概率論第二章基礎(chǔ)知識(shí)

第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)一維隨機(jī)變量及分布第二節(jié)離散型隨機(jī)變量第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

隨機(jī)變量的引入是人類對(duì)隨機(jī)事件統(tǒng)計(jì)規(guī)律認(rèn)識(shí)的一大飛躍,隨機(jī)變量及其分布理論的建立,使概率論真正成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科.因此這一章是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生

在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表

示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.1.有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù))

例如

擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)◆每天從北京站下火車的人數(shù)◆昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)◆

七月份上海的最高溫度◆2.在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

正如裁判員在

運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫

運(yùn)動(dòng)員的名字

而叫號(hào)碼一樣，兩者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

稱:這種定義在樣本空間Ω上的實(shí)值函數(shù)為隨量機(jī)變這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).它與在高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一樣嗎？

它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在

試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能

預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.★

由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.★隨機(jī)變量隨機(jī)事件的數(shù)量化，且由數(shù)量化可達(dá)到從量的角度來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.分布函數(shù)在隨機(jī)變量基礎(chǔ)上進(jìn)一步解決隨機(jī)變量取值落在一區(qū)間上的概率問(wèn)題(重點(diǎn),難點(diǎn))事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律（一）隨機(jī)變量（二）隨機(jī)變量分布函數(shù)第一節(jié)一維隨機(jī)變量及其分布（一）隨機(jī)變量

1、隨機(jī)變量實(shí)例例在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,觀察摸出球的顏色.Ω={紅色、白色}

非數(shù)量將Ω數(shù)量化可采用下列方法紅色白色即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的Ω={紅色,白色}數(shù)量化了.例

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).Ω={1,2,3,4,5,6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3,X(4)=4,X(5)=5,X(6)=6從上例可看出

（1）樣本空間可定義一實(shí)變量，每一樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)此變量的一個(gè)取值。

（2）由于樣本點(diǎn)隨機(jī)出現(xiàn)，則這樣的變量亦是隨機(jī)取值，樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率即為變量取一定值的概率。2、隨機(jī)變量定義定義1.1

設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn),其樣本空間為Ω,對(duì)Ω中每一個(gè)樣本點(diǎn)ω,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),則稱此定義在Ω上的實(shí)值函數(shù)X=X(ω)為隨機(jī)變量。注：隨機(jī)變量是上的映射,此映射具有如下特點(diǎn)

定義域樣本空間

隨機(jī)性

隨機(jī)變量X

的可能取值不止一個(gè),試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值

概率特性

X

以一定的概率取某個(gè)值或某些值

隨機(jī)變量與普通函數(shù)的異同點(diǎn)：(1)值域均為實(shí)數(shù)區(qū)域R=(，)；(2)隨機(jī)變量的定義域?yàn)闃颖究臻g,不一定為實(shí)數(shù)區(qū)域,而普通函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)區(qū)域。(3)普通函數(shù)的取值是一定的,而隨機(jī)變量的取值是有一定的概率的。

例設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(ω)的所有可能取值為:X(ω)=所需射擊的次數(shù)1,2,3,…例某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過(guò),如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(ω)的所有可能取值為:X(ω)=此人的等車時(shí)間[0,5]

在同一個(gè)樣本空間可以同時(shí)定義多個(gè)隨機(jī)變量,例如={兒童的發(fā)育情況}X()—身高,Y()—體重,Z()—頭圍.各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系,也可能沒(méi)有關(guān)系——即相互獨(dú)立實(shí)際上,隨機(jī)事件為部分樣本點(diǎn)的集合,而在樣本空間上定義一隨機(jī)變量之后,每一樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的一個(gè)取值.而部分樣本點(diǎn)的集合即為隨機(jī)變量部分取值的集合,即隨機(jī)變量的部分取值的集合為隨機(jī)事件。

例1中，表示該試驗(yàn)中“取到白球”事件。表示該試驗(yàn)中“取到紅球”事件。例2中，事件{點(diǎn)數(shù)不小于3}可表示為特別地：（1）若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則{X=1.5}是不可能事件.（2）若X

為隨機(jī)變量，則

{X=k}、{a

<

Xb}、……

均為隨機(jī)事件.即{a

<

Xb}={：a

<

X()b

}(3)一些表達(dá)式：

{X=k}={Xk}{X<k}；

{X>b}={Xb}；

{a

<

Xb}={Xb}{Xa}。

3.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè),叫做離散型隨機(jī)變量.觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它實(shí)例2

若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實(shí)例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X

的所有可能取值為:實(shí)例2

隨機(jī)變量X為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為4、小結(jié)

2.隨機(jī)變量的分類:離散型、連續(xù)型.

