第7章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

第七章

數(shù)字邏輯基礎(chǔ)數(shù)制和碼制基本邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯代數(shù)的數(shù)學(xué)描述邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)描述方法及轉(zhuǎn)換本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)4.數(shù)的各種用法5.基本邏輯門電路的邏輯運(yùn)算1.什么是數(shù)字電子？2.數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)之間的關(guān)系3.數(shù)字邏輯和數(shù)字電路模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)數(shù)字表:跳躍顯示時(shí)間模擬表:連續(xù)顯示時(shí)間模擬信號(hào)【AnalogSignal】

定義：在時(shí)間上與數(shù)值上都連續(xù)的信號(hào)。

模擬信號(hào)波形：u模擬信號(hào)波形t最常見(jiàn)的模擬信號(hào)波形就是正弦波。t正弦波形u

模擬電路：對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。模擬信號(hào)聲音盒式磁帶電路簡(jiǎn)單,音質(zhì)差數(shù)字信號(hào)【DigitalSignal】

定義：在時(shí)間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號(hào)

數(shù)字信號(hào)波形對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。

數(shù)字電路u數(shù)字信號(hào)波形t10011聲音模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號(hào)CD數(shù)字電路跟模擬電路相比在對(duì)于信號(hào)的傳輸、存儲(chǔ)、處理方面有很大優(yōu)勢(shì)。音質(zhì)好,多次拷貝無(wú)損耗數(shù)碼相機(jī)智能儀器計(jì)算機(jī)數(shù)字技術(shù)的應(yīng)用谷歌眼鏡

PROJECTGLASS

由谷歌公司于2012年4月發(fā)布的一款“拓展現(xiàn)實(shí)”眼鏡，它具有和智能手機(jī)一樣的功能，可以通過(guò)聲音控制拍照、視頻通話和辨明方向，以及上網(wǎng)沖浪、處理文字信息和電子郵件等。7.1數(shù)制和碼制

7.1.1數(shù)制進(jìn)制R數(shù)碼計(jì)數(shù)規(guī)則基數(shù)十0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十進(jìn)一10二0,1逢二進(jìn)一2八0,1,2,3,4,5,6,7,逢八進(jìn)一8十六0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,F逢十六進(jìn)一16幾種進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系①一般地，N進(jìn)制需要用到N個(gè)數(shù)碼，基數(shù)是N；運(yùn)算規(guī)律為逢N進(jìn)一。②如果一個(gè)N進(jìn)制數(shù)A包含ｎ位整數(shù)和ｍ位小數(shù)，即(A)N=(an-1an-2…a1a0a－1a－2…a－m)N則該數(shù)的權(quán)展開(kāi)式為：

(A)N＝an-1×Nn-1＋an-2×Nn-2＋…＋a1×N1＋a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m

(209.24)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋2×10－1＋4×10－2(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

7.1.2數(shù)制間轉(zhuǎn)換為什么要進(jìn)行數(shù)制之間相互轉(zhuǎn)換？a.用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)十進(jìn)制數(shù)很困難。二進(jìn)制數(shù)碼用電子電路的開(kāi)關(guān)特性就完全能夠?qū)崿F(xiàn)。b.二進(jìn)制數(shù)書(shū)寫太長(zhǎng)、記憶不便，所以又常采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制來(lái)表示二進(jìn)制數(shù)。1.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)方法：將它們按權(quán)展開(kāi)，求出相加的和，便得到相應(yīng)進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例1：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2＝(5.25)10

(10101.11)2=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=16+0+4+1+0.5+0.25=(21.75)10

2.十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

整數(shù)部分：“除基數(shù)取余”法，直至商為0，所得余數(shù)自下而上排列；

小數(shù)部分：“乘基數(shù)取整”法，直至小數(shù)為0或按要求保留位數(shù)，所得整數(shù)自上而下排列。例：將(25.375)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。(25.375)10=（11001.011）2例：(35.85)10=(?)2，保留三位小數(shù)。解：整數(shù)部分：352172824222120………1………1………0………0………0………1低位高位小數(shù)部分：0.85×2＝1.7………

