第10講-群體決策模型

第10講群體決策模型

【本節(jié)簡(jiǎn)介】

機(jī)制設(shè)計(jì)(Mechanismdesign)、社會(huì)選擇(Socialchoice)和博弈論(Gametheory)是現(xiàn)代社會(huì)科學(xué)家們研究“民主問題”的標(biāo)準(zhǔn)工具。

本節(jié)介紹社會(huì)選擇理論中的選舉問題數(shù)學(xué)模型——阿羅不可能定理，其中的公理化建模方法具有典型意義。

群體決策模型

群體決策：根據(jù)群體中每個(gè)成員的決策結(jié)果，綜合得出群體的決策結(jié)果。兩個(gè)關(guān)鍵因素：公平性標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)則。

n個(gè)選民:I={1,2,…,n

}

m個(gè)候選人:A={ａ1

,ａ2,

…,ａｍ}

Ｐi:選民i對(duì)候選人的一個(gè)排序；

P

：根據(jù)排序分布{Ｐ1

,Ｐ2,

…,Ｐn}及選舉規(guī)則確定的

對(duì)A中元素的群體排序結(jié)果。{Ｐ1,Ｐ2,

…,Ｐn}選舉規(guī)則P

對(duì)A的任何一個(gè)排序應(yīng)有如下性質(zhì)：＊三岐性：對(duì)一切x,y∈A，必有下列關(guān)系之一成立：

x<yx=yx>y＊傳遞性：對(duì)于x,y,z∈A

，若x≥y,y≥z，則有

x≥z.約定：（x>y）i—在

P

i中

x>y

（x>y）—在

P

中

x>y

1.簡(jiǎn)單多數(shù)規(guī)則（x>y）

使（x>y）i成立的i的個(gè)數(shù)大于n/2.

例1按簡(jiǎn)單多數(shù)規(guī)則將得到（x>y）

（y>z）

（z>x）.

——"投票悖論"（paradoxofvoting）

p1p2p3xyzyzxzxy

2.Borda數(shù)規(guī)則

記Bi

(x)為

Ｐi中劣于

x的元素的數(shù)目，定義

稱B(x)為

x的Borda數(shù)。

Borda數(shù)規(guī)則

（x>y）B(x)>B(y)

例2由于B(x)＝12<B(y)＝13，按Borda數(shù)規(guī)則應(yīng)有（y

>x）?p1p2p3p4xxxyyyyzzzzuuuuvvvvx

例3

（策略選舉與Borda數(shù)規(guī)則）

設(shè)有15個(gè)選民與3個(gè)候選人x、y、z，有意向表7人x>y>z；7人y>x>z；1人z>x>y

則B(x)=22，B(y)=21，B(z)=2，所以依據(jù)Borda數(shù)規(guī)則,最后投票結(jié)果為x>y>z.

以上稱為真誠(chéng)選舉或非策略選舉。如果支持y的7個(gè)選民采用策略選舉，不按照他們的真實(shí)意向投票，而改為y>z>x.

則B(x)=15，B(y)=21，B(z)=9，于是結(jié)果為y>x>z.

例4某學(xué)科排名榜，共四項(xiàng)指標(biāo)。甲校排名為：1，1，1，2；乙校排名為：2，2，3，1．綜合排名如何呢？乙校第一，甲校第二！按總分排名！規(guī)則的合理與否，會(huì)因解讀的角度不同而不同。

肯尼斯·阿羅（KennethJ.Arrow,1921-）●

美國(guó)著名數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家?！?/p>

1951年出版著名著作《社會(huì)選擇和個(gè)人價(jià)值》?！褡钪墓ぷ鳎骸鞍⒘_不可能定理”。●1972年榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

Arrow公理

公理1

（選舉的完全性）選民對(duì)候選人的任何一種排序都是允許的。

公理2（個(gè)體選擇與群體選擇的正相關(guān)性）如果對(duì)所有選民i，都有（x＞y）i

，那么，應(yīng)當(dāng)有（x＞y）。

此性質(zhì)又稱為Pareto效應(yīng)。

公理3

（無(wú)關(guān)候選人的獨(dú)立性，Independentofirreletivealternatives）設(shè)x，y是任意兩個(gè)候選人，若在兩次投票中，每個(gè)選民對(duì)x，y的相對(duì)排序都不變，那么在兩次選舉結(jié)果中，x，y的相對(duì)排序也應(yīng)不變。