1.隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)．1、分布函數(shù)的概念2、分布函數(shù)的性質(zhì)(二）隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)1、分布函數(shù)的概念例如（1）概念的引入2.分布函數(shù)的定義說(shuō)明(1)分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況.2、分布函數(shù)的求法例1

拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解例2

設(shè)袋中有標(biāo)號(hào)為–1,1,1,2,2,2的6個(gè)球，從中任取一球，求所取得球的標(biāo)號(hào)數(shù)的分布函數(shù)。x–1012例某射手向半徑為R的圓形靶射擊一次，假定不會(huì)脫靶。彈著點(diǎn)落在以靶心為圓心，r為半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比,設(shè)隨機(jī)變量X表示彈著點(diǎn)與靶心的距離,求X的分布函數(shù),并求概率解:對(duì)任意的由題意,F(x)是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)F(x)x3、分布函數(shù)的性質(zhì)即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)重要公式例如下四個(gè)函數(shù)中，哪些可作為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)？一、離散型隨機(jī)變量的分布律二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布三、小結(jié)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律說(shuō)明一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義注：離散型隨機(jī)變量分布律有三種表示方式pkXx1x2x3xn……(3)圖形表示法3、離散型隨機(jī)變量的分布律的求法(1)利用古典概率、條件概率、獨(dú)立性等計(jì)算方法及其運(yùn)算法則求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk},k=1,2,…求法步驟為:第一步：先確定X的全部可能取值xk,k=1,2,…;第二步：具體求出事件{X=xk}的概率，即pk。因此分布律為解則例求分布函數(shù)由隨機(jī)變量X的概率分布可以得到其分布函數(shù)，以X有n個(gè)可能取值為例：(2)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形為一階梯形曲線；注(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)在X=xk處有跳躍，其跳躍值為pk=P{X=xk}，k=1,2,…；一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…

其分布函數(shù)為

(2)利用分布函數(shù)F(x)求概率分布第一步：F(x)的各間斷點(diǎn)xk的取值為X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)–F(xk–0)求出事件{X=xk}的概率。例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求X的概率分布。解:(1)F(x)的間斷點(diǎn)為–1,1,3,即為X的可能取值(2)p1=P(X=–1)=F(–1)–F(–1–0)=0.4–0=0.4p2=P(X=1)=F(1)–F(1–0)=0.8–0.4=0.4p3=P(X=3)=F(3)–F(3–0)=1–0.8=0.2(3)利用分布律的基本性質(zhì)求分布律例一批產(chǎn)品分為一、二、三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品是二級(jí)品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)作質(zhì)量檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，試求出它的概率分布。解:設(shè)抽取產(chǎn)品的檢驗(yàn)等級(jí)數(shù)為X,則X=1,2,3,依題意知練習(xí)設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律如下：二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布實(shí)例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為實(shí)例2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明2.等可能分布如果隨機(jī)變量X的分布律為實(shí)例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則有將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,或稱為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).(1)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)3.二項(xiàng)分布(2)n重伯努利試驗(yàn)

實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).(3)二項(xiàng)概率公式且兩兩互不相容.稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布可見(jiàn),一般二項(xiàng)分布的解題步驟為:(1)確定此試驗(yàn)類型是否為貝努利概型，每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:A或ā;（2）檢查事件發(fā)生的概率：并確定這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)n；（3）令X為n重貝努利概型中某事件A發(fā)生的次數(shù)，寫出二項(xiàng)概率公式:（4）根據(jù)所求確定相關(guān)的概率：1)P{n次貝努利試驗(yàn)中A恰出現(xiàn)k次}=2)P（A至少發(fā)生i次）=P{X≥i}

3)P（A至多發(fā)生i次）=P{X≤i}

4)P（A至少發(fā)生i次且不超過(guò)j次）

=P{i≤X≤j}

例1

在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從B(5,0.6)的二項(xiàng)分布.例2解圖示概率分布注1注2注3例

設(shè)某種疾病在鴨子中傳染的概率為0.25。（2）設(shè)對(duì)17只鴨子注射甲種血清后，其中仍有一只受到感染；對(duì)23只鴨子注射乙種血清后，其中仍有兩只受到感染。試問(wèn)這兩種血清是否有效？（1）求在正常情況下（未注射防疫血清時(shí)）50只鴨子和39只鴨子中，受到感染的最大可能只數(shù)；解因此例3有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò),問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

