復變函數復習

復習復數與復變函數3.典型例題2.內容提要1.重點與難點一、重點與難點重點：難點：1.復數運算和各種表示法2.復變函數以及映射的概念1.復數方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射的概念二、內容提要復數復變函數極限連續(xù)性代數運算乘冪與方根復數表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數表示法復球面復平面擴充曲線與區(qū)域判別定理極限的計算

1.復數的概念1)兩復數的和2)兩復數的積3)兩復數的商2.復數的代數運算4)共軛復數

實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數稱為共軛復數.共軛復數的性質3.復數的其它表示法（1）幾何表示法（2）向量表示法復數的模(或絕對值)

模的性質三角不等式復數的輻角輻角的主值

（3）三角表示法利用歐拉公式復數可以表示成稱為復數z

的指數表示式.（4）指數表示法利用直角坐標與極坐標的關系復數可以表示成4.復數的乘冪與方根1)乘積與商

兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復數乘積的輻角等于它們的輻角的和.則有

幾何意義復數相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復數對應的向量分別為

兩個復數的商的模等于它們的模的商;兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的輻角之差.則有2)冪與根(a)n次冪:

(b)棣莫佛公式5.復球面與擴充復平面南極、北極的定義(1)復球面

球面上的點,除去北極N外,與復平面內的點之間存在著一一對應的關系.我們可以用球面上的點來表示復數.我們規(guī)定:復數中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應,記作.因而球面上的北極N就是復數無窮大的幾何表示.

球面上的每一個點都有唯一的復數與之對應,這樣的球面稱為復球面.

復球面的定義包括無窮遠點在內的復平面稱為擴充復平面.不包括無窮遠點在內的復平面稱為有限復平面,或簡稱復平面.對于復數無窮大來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.(2)擴充復平面的定義6.曲線與區(qū)域（1）鄰域（2）內點

如果G內每一點都是它的內點,那么G稱為開集.(4)區(qū)域

如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(a)D是一個開集；(b)D是連通的,即D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結起來.(3)開集(5)邊界點、邊界

設D是復平面內的一個區(qū)域,如果點P不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內總有D中的點,這樣的P點我們稱為D的邊界點.(7)有界區(qū)域和無界區(qū)域D的所有邊界點組成D的邊界.(6)

區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域.

閉區(qū)域

沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).(8)簡單曲線(9)光滑曲線

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.

任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成三個互不相交的點集.簡單閉曲線的性質(10)單連通域與多連通域

復平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內部總屬于B,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.

從幾何上看，單連通域就是無洞、無割痕的域.7.復變函數的概念(1)復變函數的定義(2)映射的定義函數極限的定義注意:

8.復變函數的極限

極限計算的定理與實變函數的極限運算法則類似.

極限運算法則（1）連續(xù)的定義

9.復變函數的連續(xù)性

連續(xù)的充要條件連續(xù)的性質有理整函數(多項式)有理分式函數

特殊的:在復平面內使分母不為零的點也是連續(xù)的.三、典型例題

其幾何意義是三角形任意一邊的長不小于其它兩邊邊長之差的絕對值.解解解例6

滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解是實數軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解

是以為焦點,以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因為圖中解解在圓環(huán)內的點不是內點.例7

函數將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.解析函數3.典型例題2.內容提要1.重點與難點一、重點與難點重點：難點：1.解析函數的判別方法及導數求法2.初等函數的概念1.解析與可導的關系2.對數函數的概念二、內容提要導數初等函數定義性質判別方法指數函數

對數函數三角函數解析函數

冪函數性質1.導數定義定義設函數w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數f(z)在點z0處可導.稱此極限值為f(z)在z0的導數，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內可導.2.求導公式與法則①常數的導數c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數).----實函數中求導法則的推廣③設函數f(z),g(z)均可導，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復合函數的導數(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函數的導數，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數，且(w)0.3.解析函數的概念定義