公理4

（非獨(dú)裁性，

Non-dictatorial）

不存在這樣的選民i，使得

Arrow定理對(duì)于至少有三名候選人和兩名選民的投票，不存在滿足Arrow公理的選舉規(guī)則。

Arrow定理證明梗概。

引理1

若候選人y位于每一個(gè)Pi的首位或末位，則y

一定位于P的首位或末位。

引理2

對(duì)任一候選人y，存在關(guān)于y

的極端關(guān)鍵選民k，在改變Pk時(shí)，可以將y從排序的末位改變成首位。

引理3

設(shè)k是關(guān)于候選人y

的極端關(guān)鍵選民，則對(duì)于任一不含y

的候選人對(duì)子x、z，k是個(gè)獨(dú)裁者，即

（x>z）k

（x>z）.

引理4

對(duì)任一候選人x（≠y），上述關(guān)于y的極端關(guān)鍵選民k也是關(guān)于x與y的獨(dú)裁者。參見《選舉幾何學(xué)》，胡衛(wèi)群、盛立人等著，2011，科學(xué)出版社

引理1

若候選人y位于每一個(gè)Pi的首位或末位，則y一定位于P的首位或末位。

證明：設(shè)在一次投票P中，y位于每一個(gè)Pi的首位或末位，但在P中，y不在首位與末位，則存在候選人x，z，使得（x>y>z）

考慮另一次投票P*，在P*中，對(duì)每一選民i有

（z>x)i*,而關(guān)于其他候選人的位置與P相同。依Pareto效應(yīng)（公理2）有（z>x)*.

再比較P與P*，由于對(duì)于每一個(gè)選民i，y不是位于首位，就是位于末位，所以選民i關(guān)于x與y，以及z與y的相對(duì)順序在兩次投票中是相同的，故依據(jù)無(wú)關(guān)候選人的獨(dú)立性（公理3）應(yīng)有結(jié)論：

x與y，以及z與y在兩次投票中的相對(duì)順序是不變的。

而在P中有（x>y>z），所以，在P*中也應(yīng)有（x>y>z）*，從而（x>z）*，此與（z>x)*矛盾。所以原假設(shè)不真，即y一定位于P的首位或末位。

證畢阿羅的結(jié)論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個(gè)人意向、并且不依賴程序的多數(shù)規(guī)則的投票方案?；蛘哒f，不可能通過一定的程序準(zhǔn)確地表達(dá)社會(huì)全體成員的個(gè)人意向來(lái)達(dá)到合意的公共決策。完美無(wú)缺的程序民主不存在！一個(gè)社會(huì)不可能有完全的每個(gè)個(gè)人的自由——否則將導(dǎo)致獨(dú)裁；一個(gè)社會(huì)也不可能實(shí)現(xiàn)完全的自由經(jīng)濟(jì)——否則將導(dǎo)致壟斷。人們對(duì)社會(huì)的認(rèn)識(shí)由此達(dá)到一個(gè)新的高度!

對(duì)社會(huì)學(xué)他給出了一個(gè)普世價(jià)值，對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)他給出了一個(gè)理想平衡態(tài)，在數(shù)學(xué)上他給出了一個(gè)精美的應(yīng)用。

“人們一直以來(lái)都在謀求理想的民主制度，即完美的選舉制度……但Arrow卻證明要想尋找這樣一個(gè)完美的理想選舉方案是不可能的，歷史上不知有多少偉大的人物都在尋找這種完美民主，并留下記錄，但他們實(shí)際上都是在尋找一個(gè)邏輯上自相矛盾的怪物……。從Arrow以后關(guān)于民主的理論將完全改寫。”

——美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆爾森

阿馬蒂亞·森（AmartyaSen）——印度裔英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，1998年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者，解決“投票悖論”。

如果選舉滿足以下條件之一：（1）所有人同意某一項(xiàng)不是最佳；（2）所有人同意某一項(xiàng)不是次佳；（3）所有人同意某一項(xiàng)不是最差。則簡(jiǎn)單多數(shù)規(guī)則就是“最公平”的選舉規(guī)則。

薩利（Sarri）——芬蘭裔美國(guó)數(shù)學(xué)家，選舉幾何學(xué)

齊齊爾尼斯基（Chichilnisky）——阿根廷裔美國(guó)數(shù)學(xué)家，選舉拓?fù)淅碚撽P(guān)于排序，介紹一本2012年出版的著作：作者：AmyN.LangvilleandCarlD.Meyer《Who’s#1?——TheScienceofRatingandRanking》Arrow不可能定理Massey方法Colley方法Keener方法Elo方法Markov方法