設(shè)1000輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為X,則解例4故所求概率為二項(xiàng)分布

泊松分布4.泊松分布

電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

泊松分布中的參數(shù)是表征平均特性的量，如X表示單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的呼叫次數(shù)，則表示在這單位時(shí)間內(nèi)接到呼叫次數(shù)的平均數(shù)。注1注2(見(jiàn)下頁(yè))

kn=10n=20n=40n=100p=0.1p=0.05p=0.025p=0.01=np=100.3490.3580.3690.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015大于40.0040.0030.0050.0030.004泊松(Possion)定理設(shè)是一常數(shù)，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k有：且np,l=注:一般的用去近似二項(xiàng)分布的當(dāng)：時(shí)近似效果頗佳時(shí)近似效果更好

設(shè)1000輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解回到前面的例有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò),問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?例設(shè)每分鐘通過(guò)某路口的汽車流量X服從泊松分布,且已知在一分鐘內(nèi)無(wú)車通過(guò)與恰有一輛車通過(guò)的概率相同,求一分鐘內(nèi)至少兩輛車通過(guò)的概率。得=1可以看出泊松概率公式常在兩種情況下使用：（1）X服從參數(shù)為泊松分布，直接泊松概率公式：（2）X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，間接使用泊松概率公式：

例

（壽命保險(xiǎn)問(wèn)題）設(shè)在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)。在一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在每年一月一日付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而死亡時(shí)家屬可到保險(xiǎn)公司領(lǐng)取賠付費(fèi)2000元。試問(wèn)：（1）“一年內(nèi)保險(xiǎn)公司虧本”（記為A）的概率是多少？（2）“一年內(nèi)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000，20000元”（分別記為B1,B2）的概率是多少？解：（1）每年保險(xiǎn)公司收入為2500*12=30000元，設(shè)X為2500人在一年中死亡的人數(shù)，則保險(xiǎn)公司應(yīng)賠付2000X元，若A發(fā)生，則有2000X>30000

得X>15（人）即若一年中死亡人數(shù)超過(guò)15人，則公司虧本（此處不計(jì)3萬(wàn)元所得利息）。因?yàn)?.幾何分布

若隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3…，其分布律為則稱X服從幾何分布.記為X~Ge(p).實(shí)例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)X

是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布律.X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，

“首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).所以X服從幾何分布.解6.負(fù)二項(xiàng)分布（帕斯卡分布）

X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“第r次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).記為X~Nb(r,p),p+q=1.

若隨機(jī)變量X的可能取值r,r+1,r+2,…，且其分布律為則稱X服從負(fù)二項(xiàng)分布或帕斯卡分布，例

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次射中的概率為0.8，用X表示其射中3次時(shí)的總射擊次數(shù),試求（1）X的概率分布與分布函數(shù)；（2）P{4≤X≤6}。解：顯然，事件A={射中目標(biāo)}，則p=0.8，X服從參數(shù)為0.8的帕斯卡分布，（1）其概率分布為其分布函數(shù)為(2)=0.47104如果隨機(jī)變量X的概率分布為:8超幾何分布則稱服從參數(shù)為n，N，M的超幾何分布。記作X~h(n,N,M)應(yīng)用模型:

超幾何分布實(shí)際上是第一章介紹的不放回抽樣模型的數(shù)學(xué)描述:設(shè)一袋中共有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)次品，現(xiàn)從中任取n個(gè)產(chǎn)品,令X為這n個(gè)產(chǎn)品中次品的個(gè)數(shù)，則X為隨機(jī)變量,服從參數(shù)為n，N，M的超幾何分布。對(duì)于超幾何分布而言，當(dāng)M，N較大時(shí)，不易計(jì)算，實(shí)際上，可以借助二項(xiàng)分布作近似計(jì)算.例

：在一批20件的產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)從中任取5件，以X表示所取5件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，試求的概率分布與分布函數(shù)。解：設(shè)X為所取5件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，由題意知，服從X參數(shù)為5，3，20的超幾何分布，其概率分布為離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布均勻分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布三、小結(jié)負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布在伯努利試驗(yàn)中，所考察問(wèn)題不同幾何分布Ge(p)1=r負(fù)二項(xiàng)分布Nb(r,p)（事件A出現(xiàn)次數(shù)r固定,試驗(yàn)總次數(shù)是隨機(jī)變量）二項(xiàng)分布B(n,p)（試驗(yàn)總次數(shù)固定為n,事件A出現(xiàn)次數(shù)是隨機(jī)變量）二項(xiàng)分布B(n,p)泊松分布兩點(diǎn)分布分布類型分布律參數(shù)(0-1)分布0<p<1二項(xiàng)分布0<p<1幾何分布0<p<1熟知的離散型分布如下表分布類型分布律參數(shù)超幾何分布r=min{n,m}負(fù)二項(xiàng)分布r1,0<p<1泊松分布>0等可能分布第三節(jié)、

