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文檔簡介
歐陽地創(chuàng)編《概論與數(shù)理統(tǒng)》題及答案時間:習(xí)題三
創(chuàng)作:歐陽地1將一硬幣拋擲三次,以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值試寫出Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:
C13
1132
23
11222
1122.盒子里裝有黑球、紅球、2只白球,在其中任取球,以X表示取到黑球的只數(shù),以示取到紅球的只數(shù)求Y聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:
P黑2紅2白=
CC1C232C7CC32C7
C232C7C2C1C132C47C232C7
C123C47C123C47歐陽地創(chuàng)編
歐陽地創(chuàng)編C2/4227
1353.設(shè)二維隨機變量(X,)的聯(lián)合分布函數(shù)為ππxsiny0,0yF(x,其他求二維隨機變量(X,Y)在長方πx,y4
內(nèi)的概率【解】圖
πππP{0}公(3.2)46題圖說明:也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設(shè)隨機變量(X,)的分布密度)fx,求:)常數(shù);
x0,y0,他)隨機變量(,Y)的分布函數(shù);){0≤<1,0≤<2}.【解】)由
f(x)dxy
00
e
xy)
dxdy
A12
得A=12)由定義,有(3)
P{02}5.設(shè)隨機變量(X,)的概率密度為歐陽地創(chuàng)編
1313fx,y
歐陽地創(chuàng)編k),2,2y他.)確定常數(shù)k;)求{<1,<3};)求{<1.5})求{+≤4}.【解】)由性質(zhì)有故
R
)
P{
f(x,yd(3)
P{
x
f(xd如圖
D
f(xd(4)
P{4}
X
f(x)dxd如圖b
D
f(x,)dx題圖6.設(shè)X和是兩個相互獨立的隨變量,X在(0,0.2)上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為yf(Y
其他求:)XY的聯(lián)合分布密度;(2){Y≤}.題圖【解】)因X(,0.2)上服從均勻分布,所以X的密度函數(shù)為而歐陽地創(chuàng)編
fx)fx)fx)所以(2)
y
f(x,xy圖D
25e
xdy7.設(shè)二維隨機變量(X,)的聯(lián)合分布函數(shù)為x),0,yFx,y他求(XY)的聯(lián)合分布密度.【解】
(yf(,y)
x)
x0,他8.設(shè)二維隨機變量(X,)的概率密度為fx,y求邊緣概率密度.
4.8y0xy,0,他.【解】題圖
f(x)dy
題圖9.設(shè)二維隨機變量(X,)的概率密度為,xyfx,其他求邊緣概率密度.【解】
f(x)dy題10圖設(shè)二維隨機變量(,Y)的概率密度為2fx,
y,
其他歐陽地創(chuàng)編
其他.fx其他.fx))試確定常數(shù);)求邊緣概率密度【解】)
f(x,y)dx如xD得
.(2)
f(x)(y)dy11.隨機變量(,Y)的概率密度為yx,f(x,)=求條件概率密度(y|x),f(x||題圖【解】
f(x)dy所以中有五個號碼1,從中任取三個,記這三個號碼中最小的號碼為X,最大的號碼為Y)求X與Y聯(lián)合概率分布;)否相互獨立?【解】)與Y的聯(lián)合分布律如下表X
Y
P{X}iC31050
22C310515
33C3105235
310歐陽地創(chuàng)編
i歐陽地創(chuàng)編i0{Y}3i
11C2105
(2)因
P{{3}
661{Y101010010故X與Y獨立設(shè)二維隨機變量(,Y)的聯(lián)合分布律為Y0.40.8
X
50.300.12)求關(guān)于關(guān)于Y邊緣分布;)否相互獨立?【解】)和Y的邊緣分布如下表0.40.8P{x}i
20.2
5
8
{Y=y}0.80.2(2)P{P{Y0.4}0.80.160.15(0.4),
因故X與Y獨立14.X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在(,1)上服從均勻分布,Y的概率密度為f(Y
/2
,
0,其他.)求Y聯(lián)合概率密度;)設(shè)含有a二次方程為a+2Xa+=0試求歐陽地創(chuàng)編
Y其.Y其.有實根的概率.【解】)因故
歐陽地創(chuàng)編xf(x)X他;
ye2,f()他f(,y)Y獨f()f()
/
x0,其題圖(2)方Xa有實根的條件是故從而方程有實根的概率為:
X≥,15.和Y分表示兩個不同電子器件的壽命(以小時計),并設(shè)X和相互獨立,且服從同一分,其概率密度為1000,x1000,x2fx求Z=/Y的概率密度【解】圖,Z分布函數(shù)
F(){}{}Z(1)當(dāng)≤0時,
(z)Z)當(dāng)0<<1,(這時當(dāng)=1000時y=(圖a)
z)歐陽地創(chuàng)編
歐陽地創(chuàng)編題15圖(3)當(dāng)≥1時,(這時當(dāng)y=10時,x=103)(如圖b)即