如果函數w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內每一點都解析，則稱

f(z)在D內解析，或稱f(z)是D內的解析函數

(全純函數或正則函數）.如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點.定理1

設w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內的解析函數，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內的解析函數.定理2設w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內解析,h=g(z)的函數值集合G，則復合函數w=f[g(z)]在D內處處解析.定理1

設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D

內有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有4.解析函數的判定定理2

函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內可微，且滿足Cauchy-Riemann方程5.初等函數i.指數函數定義它與實變指數函數有類似的性質：ii.三角函數定義正弦與余弦函數的性質定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數雙曲正弦和雙曲余弦函數的性質iii.對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數.即，(2)對數函數的性質定義ⅳ.冪函數冪函數的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,且三、典型例題例1證明f(z)=zRez只在z=0處才可導.證明例2證例3解例4解例5解例6解復變函數的積分1.重點與難點2.內容提要3.典型例題

一、重點與難點重點：難點：1.復積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導數公式

復合閉路定理與復積分的計算

二、內容提要有向曲線復積分積分存在的條件及計算積分的性質柯西積分定理原函數的定義復合閉路定理柯西積分公式高階導數公式調和函數和共軛調和函數

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,1.有向曲線2.積分的定義(3.積分存在的條件及計算（1）化成線積分（2）用參數方程將積分化成定積分4.積分的性質5.柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)由定理得6.原函數的定義(牛頓-萊布尼茲公式)7.閉路變形原理

復合閉路定理

一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值.那么8.柯西積分公式一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.

9.高階導數公式10.調和函數和共軛調和函數

任何在

D

內解析的函數,它的實部和虛部都是

D內的調和函數.定理區(qū)域D內的解析函數的虛部為實部的共軛調和函數.

共軛調和函數

三、典型例題例1

計算的值，其中C為1）沿從到的線段：2）沿從到的線段：與從到的線段所接成的折線.解說明

同一函數沿不同路徑所得積分值不同.因此

證例2

設C為圓周證明下列不等式.解

例3

計算當時,解

解法一利用柯西-古薩基本定理及重要公式由柯西-古薩基本定理有

解法二利用柯西積分公式因此由柯西積分公式得解分以下四種情況討論：解為大于1的自然數.

例6

計算下列積分解法一偏積分法.利用柯西—黎曼方程,

因而得到解析函數

解法二線積分法.

因而得到解析函數解法三全微分法解例8

已知求解

析函數,使符合條件1.重點與難點

2.內容提要

3.典型例題級數一、重點與難點重點：難點：函數展開成泰勒級數與洛朗級數函數展開成洛朗級數復數項級數函數項級數充要條件必要條件冪級數收斂半徑R復變函數絕對收斂運算與性質收斂條件條件收斂復數列收斂半徑的計算泰勒級數洛朗級數二、內容提要1.復數列記作表達式稱為復數項無窮級數.其最前面項的和稱為級數的部分和.部分和2.復數項級數1)定義2)復級數的收斂與發(fā)散充要條件必要條件非絕對收斂的收斂級數稱為條件收斂級數.3)復級數的絕對收斂與條件收斂如果

收斂,那末稱級數

為絕對收斂.絕對收斂條件收斂稱為這級數的部分和.

級數最前面項的和3.復變函數項級數其中各項在區(qū)域

D內有定義.表達式稱為復變函數項級數,記作

4.冪級數1)在復變函數項級數中,形如的級數稱為冪級數.----阿貝爾Abel定理如果級數在收斂,那么對的級數必絕對收斂,如果在級數發(fā)散,那么對滿足的級數必發(fā)散.滿足2)收斂定理(3)既存在使級數發(fā)散的正實數,也存在使級數收斂的正實數.此時,級數在復平面內除原點外處處發(fā)散.3)收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數,其收斂半徑的情況有三種:(1)對所有的正實數都收斂.即級數在復平面內處處收斂.(2)對所有的正實數除外都發(fā)散.在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結論,要對具體級數進行具體分析.注意..收斂圓收斂半徑方法1:比值法方法2:

根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑5)冪級數的運算與性質如果當時,又設在內解析且滿足那么當時,(2)冪級數的代換(復合)運算復變冪級數在收斂圓內的解析性設冪級數的收斂半徑為那么是收斂圓內的解析函數