……

如何排序，是科學(xué)，也是一種妥協(xié)。

本節(jié)小結(jié)：1.規(guī)則的合理性解讀可以有不同角度。2.選舉公平性的公理化描述。3.公理化建模方法的應(yīng)用。4.阿羅不可能定理：“絕對(duì)公平的選舉規(guī)則不存在”的社會(huì)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。

體育科學(xué)的研究中，也有大量的數(shù)學(xué)建模問題，例如：棒球的最佳擊球點(diǎn)問題，滑板滑雪賽道的設(shè)計(jì)，劃艇比賽中運(yùn)動(dòng)員的體力分配，NBA賽程的科學(xué)性評(píng)價(jià)，體操團(tuán)體賽出場(chǎng)隊(duì)員的最佳組合等等，本講重點(diǎn)介紹一個(gè)案例：越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽的排名規(guī)則，通過對(duì)排名規(guī)則的公平性的不同度量，可以得到不同的結(jié)果。【本節(jié)簡(jiǎn)介】

越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽競(jìng)賽規(guī)則的公平性

越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽競(jìng)賽規(guī)則的公平性

越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽的競(jìng)賽規(guī)則如下：每個(gè)參賽團(tuán)體由7名隊(duì)員組成，取該團(tuán)體跑在前面的5個(gè)隊(duì)員在所有參賽選手中的排名順序之和為該團(tuán)體的得分，然后根據(jù)各參賽隊(duì)得分（由小到大）的順序決定比賽排名（簡(jiǎn)稱5-2規(guī)則）。試討論該競(jìng)賽規(guī)則的合理性并提出改進(jìn)方案。

一、比賽公平性的幾個(gè)判斷準(zhǔn)則

A與B兩個(gè)隊(duì)的相對(duì)順序不應(yīng)當(dāng)依賴于任何其他隊(duì)的表現(xiàn)。

一個(gè)隊(duì)如果在與任一個(gè)隊(duì)的兩兩對(duì)決中獲勝，則這個(gè)隊(duì)?wèi)?yīng)當(dāng)是整個(gè)比賽的優(yōu)勝者。準(zhǔn)則一：二元獨(dú)立性（binaryindependence）準(zhǔn)則二：孔多塞準(zhǔn)則（CondorcetCriterion）

如果A隊(duì)是一次競(jìng)賽的獲勝者。假如在另一次競(jìng)賽中所有的參賽隊(duì)與選手都不變，A隊(duì)的一個(gè)選手a提高了名次，而除a之外的其他所有參賽選手之間的相對(duì)順序都不變，則A隊(duì)仍應(yīng)是獲勝者。如果A、B兩隊(duì)各有m個(gè)隊(duì)員參賽，且有ai<bi（i=1,2，…m），則A隊(duì)排名應(yīng)優(yōu)于B隊(duì)。準(zhǔn)則三：?jiǎn)握{(diào)性（MonotonicityCriterion）準(zhǔn)則四：帕累托條件（ParetoCondition）

孔多塞

（MarieJeanAntoineNicolasdeCaritat,marquisdeCondorcet，

1743年－1794年）●

數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家?！?782年當(dāng)選法蘭西科學(xué)院院士?！裨谏詈髸r(shí)刻，完成了自己的思想絕唱——《人類精神進(jìn)步史表綱要》。

二、（5,2）規(guī)則的公平性判斷

我們按照上述準(zhǔn)則來(lái)判斷（5，2）規(guī)則的公平性。

例1

設(shè)一次越野團(tuán)體賽有33個(gè)隊(duì)231名隊(duì)員參加，其中3個(gè)隊(duì)的隊(duì)員成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

風(fēng)隊(duì)：1，2，3，8，27，36，45（41）

越野者隊(duì)：4，12，15，24，35，49，55（90）

酷跑隊(duì)：10，11，13，28，30，43，69（92）

不算風(fēng)隊(duì)1，8，11，20，30，43，48（70）6，7，9，23，25，37，62（70）

僅算兩隊(duì)1，4，6，7，10，12，13（28）2，3，5，8，9，11，14（27）

結(jié)論1（5,2）規(guī)則不滿足二元獨(dú)立性。

例2

設(shè)一次比賽有A、B、C、D4支隊(duì)伍參加，成績(jī)?nèi)缦拢篈：12325262728（57）B：491114161820（54）C：571213192122（56）D：681015172324（56）