zf(),0其他1zz2f()他故
16.設(shè)某種型號的電子管的壽命(以小時計)近似地服從N,20
2
)分.機地選取4
只,求其中沒有一只壽命小于的概率.【解設(shè)這四只壽命為(=1,2,3,4),則XN,ii202),從而17.設(shè)X,相互獨立的隨機變量,其分布律分別為P{=}=(k,k=0,1,2,…,P{=r}=(r),=0,2,….證明隨機變量Z=+分布律為P{=i}=
ik
pk)q(i
,i=0,1,2,….歐陽地創(chuàng)編
歐陽地創(chuàng)編【證明】因XY所有可能值都是非負(fù)整數(shù),所以于是18.設(shè),是相互獨立的隨機變量,它們都服從參數(shù)為n的二項分布證明=+服從參數(shù)為2,p二項分布【證明】方法一:+能取值為,2,…,2.方法二:設(shè),μ,…,;′,′,…,μ′12n12n均服從兩點分布(參數(shù)為p,則X=μ+μ12nY=μ′+…+′,12n
,X+=+μμ′+μ…+12n12′,n所以,X+Y從參數(shù)為(2n,p)的二項分布19.隨機變量(,Y)的分布律為
X
50.010.030.070.09
0.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04(1)求{=2|Y=2},{Y=3|=0};)求=max(XY)的分布律;)求=min(XY)的分布律;)求=+分布律.歐陽地創(chuàng)編
歐陽地創(chuàng)編【解】)
P{
P{2}P{2})
P
}{max(X,Y)}{X}{X,Y}所以分布律為V=max(Y)0P0
(3)于是
PU},Y}U=min(XY)P
(4)似上述過程,有=P0
20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(X,)在屏幕上服從均勻分布.)求{>0|>X};)設(shè)M=max{,},求P>0}.題20圖【解】(X,Y)的聯(lián)合概率密度為)
P{|YX}
P{Y}P{YX}(2)
P{M0}{max()0}{max(,)21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線,x=1,x=e圍成,二維隨機變量(,Y)在區(qū)域D服從均勻分布,求(X,)關(guān)于X邊緣概率密度在=2的值為多少?歐陽地創(chuàng)編
X123i12j11111歐陽地創(chuàng)編X123i12j11111題21圖【解】區(qū)域面積為
S0
1
1x
dln
1
2.
(X,)的聯(lián)合密度函數(shù)為(XY)關(guān)于邊緣密度函數(shù)為所以
1f.422.隨機變量XY相互獨立,下表列出了二維隨機變量(XY)聯(lián)合分布律及關(guān)于和Y邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值試將其余數(shù)值填入表中的空白處.X
y
P{X=}=
ixxP{=y}=
j
1/81/6
1/8
【解】因
2P{y}PP{xYy}jjiji
,故
PY}P{X1
y}{xYy},1從而
11P{Yy}6而X與Y立,故
{X
}P{Y}{Xx,Y}ijii
,從而
11P{}{Yy}624即:又
P{}1
111/2464{}P{y}{XxY}{Xx,Y},111歐陽地創(chuàng)編
即41,3222P{Y}2即41,3222P{Y}211{y},24從而
P{,Yy}13
112
.同理
13PY}P{Yy}28又
3j
P{y}j
111,33同理從而故
3P{}4
y1
y
2
y3
P{x}ii
14x
2
18
38
14
34{}pj
j
12
23.某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ的泊松分,每客在中途下車的概率為(0<p<1),且中途下車與否相互獨立,以表示在中途下車的人數(shù),求:)在發(fā)車時有個乘客的條件下,中途有m人下車的概率;)二維隨機變量(XY)的概率分布【解】(1)
P{m|}mm(1p)
,0,
.(2)
{,Y}{}{m}歐陽地創(chuàng)編
歐陽地創(chuàng)編24.設(shè)隨機變量X和獨立,其中X的概率分布為X~
0.7
而
Y概率密度為f),求隨機變量U=+概率密度().【解】()是的分布函數(shù),則由全概率公式,U=+分布函數(shù)為由于立,可見由此,得概率密度為25.25.設(shè)隨機變量與Y相互獨立,且均服從區(qū)間0,3]上的均勻分布,求P{max{,}解:因為隨即變量服從[0,3]上的均勻分布,于是有因為相互獨立,所以推得
P{max{}
19.26.設(shè)二維隨機變量(X,)的概率分布為
X
01
0.20.10.20.1其中
a,,c
為常數(shù),且
X
的數(shù)學(xué)期望E()=0.2,{Y≤0|≤0}=0.5,記Z=+Y求:),,值;)概率分布;歐陽地創(chuàng)編
歐陽地創(chuàng)編){=Z}.解(1)
由概率分布的性質(zhì)知,a+b+c+0.6=1即
a+b+c=0.4.由
(X)
,可得.再
由P{
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