.它的和函數即(1)(2)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到,即(3)在收斂圓內可以逐項積分,即或5.泰勒級數其中泰勒級數1)定理設在區(qū)域內解析,為

內的一為到的邊界上各點的最短距離,那么點,時,成立,當2)常見函數的泰勒展開式

6.洛朗級數定理C為圓環(huán)域內繞

的任一正向簡單閉曲線.為洛朗系數.1)函數在圓環(huán)域內的洛朗展開式在圓環(huán)域內的洛朗(Laurent)級數.

某一圓環(huán)域內的解析函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的,這就是f(z)的洛朗級數.根據正、負冪項組成的的級數的唯一性,可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開.(2)間接展開法2)將函數展為洛朗級數的方法(1)直接展開法三、典型例題例1

判別級數的斂散性.解發(fā)散，收斂，例1

判別級數的斂散性.解解收斂收斂例1

判別級數的斂散性.解

由正項級數的比值判別法知絕對收斂.例1

判別級數的斂散性.例2

求下列冪級數的收斂半徑解例3

展開函數成的冪級數到項.解由此得所以解析函數展為冪級數的方法利用定義來求.分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.解例4

求在的泰勒展式.由于例5分析：利用級數的乘除運算較為簡單.解故乘積也絕對收斂.例6設又由泰勒展式的唯一性,又所以解利用待定系數法比較兩端系數得例7分析：利用逐項求導、逐項積分法.解所以例8解利用微分方程法

對上式求導得由此可得故例9分析:利用部分分式與幾何級數結合法.即把函數分成部分分式后,應用等比級數求和公式.解故兩端求導得例10例11解有

同一級數在不同圓環(huán)域內的洛朗級數展開式是不同的.解例12留數一.重點與難點二.內容提要三.典型例題

一、重點與難點重點：難點：留數的計算與留數定理留數定理在定積分計算上的應用二、內容提要留數計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數的零點與極點的關系對數留數留數定理留數在定積分上的應用輻角原理路西原理1）定義

如果函數在

不解析,但在的某一去心鄰域內處處解析,則稱為的孤立奇點.1.孤立奇點的概念與分類孤立奇點奇點2）孤立奇點的分類依據在其孤立奇點的去心鄰域內的洛朗級數的情況分為三類:i)可去奇點;ii)極點;iii)本性奇點.定義

如果洛朗級數中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.i)

可去奇點ii)極點

定義

如果洛朗級數中只有有限多個的負冪項,其中關于的最高冪為即階（級）極點.那么孤立奇點稱為函數的或寫成極點的判定方法在點的某去心鄰域內其中在的鄰域內解析,且的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a)由定義判別(b)由定義的等價形式判別(c)利用極限判斷

.如果洛朗級數中含有無窮多個那么孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,注意:

在本性奇點的鄰域內不存在且不為iii)本性奇點i)零點的定義不恒等于零的解析函數如果能表示成其中在解析且m為某一正整數,那么稱為的

m階（級）零點.3)函數的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系如果是的m級極點,那么就是的

m級零點.反過來也成立.2.留數記作定義

如果的一個孤立奇點,則沿內包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數稱為以1)留數定理

設函數在區(qū)域

D內除有限個孤外處處解析,C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那么立奇點留數定理將沿封閉曲線C積分轉化為求被積函數在C內各孤立奇點處的留數.(1)如果為的可去奇點,則如果為的一級極點,那么a)(2)如果為的本性奇點,則需將成洛朗級數求展開(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則2)留數的計算方法c)設及在如果那么為一級極點,且有都解析，如果為的級極點,那么b)也可定義為記作1.定義設函數在圓環(huán)域內解析C為圓環(huán)域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那么積分值為在的留數.的值與C無關

,則稱此定3)無窮遠點的留數如果函數在擴充復平面內只有有限個孤立奇點,那么在所有各孤立奇點

(包括

點)的留數的總和必等于零.

留數定理23.留數在定積