第四章 不定積分 例題課件

第四章不定積分

§4-1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)和不定積分的概念(一)原函數(shù)1、定義1：如果在區(qū)間上,可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,即對任一都有那么函數(shù)就稱為在區(qū)間上的原函數(shù)。2、原函數(shù)存在定理

如果函數(shù)連續(xù)，那么在區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù),使對任一都有

簡單地說就是:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).3、原函數(shù)的特點(diǎn)（1）如果有一個(gè)原函數(shù)，那么就有無限多個(gè)原函數(shù)（2）的任意兩個(gè)原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。（二）不定積分1、定義2：在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為上的不定積分，

記作其中記號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。2、不定積分的求法如果是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么就是的不定積分，則例1．例2．3、不定積分和原函數(shù)的區(qū)別

不定積分和原函數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者是一個(gè)集合，表示一族函數(shù)，后者是集合中的一個(gè)元素。例3．設(shè)曲線通過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程。4、積分曲線：

函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為積分曲線。例4．質(zhì)點(diǎn)在距地平面高度為處，以初速鉛直上拋，不計(jì)阻力，求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。二、基本積分表例5．三、不定積分的性質(zhì)例6．設(shè)例7．下列等式中正確的是（）例8．，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

3、設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在則

4、設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零常數(shù)，則例9．例10．例11．例12．例13．例14．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是則的一個(gè)原函數(shù)為（）

四、不定積分的求法

向基本積分公式靠近(一)代數(shù)恒等變形:加一點(diǎn)兒、減一點(diǎn)、乘一點(diǎn)兒、除一點(diǎn)兒,分子分母有理化，提出公因式。例15．例16．(二)三角恒等變形：半角公式、倍角公式、平方和關(guān)系、積化和差、和差化積、和角公式等。例17．例18．例19．例20．

問有什么關(guān)系？§4-2換元積分法一、換元法：利用中間變量的代換,來求復(fù)合函數(shù)積分的方法稱為換元積分法。換元積分法包括兩大類,即第一類換元積分法和第二類換元積分法。二、第一類換元積分法(一)定理1：設(shè)具有原函數(shù)可導(dǎo)，則有換元公式（二）掌握定理注意的問題1、被積表達(dá)式中的是的微分，它可以和被積函數(shù)的某一部分湊成微分的形式。2、積分基本公式中的換成一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，公式仍然成立。例1．

例2．例3．例4．例5．（三）常見的湊微分形式第一類換元積分法要把湊成微分的形式,因此第一類換元積分法也叫湊微分法，常見的湊微分形式有例6．例7．例8．例9．例10．例11．例12．例13．例14．例15．例16．例17．例18．例20．例21．例22．例23．例24．三、第二類換元積分法(一)定理2：設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且,又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式

其中的反函數(shù)。（二）代換方法1、三角代換（1）若被積函數(shù)含有則一般令例25．（2）若被積函數(shù)含有則一般令例26．（3）若被積函數(shù)含有則一般令例27．2、雙曲代換（1）若被積式含有（2）若被積式含有例28．3、倒代換例29．四、積分基本公式例30．

例31．例32．例33．五、兩類換元法的區(qū)別1、第二類換元法的代換,必須是單調(diào)可導(dǎo)的,且,從而其反函數(shù)及導(dǎo)數(shù)存在,而第一類換元法只要可導(dǎo)即可。2、在第一類換元法的代換中處于自變量的位置，而在第二類換元積分法的代換中處于因變量的位置?！?-3分部積分法一、分部積分法：利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，推得的求積分的方法。二、分部積分公式設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

即例1．三、（1）要容易求得。（2）容易積出。四、可用分部積分法求積分的常見類型及的選取。(一)其中為常數(shù)，選取例2．例3．(二)選取

例4．例5．例6．(三)其中均為常數(shù)，此時(shí)的選取可隨意(利用分部積分公式,進(jìn)行恒等變形求不定積分)例7．例8．例9．例11．已知的一個(gè)原函數(shù)為，求例12．例13．

，例14．例15．，求的一個(gè)原函數(shù)。§4-4有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分(一)相關(guān)定義1、有理函數(shù)：形如

這樣的函數(shù)稱為有理函數(shù),又稱為有理分式。其中都是非負(fù)整數(shù)，都是實(shí)數(shù)且.2、真分式，假分式在（1）式中，

當(dāng)時(shí)，稱這個(gè)有理函數(shù)是真分式。

當(dāng)時(shí)，稱這個(gè)有理函數(shù)是假分式。（二）代數(shù)學(xué)的基本定理1、任意一個(gè)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解為一個(gè)常數(shù)與一次因式和二次質(zhì)因式乘積的形式，即2、有理真分式可以分解成如下部分之和

其中都是常數(shù)。三、三種類型函數(shù)的不定積分例1．例2．例4．例5．二、可化為有理函數(shù)的積分舉例（一）三角函數(shù)有理式的積分1、定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)。2、積分的求法（1）令利用萬能置換公式將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分。例7．(2)利用其它換元式(湊微分法)例8．例8．（二）簡單無理函數(shù)的積分1、型，令，其中的最小公倍數(shù)，則可把無理函數(shù)的積分化成有理函數(shù)的積分。例9．例10．例11．令，其中的最小公倍數(shù)。例12．附加題例13．設(shè)則例14．求例15．例16．例17．例18．例19．例20．例21．，例22．例23．已知函數(shù)上有