材料力學(xué)劉馮文第五版 附錄1-幾何性質(zhì)

附錄平面圖形的幾何性質(zhì)11.靜矩與形心2.慣性矩,極慣性矩和慣性積3.平行移軸公式,轉(zhuǎn)軸公式靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、形心主慣性軸本章重點關(guān)鍵概念2目錄

§-1靜矩和形心§I-2極慣性矩·慣性矩·慣性積§-3平行移軸公式§-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩。3重心位置的確定由合力矩定理分別為微元體的質(zhì)量和物體的總質(zhì)量，

g為重力加速度。則有：設(shè)：其中物體質(zhì)心坐標(biāo)的一般計算公式。P4§-1靜矩和形心一.基本概念1.靜矩

(或一次矩)OxdAyyxC—

微面積對y

軸的靜矩—微面積對x軸的靜矩—整個平面圖形對y軸的靜矩—整個平面圖形對x軸的靜矩對等厚薄板對均質(zhì)物體52.形心坐標(biāo)公式常用單位:m3

或

mm3。數(shù)值:可為正、負或

0。3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系推論:截面對形心軸的靜矩恒為零。反之,截面對某軸的靜矩為零,則此軸一定過形心,是形心軸。61.組合截面的靜矩根據(jù)靜矩的定義:

整個平面圖形對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和,即：二.討論：2.組合截面的形心坐標(biāo)公式式中：分別是第i個簡單圖形的形心坐標(biāo)和面積7§I-2極慣性矩·慣性矩·慣性積1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）所以O(shè)xyyxrdA即截面對一點的極慣性矩,等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和?？芍?，，均為正83.慣性積（其值可為正、為負或為零)結(jié)論：截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為零。4.慣性半徑（單位:長度的一次方）OxyyxrdA回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）

或9例：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）

x和y的慣性矩。解：取平行于x軸的狹長條則

dA=bdy同理yhCxdyyb思考題I：平行四邊形對形心軸x

的慣性矩應(yīng)怎樣計算？10§-3平行移軸公式1.平行移軸公式推導(dǎo)圖示面積為A

的任意形狀的平面，c為其形心,xc,

yc為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為x，y,形心c在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)。任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx11同理,有：注：式中的

a、b

代表形心位置坐標(biāo)值,有時可能取負值。12§-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩一.轉(zhuǎn)軸公式新坐標(biāo)系ox1y1舊坐標(biāo)系oxy

將上述關(guān)系代入平面圖形對

x1軸的慣性矩：yxyxOaay1x1BCDEy1x1AdA13

利用三角函數(shù)整理上式,得轉(zhuǎn)軸公式：同理得：規(guī)定:上式中的

的符號為:逆時針為正,順時針為負。14即:截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù),并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩。將上述轉(zhuǎn)軸公式中的前兩式相加可得：討論：從慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可推知,隨著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),慣性積將隨著

角作周期性變化,且有正有負。因此,必有一特定的角度

0

,使截面對與該角對應(yīng)的新坐標(biāo)軸

x0、y0

的慣性積為零。依此進行如下定義：二.截面的主慣性軸和主慣性矩151.主慣性軸:當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸

y0、z0

的則坐標(biāo)軸

y0、z0

稱為主慣性軸。推論:具有一個或兩個對稱軸的正交坐標(biāo)軸一定是

平面圖形的主慣性軸。2.

主慣性矩:

平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。

3.

形心主慣性軸:

過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸?？梢宰C明:任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。4.形心主慣性矩:平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。=0時,163.主慣性軸位置的確定設(shè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動角度為0,則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及

主慣性軸的定義,得：經(jīng)整理,得4.主慣性矩的確定

由上面

tan20

的表達式求出cos20、sin20

后,再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式,化簡后可得主慣性矩的計算公式如下：17結(jié)論：1.若截面有一根對稱軸,則此軸即為形心主慣性軸之