平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）中位數(shù)（median）眾數(shù)（mode）幾何平均數(shù)（geometricmean）調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）1.資料的代表數(shù)2.表示各種技術(shù)措施的效果3.表示畜禽的生產(chǎn)性能4.進(jìn)行變量間的相互比較其作用主要體現(xiàn)在：第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為、等。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。(一)直接法主要用于樣本含量n≤30、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過下式計(jì)算：（3-1）其中，Σ為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)其在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫為，（3-1）式可改寫為：第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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【例3.1】某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，

n=10得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

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（二）加權(quán)法對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：

（3-2）第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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式中：—第i組的組中值；

—第i組的次數(shù)；

—分組數(shù)。第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi

稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。

【例3.2】將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日組別組中值（x）次數(shù)（f）fx10—1534520—25615030—352691040—4530135050—5524132060—65852070—753225合計(jì)1004520表3-1100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

利用（3-2）式得：即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算(以各樣本的含量為權(quán))。下一張

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第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750

kg

，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725

kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即下一張

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即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89

kg。第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)

1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。

可簡(jiǎn)寫成：或第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：（3-3）式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。下一張

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當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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二、中位數(shù)

將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值稱為中位數(shù)（median），記為Md。

當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

1、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為中位數(shù)：

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（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法

對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。

2、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，n/2和（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即：

（3-4）第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為：144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。

(d)第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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【例3.5】某犬場(chǎng)發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，則：（d）即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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（二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為：（3-5）式中：L

—

中位數(shù)所在組的下限；

i

—

組距；

f

—

中位數(shù)所在組的次數(shù)；

n

—

總次數(shù)；

c

—

小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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【例3.6】某奶牛場(chǎng)68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間整理成次數(shù)分布表如表3—2所示，求中位數(shù)。

表3-268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表間隔時(shí)間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)12—261127—412342—56131657—71203672—86165287—1011264102—116266≥117268第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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由表3-2可見：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57—71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3-5）得：

（d）即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日又如，由表3-1可算得其中位數(shù)為：第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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三、幾何平均數(shù)

n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開n

次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)(geometricmean)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長(zhǎng)率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：(3-6)n第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即(3-7)

【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見表3-3，試求其年平均增長(zhǎng)率。年度存欄數(shù)（只）增長(zhǎng)率（x）Lgx1997140——19982000.429-0.36819992800.400-0.39820003500.250-0.602Σlgx=-1.368表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

利用（3-7）式求年平均增長(zhǎng)率

=lg-1[（-0.368-0.398–0.602)/3]=lg-1[-1.368/3]=lg-1（-0.456）=0.3501

即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。下一張

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當(dāng)一組數(shù)據(jù)資料中的各觀測(cè)值呈倍數(shù)關(guān)系（等比關(guān)系，幾何級(jí)數(shù)）變化趨勢(shì)時(shí)，用幾何平均數(shù)表示其一般水平是較為合適的。第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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四、眾數(shù)資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)（mode），記為Mo。間斷性資料由于樣本中的各觀測(cè)值容易集中于某一個(gè)數(shù)值，所以眾數(shù)易于確定。連續(xù)性資料由于在兩個(gè)相鄰的觀測(cè)值之間，可有各種數(shù)值存在，樣本中的觀測(cè)值不易集中于某一個(gè)數(shù)值，眾數(shù)不易確定。在連續(xù)性資料的次數(shù)分布表中，分布次數(shù)最多一組的組中值即為該樣本的概約眾數(shù)。但在實(shí)際統(tǒng)計(jì)分析過程中，由于分組不同，概約眾數(shù)亦不同?？捎醚a(bǔ)差法計(jì)算眾數(shù)，其準(zhǔn)確性高于眾數(shù)。公式如下：第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日（3-8）為次數(shù)最多組的下限,為組距，L為次數(shù)最多組上一組的累計(jì)次數(shù)，為次數(shù)最多組下一組的累計(jì)次數(shù)。第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表中，57—71這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。再如，由表3-1可算得其概約眾數(shù)為：第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean），記為H。即（3-9）

調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長(zhǎng)率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

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【例3.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用（3-9）式求平均規(guī)模：(頭)即保種群平均規(guī)模為208.33頭。第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

一般，對(duì)于同一資料：算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。555553456713579三組數(shù)據(jù)平均數(shù)均為5，但代表性強(qiáng)弱不同。第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差下一張

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一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，因而不能用離均差之和來表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即。第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題。先將各個(gè)離均差平方，即，再求離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)。第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)（unbiasedestimate）量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方（meansquare,縮寫為MS）,又稱樣本方差(varianceofsample)，記為，即(3-10)第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為。對(duì)于有限總體而言，的計(jì)算公式為：(3-11)由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)(standarddeviationofsample)，記為，即：

(3-12)第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

(3-13)由于所以（3-12）式可改為：第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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(3-14)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，但這并非無偏估計(jì)。

第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（3—13）或（3-14）式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。

【例3.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3-13）式得：第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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(g)即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。（二）加權(quán)法對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為：

（3-15）式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Σf=n為總次數(shù)。第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。組別組中值（x）次數(shù)（f）fxfx244.15—45.03135.06075.045.85—46.76280.213085.3447.55—48.416774.437480.9649.25—50.1221102.255220.2250.95—51.8301554.080497.2052.65—53.5442354.0125939.0054.35—55.2281545.085317.1256.05—56.9301707.097128.3057.75—58.612703.241207.5259.45—60.35301.518180.4561.15—62.04248.015376.00合計(jì)

Σf=200Σfx=10705.1Σfx2=575507.11表3-4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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上一張

將表3-4中的Σf、Σfx、代入（3-15）式得：(g)即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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上一張

三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大