連續(xù)型隨機(jī)變量1、概率密度的概念與性質(zhì)定義

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度，記為

X~f(x)f(x)為X的1.2概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)f(x)0,xR,表明密度曲線在x軸上方。10x同時(shí)得以下計(jì)算公式注意對(duì)于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概率等于零.即由此可得連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)練習(xí)下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量X的概率密度?若是試求出X的分布函數(shù)。解：例設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試確定常數(shù)k,并求X的分布函數(shù)及P(X>0.1)。解:

由性質(zhì)2,有例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求X的概率密度f(wàn)(x)。二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X具有概率密度:則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作X~U(a,b)。當(dāng)a=0,b=1時(shí)，U(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布。1、均勻分布概率密度函數(shù)圖形U(a,b)的分布函數(shù)為應(yīng)用模型在區(qū)間上“等可能投點(diǎn)”“隨機(jī)投點(diǎn)”的試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型。若X~U(a,b),則對(duì)任一小區(qū)間(c,c+l)(a,b),X落入其中的概率為X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,則X取值于(a,b)中任一小區(qū)間內(nèi)的概率與小區(qū)間位置無(wú)關(guān),只與小區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān),此亦表明了X均勻取值的含義。例某公共汽車站每隔10分鐘有一輛公共汽車通過(guò)，現(xiàn)有一乘客隨機(jī)到站候車。設(shè)X表示乘客的候車時(shí)間，問(wèn)該乘客候車時(shí)間小于5分鐘的概率。解:

乘客到站相當(dāng)于在(0,10)內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn),可見(jiàn)X~U(0,10),即例設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少兩次觀測(cè)值大于3的概率。解:

設(shè)A={X的觀測(cè)值大于3},已知X~U(2,5),則記Y={對(duì)X的三次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)},顯然有Y~B(3,2/3),則2、指數(shù)分布若隨機(jī)變量X具有概率密度:其中>0,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記作X~E()。其分布函數(shù)F(x)為:應(yīng)用模型一種重要的壽命分布，在可靠性理論及排隊(duì)論中有重要應(yīng)用。例如：(1)保險(xiǎn)絲、寶石軸承、陶瓷制品的壽命分布；(2)電子元件及設(shè)備的壽命分布；(3)一些動(dòng)物的壽命分布；(4)電話中的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間分布。例3.7例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為1/2000的指數(shù)分布(單位:小時(shí)).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時(shí)以上的概率.(2)一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率.

解:X的分布函數(shù)為(1)P(X>1000)=1–P(X1000)=1–F(1000)(2)P(X>2000|X>1000)指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.3.正態(tài)分布(或高斯分布)正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布的分布函數(shù)

正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是初等函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形性質(zhì)證明證明稱Z是對(duì)隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化解例

例已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10,22),試求P(10<X<13),P(X>13),P(|X–10|<2)。解:

已知X~N(10,22),則=10,=2(1)所求概率為解例9例

某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X~N(160,2),若要求P(120<X<200)0.8,試問(wèn)允許的值最多為多少?解:已知X~N(160,2),由題意得例

某年舉行的高等教育大專文憑認(rèn)定考試中,已知某科的考生成績(jī)X~N(,2),及格率為25%,80分以上者為3%,試求考生成績(jī)?cè)?0分以上的比例。解:由題意得分布函數(shù)三、小結(jié)2.常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布正態(tài)分布(或高斯分布)指數(shù)分布一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布三、小結(jié)第四節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題的提出在很多實(shí)際問(wèn)題中，需要研究隨機(jī)變量間存在的函數(shù)關(guān)系，也就是研究他們?cè)诟怕史植忌系年P(guān)系.已知圓軸截面直徑d

的分布，求截面面積A=

的分布.例如：已知t=t0

時(shí)刻噪聲電壓V的分布求功率

W=V2/R

(R為電阻)的分布等.

研究問(wèn)題:已知隨機(jī)變量X及它的分布，要求這個(gè)隨機(jī)變量的分布.又例如：隨機(jī)變量的函數(shù)的定義設(shè)g(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能取值x的集合上的函數(shù)，如果對(duì)于X的每一個(gè)可能取值x,有另一