B隊(duì)第一，A隊(duì)墊底！

但在與A隊(duì)兩兩對(duì)決中，A隊(duì)前5名名次為：1231112，得分29，而其他隊(duì)名次都是4~10，得分30,

A隊(duì)勝！

結(jié)論2（5,2）規(guī)則不滿足孔多塞準(zhǔn)則。

結(jié)論3（5,2）規(guī)則滿足單調(diào)性。

結(jié)論4（5,2）規(guī)則滿足帕累托條件。

三、其他幾種競(jìng)賽規(guī)則評(píng)價(jià)

考慮以下幾種其他規(guī)則：

1、名次加權(quán)（m，l）規(guī)則；

名次差異非均勻化。2、迭代（m，0）規(guī)則；每次淘汰最后一名，然后重新計(jì)算名次。

3、順序孔多賽規(guī)則；

按任意順序，前兩隊(duì)對(duì)決，勝者與下一隊(duì)對(duì)決，如此進(jìn)行下去，最后留下的隊(duì)就是獲勝隊(duì)。

4、非團(tuán)體規(guī)則

存在i，使得A<Bai<bi

結(jié)論5名次加權(quán)（m，l）規(guī)則不滿足二元獨(dú)立性與孔多塞準(zhǔn)則，但滿足單調(diào)性與帕累托條件。

結(jié)論6

迭代（m，0）規(guī)則滿足孔多塞準(zhǔn)則與帕累托條件，但不滿足單調(diào)性，也不滿足二元獨(dú)立性。

例3

考慮3個(gè)隊(duì)參加的一次比賽，采用迭代（5,0）規(guī)則。比賽進(jìn)行到一半時(shí)，成績(jī)?nèi)缦拢喝?duì)目前得分為：38,40,42.淘汰Ｃ隊(duì)后成績(jī)?nèi)缦拢旱诙喌梅譃椋?5,30，故最終Ａ隊(duì)將奪冠。123456789101112131415C1C2A1A2A3B1B2B3B4B5A4C3C4C5A512345678910A1A2A3B1B2B3B4B5A4A5在A隊(duì)教練的督促下，A4從第11名前進(jìn)到了第6名。

此時(shí)得分為：33,45,42，Ｂ隊(duì)被淘汰。

第二輪得分為：A:28,C:27。

A隊(duì)被淘汰?。藐?duì)奪冠！

故迭代（5,0）規(guī)則不滿足單調(diào)性。123456789101112131415C1C2A1A2A3B1B2B3B4B5A4C3C4C5A5123456789101112131415C1C2A1A2A3A4B1B2B3B4B5C3C4C5A5123456７８９10C1C2A1A2A3A4C3C4C5A5

結(jié)論7

順序孔多塞規(guī)則滿足孔多塞準(zhǔn)則和單調(diào)性，但不滿足二元獨(dú)立性與帕累托條件。

例4

考慮4個(gè)隊(duì)參加的一次比賽，采用順序孔多賽規(guī)則，兩兩對(duì)決時(shí)采用（3,0）規(guī)則。比賽結(jié)果為：設(shè)兩兩對(duì)決順序?yàn)锳BCD。首先A：B—11:10—B勝；

然后B：C—11:10—C勝；最后C：D—12:9—D勝！

但是有：ai<di，i=1~3，所以不滿足帕累托條件。

更有甚者，a3<d1!C15

6D234A245B136B236C145123456789101112C1B1A1B2A2A3D1D2D3C2C3B3

例5

（非團(tuán)體規(guī)則的例子）考慮2個(gè)隊(duì)的比賽，每個(gè)隊(duì)派兩名隊(duì)員，共有6種可能結(jié)果：1.A1A2B1B24.B1B2A1A2

2.A1B1A2B25.B1A1B2A2

3.A1B1B2A26.B1A1A2B2

假設(shè)帕累托條件滿足，則A贏得1.2.，B贏得4.5.。

如果A贏得3.，則對(duì)稱地，B贏得6.，這時(shí)的勝負(fù)實(shí)際上由各隊(duì)的第一人決定，因此是非團(tuán)體規(guī)則。

反過來(lái)，如果A贏得6.，則B贏得3.，這時(shí)的勝負(fù)由各隊(duì)的第二人決定，仍是非團(tuán)體規(guī)則。

越野團(tuán)體賽計(jì)分規(guī)則的Arrow定理

以名次為排序依據(jù)，那么，在有至少三個(gè)隊(duì)參加的越野團(tuán)體賽中，如果一個(gè)規(guī)則同時(shí)滿足二元獨(dú)立性與帕累托條件，則