duì)于任意的

，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)

變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)（變大），則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)（變?。０不展I(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院根軌跡繪制舉例例1.具有一個(gè)零點(diǎn)和3個(gè)實(shí)極點(diǎn)的三階系統(tǒng)的根軌跡。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：解：把開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點(diǎn)形式安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院1.根軌跡有3條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0、0、-1/T，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-1/τ及無(wú)窮遠(yuǎn)處。02.根軌跡在實(shí)軸上的分布為[-1/T，-1/τ]。3.根軌跡有n-m=2條漸近線，安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院例2.具有一對(duì)開(kāi)環(huán)復(fù)根和一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)的四階系統(tǒng)的根軌跡。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：解：1.根軌跡有4條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0、-3、-1+j、-1-j，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-2及無(wú)窮遠(yuǎn)處。2.根軌跡在實(shí)軸上的分布為(-∞,-3]和[-2，0]。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院3.根軌跡有n-m=3條漸近線，4.極點(diǎn)-1+j的出射角為-26.6o

極點(diǎn)-1-j的出射角為+26.6o安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院5.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)特征方程為把s=jω代入上式可解得即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，相應(yīng)的根軌跡增益為Kgc=7。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院4-3廣義根軌跡其它種類的根軌跡:

3.正反饋回路和零度根軌跡

2.多回路系統(tǒng)的根軌跡1.參數(shù)根軌跡安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)特征根的影響。比如，特殊的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。

除Kg以外的其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參數(shù)根軌跡。

繪制方法：用特征方程中不含可變參數(shù)的部分去除特征方程，得到等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，使參變量的位置與Kg的位置相當(dāng)。一、參數(shù)根軌跡安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院例1.一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數(shù)Kf

對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。解：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為-特征方程為安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院等效開(kāi)環(huán)傳函1.根軌跡有兩條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-1+j3、-1-j3

，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)0及無(wú)窮遠(yuǎn)處。2.根軌跡在實(shí)軸上的分布為(-∞,0]。03.求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。s1=-3.16為會(huì)合點(diǎn)，相應(yīng)的Kf

=0.432s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。Kf

=0.432安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院4.求極點(diǎn)p1=–1+j3處的出射角由對(duì)稱性可知p2=-1-j3處的出射角為以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。0Kf

=0.432等效開(kāi)環(huán)傳函安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為分析：Kf為任何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。0Kf

=0.432當(dāng)Kf<0.432時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)根，階躍響應(yīng)為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越小；當(dāng)Kf=0.432時(shí)，系統(tǒng)有二重根，階躍響應(yīng)為臨界阻尼情況；當(dāng)Kf

>0.432時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，階躍響應(yīng)為過(guò)阻尼情況。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為分析：0Kf=0.432用幅值條件可求得相應(yīng)的Kf

值。求時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)及Kf

值。作的射線與根軌跡的交點(diǎn)即為所求閉環(huán)極點(diǎn)。AB安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院[例]系統(tǒng)如下。試?yán)L制Kg和p分別從零變化到無(wú)窮大時(shí)的根軌跡。-[解]：有兩種方法：

取Kg為不同值時(shí)，繪制參量p從零變化到無(wú)窮大時(shí)的參量根軌跡。這時(shí)，根軌跡方程為：

Kg不同時(shí)的根軌跡如下頁(yè)所示：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

取p為不同值時(shí)，繪制參量Kg從零變化到無(wú)窮大時(shí)的根軌跡。這時(shí)，根軌跡方程為：

Kg不同時(shí)的根軌跡如右所示：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院二、多回路系統(tǒng)的根軌跡根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程以α為參數(shù)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院研究以Kc

為變量的根軌跡系統(tǒng)有兩個(gè)環(huán)，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)就是外環(huán)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)??！1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖內(nèi)環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)要求內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù)