10.7×2＝1.4………

10.4×2＝0.8

………

0高位低位∵題目要求只保留三位小數(shù)∴不再繼續(xù)連乘取整了?！?35.85)10≈(100011.110)2

7.1.3編碼【ENCODE】數(shù)字系統(tǒng)只能識(shí)別0和1，怎樣才能表示更多的數(shù)碼、符號(hào)、字母呢？——用編碼可以解決此問(wèn)題。

用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息稱為編碼。

問(wèn)題的提出：

編碼定義：

二－十進(jìn)制碼（BCD碼）8421BCD碼：用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0來(lái)表示1位十進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制01234567898421碼000000010010001101000101011001111000100100110010練習(xí)：32的BCD碼：練習(xí)：600的BCD碼011000000000二值數(shù)字邏輯中的1（邏輯1）和0（邏輯0）不僅可以表示二進(jìn)制數(shù)，還可以表示事物的兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。7.2基本邏輯代數(shù)運(yùn)算例：燈泡的亮、滅狀態(tài)

考試成績(jī)的及格、不及格A閉合與運(yùn)算【ANDOperation】VABLABL開(kāi)開(kāi)滅開(kāi)合滅合開(kāi)滅合合亮

功能表ABL000010100111

真值表約定：開(kāi)關(guān)A、B斷開(kāi)時(shí)為邏輯0，合上時(shí)為邏輯1；燈滅時(shí)為邏輯0，燈亮?xí)r為邏輯1。描述：只有條件都具備，結(jié)果才發(fā)生。（邏輯乘）VABLVABL燈亮B閉合全部車門關(guān),才開(kāi)動(dòng)

邏輯表達(dá)式：L=A?B=AB

邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門其邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”ABL000010100111缺一不可或運(yùn)算【OROPERATION】ABL開(kāi)開(kāi)滅開(kāi)合亮合開(kāi)亮合合亮

功能表

邏輯表達(dá)式：L=A+BABL000011101111

真值表約定：開(kāi)關(guān)A、B斷開(kāi)時(shí)為邏輯0，合上時(shí)為邏輯1；燈滅時(shí)為邏輯0，燈亮?xí)r為邏輯1。合上A描述：只要任一條件具備，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。（邏輯加）VABL搶答器其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”

有一即可非運(yùn)算【NOTOPERATION】AL開(kāi)亮合滅

功能表AL0110

真值表

邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門合上A描述：條件具備，結(jié)果不發(fā)生；條件不具備，結(jié)果必發(fā)生。（邏輯求反）

邏輯表達(dá)式：L=A1AL=A約定：開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)時(shí)為邏輯0，合上時(shí)為邏輯1；燈滅時(shí)為邏輯0，燈亮?xí)r為邏輯1。ALV

與非運(yùn)算

邏輯表達(dá)式：ABL001011101110

真值表：

符號(hào)：7.2.2邏輯代數(shù)復(fù)合運(yùn)算

或非運(yùn)算ABL001010100110第7章

邏輯表達(dá)式：

真值表：

符號(hào)：

與或非運(yùn)算

邏輯表達(dá)式：第7章

符號(hào)：

異或運(yùn)算邏輯表達(dá)式：真值表：ABL000011101110第7章兩個(gè)輸入邏輯變量時(shí)Y=1，即不同為“1”相同為“0”，

同或運(yùn)算邏輯表達(dá)式：真值表：ABL001010100111第7章⊙兩個(gè)輸入變量值相同時(shí)Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。各種邏輯運(yùn)算匯總表

1、基本公式交換律：A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補(bǔ)律：

7.3.1：邏輯代數(shù)的定律和運(yùn)算規(guī)則7.3邏輯代數(shù)的數(shù)學(xué)描述重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

隱含律：

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC7.3.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

代入規(guī)則

：在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個(gè)函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍（2）反演規(guī)則：求原函數(shù)的非函數(shù)原函數(shù)Y反函數(shù)“.”“+”，“+”“.”“0”“1”“1”“0”原變量反變量反變量原變量

運(yùn)用規(guī)則：1、先括號(hào)，2、按先與后或的順序，3、保持反變量以外的非號(hào)不變。例已知

，求解：

練習(xí)：求L的反函數(shù)

