2020年高考數(shù)學(xué)北京卷

2020年普通高等學(xué)校生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)答案解析一、選擇題1.【答案】D【解析】AB{故選D.【考點(diǎn)】集合交集概念【考查能力】分析求解2.【答案】【解析】由題意得z2i，∴i.故選：.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)幾何意義，復(fù)數(shù)乘法法則【考查能力】基本分析求解3.【答案】【解析】

x展式的通項(xiàng)公式為：Tr

r

r

，令

52

可得：r，x

的系數(shù)為：

故選：.【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式4.【答案】D【解析】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為的邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長為2的方，則其表面積為：S260故選：.5.【答案】A

.【解析】設(shè)圓心C

，化簡得

所以圓心C的軌跡是以M1為徑的圓，1/

所以|OC|OM3

，以|OC|≥，當(dāng)且僅當(dāng)C線段OM上時(shí)取得等號(hào)，故選：.【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6.【答案】D【解析】因?yàn)閒

，以f

＞，在同一直角坐標(biāo)系中作出

和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為不等式2x解為0或.所以不等式故選：.【考點(diǎn)】圖象法解不等式7.【答案】【解析】如圖所示：．2/

k因?yàn)榫€段FQ的直平分線上的點(diǎn)到，的距離等又點(diǎn)在物線上根據(jù)定義可知，PQ，所以線段FQ的直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.k故選：.【考點(diǎn)】拋物線的定義的應(yīng)用8.【答案】【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差d

a，5則其通項(xiàng)公式為：注意到a＜＜0＜12467且由T＜可知＜5i

，由ii

1N項(xiàng)，in由于，a，，aa1故數(shù)列有有限項(xiàng)：63，63.24故數(shù)列項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想9.【答案】【解析）當(dāng)存在Z使

πk

時(shí)，若為數(shù)，則sin

；若為數(shù)，則

sin

sin

π

sin

；（）當(dāng)sinsin時(shí)，或π，Z，即ππ亦即存在使

．所以，“存在kΖ使得

k

”是“的充要條件故選：.3/

則πnsin【考點(diǎn)】充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用10.【案A則πnsin【解析】單位圓內(nèi)接正n邊的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓周角為

36030，條邊長2sin，n所以，單位圓的內(nèi)接正n邊的周長為12nsin

30

，單位圓的外切正邊的每條邊長為

，其周長為，2

30nsintan，n3030n故選：.

.【考點(diǎn)】圓周率

的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正n邊形和外切正6n邊的周長【考查能力】計(jì)算二、填空題.【答案】(0,【解析】由題意得，xx故答案為：【考點(diǎn)】函數(shù)定義域【考查能力】基本分析求解12.【案】3【解析】在雙曲線中a6

，

，則a則雙曲線C右焦點(diǎn)坐標(biāo)為雙曲線C的近線方程為y

22

，，.所以，雙曲線C的點(diǎn)到其漸近線的距離為故答案為：

12

3

.【考點(diǎn)】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線的距離4/

【考查能力】計(jì)算13.【案】5【解析】以點(diǎn)A坐標(biāo)原點(diǎn)，、AD所直線分別為、軸立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)AP

1AB2,02,22,1，2則點(diǎn)

，PB

，因此，PD

5，PB

故答案為：5

；【考點(diǎn)】平面向量的模，數(shù)量積的計(jì)算，平面直角坐標(biāo)系【考查能力】計(jì)算ππ14.【案】（kkZ均可）【解析】因?yàn)閒

2

所以2

，解得，可取

.ππ故答案為：（kZ均）2【考點(diǎn)】兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，平方關(guān)系的應(yīng)用【考查能力】數(shù)學(xué)運(yùn)算15.【案】①②③【解析】

f((a)

表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在

內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能比5/

乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在2

間中，甲企業(yè)在

內(nèi)，甲的斜率最小，相反數(shù)最大，即在

理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；在時(shí)刻甲線的斜率比乙的小所以甲線的斜率的相反數(shù)比乙的大甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在t時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③確；3故答案為：①②③【考點(diǎn)】斜率應(yīng)用，切線斜率應(yīng)用，函數(shù)圖象應(yīng)用【考查能力】基本分析識(shí)別能力三、解答題16.【案）證明見解析（Ⅱ）

23

.【解析）下圖所示：在正方體中AB∥B且B，ACD且AB，111111111111∴∥C且D，以，四邊形為行四邊形，則BCAD，11111111∵BC平ADE，AD平面ADE，∴平E111（Ⅱ以為標(biāo)原點(diǎn)，AD、、AA所直線分別為x、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系1xyz，6/

11設(shè)正方體的長為則1111

，AE設(shè)平面AD的向量為1

,

，由

n，n

22

，令z，則cos1

1AA1

.因此，直線AA與平面ADE所角的正弦值為11

.【考點(diǎn)】線面平行的證明，利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成角的正弦值【考查能力】計(jì)算17.【案】選擇條件①（Ⅰ（Ⅱ）