3.2<Kf<3.5內(nèi)環(huán)的特征方程可選Kf

=3.36,則求得內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)為3)繪制外環(huán)的根軌跡圖外環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程三、正反饋回路和零度根軌跡安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院幅值條件相角條件特征方程對(duì)于正反饋回路：相角條件為，因此通常也稱為零度根軌跡。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院繪制正反饋回路根軌跡的基本規(guī)則：（1）根軌跡的分支數(shù)(相同)（2）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(相同)（3）根軌跡的對(duì)稱性(相同)（4）實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。（5）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同)根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院（6）根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)(相同)（7）根軌跡的出射角和入射角（8）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)（9）閉環(huán)極點(diǎn)的和(相同)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院例：控制系統(tǒng)方框圖如下所示系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。解：（1）內(nèi)環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（3）實(shí)軸上的根軌跡（2）根軌跡的起點(diǎn)0，-1，-3終點(diǎn)均為∞

安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院（4）根軌跡的漸近線（6）根軌跡的分離點(diǎn)特征方程安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院在自動(dòng)控制系統(tǒng)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)純時(shí)間滯后現(xiàn)象滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)帶來(lái)不利的影響。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程這是一個(gè)超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個(gè)，而是無(wú)限多個(gè)，這是滯后系統(tǒng)的重要特征。4-4滯后系統(tǒng)的根軌跡安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院滯后系統(tǒng)根軌跡繪制條件滯后系統(tǒng)根軌跡方程滯后系統(tǒng)特征方程安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院幅值條件相角條件滯后系統(tǒng)根軌跡方程安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則：（3）實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開(kāi)環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。（1）滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對(duì)稱于實(shí)軸（2）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院（4）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線有無(wú)數(shù)條，且平行于實(shí)軸根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點(diǎn)為（5）根軌跡的分離點(diǎn)：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院（6）根軌跡的出射角和入射角：（7）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院例：設(shè)滯后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。解：系統(tǒng)特征方程為繪制根軌跡的相角條件為（1）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)-

p1=-1,σ=-∞終點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院（2）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-1]（3）根軌跡的漸近線平行于實(shí)軸并與虛軸交于（4）令k=0畫(huà)出主根軌跡k=0的根軌跡，稱為主根軌跡k=1、2、…的根軌跡，稱為輔助根軌跡作圖方法安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響,如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益較大,即使原來(lái)為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。說(shuō)明：1、以近似式畫(huà)出的根軌跡圖與主根軌跡近似。2、當(dāng)開(kāi)環(huán)增益較大時(shí)，近似方法誤差很大。近似方法：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院4-5利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能一、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與暫態(tài)響應(yīng)的定性關(guān)系

對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)要穩(wěn)定；暫態(tài)過(guò)程的快速性、平穩(wěn)性要好；穩(wěn)態(tài)誤差要小。閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系為：

1.要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于s平面左半平面。

2.如果閉環(huán)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)，且無(wú)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時(shí)間取決于距離虛軸最近的極點(diǎn)，若其它極點(diǎn)距離虛軸的距離比最近極點(diǎn)的距離大5倍以上，可以忽略不計(jì)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

3.如果系統(tǒng)具有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率并與其它極點(diǎn)接近原點(diǎn)的程度有關(guān)，調(diào)整時(shí)間主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

4.如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。偶極子的位置距離原點(diǎn)非常近時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會(huì)影響閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的主導(dǎo)作用。偶極子的位置距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。

單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)相同，在設(shè)計(jì)時(shí)可以有意識(shí)地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，以抵消對(duì)暫態(tài)過(guò)程影響較大的不利的極點(diǎn)，使系統(tǒng)的暫態(tài)性能得到改善。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院

5.除主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)外的其它實(shí)數(shù)極點(diǎn)的存在會(huì)增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院例.系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：解：該系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比時(shí)的性能指標(biāo)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院分離點(diǎn)：與虛軸的交點(diǎn)：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院用幅值條件可求得相應(yīng)的Kg值。求時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)及Kg值。作的射線與根軌跡的交點(diǎn)即為所求閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)特征根之和的性質(zhì)，可求得第3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院超調(diào)量主導(dǎo)極點(diǎn)閉環(huán)特征方程為與典型二階系統(tǒng)相比較調(diào)整時(shí)間安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院二、附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響漸近線與實(shí)軸傾角隨著m