（3）對(duì)偶規(guī)則

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，如果原函數(shù)相等，那么其對(duì)偶函數(shù)、反函數(shù)也相等。例

已知

，求對(duì)偶函數(shù)

解：

邏輯函數(shù)Y對(duì)偶函數(shù)“.”“+”，“+”“.”“0”“1”“1”“0”“或-與”表達(dá)式“與非-與非”表達(dá)式

“與-或-非”表達(dá)式“或非－或非”表達(dá)式“與-或”表達(dá)式7.5

邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡(jiǎn)1、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式包含的與項(xiàng)數(shù)最少，且每個(gè)與項(xiàng)中變量數(shù)最少的表達(dá)式稱為最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式。2、邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法

化簡(jiǎn)的主要方法：１．公式法（代數(shù)法）２．圖解法（卡諾圖法）代數(shù)化簡(jiǎn)法：運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)的方法。

并項(xiàng)法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

配項(xiàng)法：A+AB=A+B第7章（1）最小項(xiàng)定義

如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式:最小項(xiàng)代數(shù)化簡(jiǎn)法缺點(diǎn)：對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的邏輯式也難以判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。解決方法——卡諾圖化簡(jiǎn)法。練習(xí)：2個(gè)變量M、N的最小項(xiàng)：（2）最小項(xiàng)的表示方法

通常用符號(hào)mi來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：例如：【表示法1】【表示法2】【表示法3】【表示法4】

最小項(xiàng)的若干表示方法

1、卡諾圖的引出將n變量的全部最小項(xiàng)都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來(lái)，這樣,所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。7.4.3邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB卡諾圖的特點(diǎn):各小方格對(duì)應(yīng)于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個(gè)因子有差別。

2卡諾圖的填入

最小項(xiàng)表達(dá)式的填入：m1m4m3m6m7m11m14m15給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。例如：3、卡諾圖的化簡(jiǎn)方法

化簡(jiǎn)步驟①將給定的邏輯函數(shù)式化成最小項(xiàng)之和的形式。②畫卡諾圖：凡式中包含的最小項(xiàng)，其對(duì)應(yīng)方格填1，其余方格填0。③合并最小項(xiàng)：劃包圍圈并寫成一個(gè)新的乘積項(xiàng)。④寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式：將所有包圍圈對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)相加。

畫包圍圈時(shí)應(yīng)遵循的原則：①圈內(nèi)方格數(shù)必須是2n個(gè)，n=0,1,2,…②相鄰方格包括上下底相鄰、左右邊相鄰和四角相鄰。③同一方格可以被重用，但重用時(shí)新圈中一定要有新成員加入，否則新圈就是多余的。④每個(gè)圈內(nèi)的方格數(shù)盡可能多，圈的總個(gè)數(shù)盡可能少。注意:包圍圈的圈法可能不惟一，因此化簡(jiǎn)結(jié)果也可能不惟一。例如：一般的邏輯表達(dá)式填入：

先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。例：解：變換為與或表達(dá)式由上面變換的結(jié)果說(shuō)明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對(duì)Ｙ中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。填寫卡諾圖如下：ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖11例：用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式形式。①圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個(gè)。ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項(xiàng)22③不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)１的方格。第7章合并最小項(xiàng)②同一個(gè)方格可同時(shí)畫在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式33將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加兩點(diǎn)說(shuō)明：①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過(guò)比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡(jiǎn)ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡(jiǎn)②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡(jiǎn)形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤP1267.10無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)中的應(yīng)用

無(wú)關(guān)項(xiàng)的定義：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或任意項(xiàng)。

合理利用無(wú)關(guān)項(xiàng)：在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，隨意項(xiàng)的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)有利，則取1；如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)不利，則取0。例如：

要求設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，判斷一位十進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為0，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為1。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)說(shuō)明×

11110

0111×

11101

0110×11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD第7章

輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時(shí)，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時(shí)為1，奇數(shù)時(shí)為0。第7章不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)說(shuō)明×

11110

0111×

11101

0110×11010

0101×

11001