32

,

S

；選擇條件②（Ⅰ（Ⅱ）sin

7,S.44【解析】選擇條件①（Ⅰ∵c，cosA，∵22，∴∴a（Ⅱ），)

，sinA

A

437由正弦定理得：

csinAsinC

，

843C

，sinC

32711S113222選擇條件②（ⅠcosA，cos16

，A，7/

32sin32

2

A

3757，B1B816由正弦定理得：

ab11，∴AsinB7816

，（Ⅱ）sinCcosBsincosA17SbaC1124【考點(diǎn)】正弦定理，余弦定理，三角形面積公式【考查能力】基本分析求解

379781618.【案）該校男生支持案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為

（Ⅱ）

（Ⅲ）p＜1

01【解析）校男生支持方案一的概率為，3該校女生支持方案一的概率為

3；（Ⅱ3人恰有2人持方案分兩種情況僅兩個(gè)男生支持方案一僅有一個(gè)男生持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人恰有2人持方案一概率為：（Ⅲ）＜p10

2

1；44【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率，獨(dú)立事件概率乘法公式【考查能力】基本分析求解19.【案）2（Ⅱ）【解析）為以f設(shè)切點(diǎn)為

x,12，，以切點(diǎn)為000由點(diǎn)斜式可得切線方程為：y（Ⅱ）顯然t因?yàn)閥f：y

，8/

t1212t1212，令，得，，得x所以S2t|

t

2

t

，不妨設(shè)t0（t＜時(shí)，結(jié)果一樣）時(shí)，則S

t

t1t3tt4

t

，所以S

t4

144t

3t2

3t2

3t2

，由S，所以所以時(shí)S

取得極小值，也是最小值為S

8

32.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值20.【案）（Ⅱ）

2【解析）設(shè)橢圓方程為：

2ya＞＞0，由題意可得：b2

b2

，解得：，b22故橢圓方程為：.2（）My1

，直線的方程為：與橢圓方程

聯(lián)可得：x2k2即：則：12

k2k，xx4k29/

y11PQ122132*直線MA的程為：yy11PQ122132*xyk令x可得：xxx1111

，同理可得：yQ

2x2

.PBy，注意到：很明顯yy且：PPQyxyk2x1212而：2212

，

6424k

k2

2

4k2

2

2

，故，y.PQQPB從而PPQy

.【考點(diǎn)】解決直線與橢圓的綜合問題a921.【案）∵Z，不有性質(zhì)①；a2（Ⅱ）j，i＞

a，ia

2j

a，ijN*，∴ia

2j

2i

，①∵N

*

，

a2，l，al

(2k)

，②n（Ⅲ法】首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然*中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)Na第一種情況：若，＜＜a＜a＜＜0013

，10/

mm210Nka2mm210Nk由①可知：存在，滿足a2＜，在m，滿足a3aa

0，a22由N可知2aa1

，從而a，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成.2第二種情況：若≥2，①知存在實(shí)數(shù)m，足a0

aa1

0

，由N的義可知：m≥N，00另一方面，

aNa

＞

aa

NN

，數(shù)列的單調(diào)性可知：＞N，N這與N的定義矛盾，假設(shè)不成立0同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)a2：其次，證明a2aa2利用性質(zhì)②：取，時(shí)aal由數(shù)列的單調(diào)性可知＞，l

，而a

l

＞，故k3a2此時(shí)必有，l，即2a

，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列

k列不妨設(shè)aqs

s

其中a，＜0，＜q的況類似）1由①可得：存在整數(shù)m，足am

akak

q

k

＞a，且qkm

k

≥k

（）a2a由②得：存在＞t，足：asatt

＞，數(shù)列的單調(diào)性可知：t＜≤k

，由qs

s

k

a2at

q

sq（）k11/13

mk由（）和（）式可得：aqmk

k

≥q

saqk結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：2k，注意到，t

，k均整數(shù)，故k，代入（），從而k

q

k

.總上可得，數(shù)列

的通項(xiàng)公式為：

n.即數(shù)列

為等比數(shù)列【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：a2首先利用性質(zhì)②：取，此時(shí)akal由數(shù)列的單調(diào)性可知a＞0，l

，而a

kl

＞ak

，故k3，a2此時(shí)必有，l，即a2a

，即a，a，成等比數(shù)列，不妨設(shè)aq，21213aaq4然后利用性質(zhì)①：取i，j，a3aq1

q

，即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為a

，下面我們來證明aq1

，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知aq3

，aa在性質(zhì)②中，取n則aall

＞a，而＜，k與前面類似的可知?jiǎng)t存在

a2，滿足k，ala2若l，：al

q

，與假設(shè)矛盾；a2若l，：a