D3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

第三章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法1.定理1則在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增.證明:任取由lagrange中值定理得在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(2)如果在(a,b)內(nèi)則在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞減.(1)如果在(a,b)內(nèi)(1)若則在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增.(2)若則在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞減.設(shè)函數(shù)例1

討論函數(shù)的單調(diào)性.解:令得在內(nèi)在區(qū)間上單減;函數(shù)的定義域?yàn)樵趦?nèi)在區(qū)間上單增;例2

討論函數(shù)的單調(diào)性.解:時(shí),導(dǎo)數(shù)不存在.在內(nèi)在區(qū)間上單減;函數(shù)的定義域?yàn)樵趦?nèi)在區(qū)間上單增;注：如果如2.確定函數(shù)y=f(x)單調(diào)性的一般步驟則函數(shù)在該區(qū)間上仍單增(或單減).確定函數(shù)f(x)

的定義域;在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零,處均為正(或負(fù)),(1)以這些點(diǎn)(2)的單調(diào)性,從而判定函數(shù)其它點(diǎn)求出使的點(diǎn)和不存在的點(diǎn),為界點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間.(3)確定各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),并求出單調(diào)區(qū)間.例3

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的定義域?yàn)槔?

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得和在區(qū)間函數(shù)的定義域?yàn)闉椴豢蓪?dǎo)點(diǎn).不存在上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減.例5證明:時(shí),證明:即令則在上連續(xù).在內(nèi),則在上單調(diào)遞增,時(shí),時(shí),例6證明:時(shí),證明:即令則在上連續(xù).在內(nèi),則在上單調(diào)遞增時(shí),∴在上單調(diào)遞增時(shí),例7證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根.解:令則在上連續(xù).使得∴在內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0,又曲線和x軸最多有一個(gè)交點(diǎn).即方程至少有一個(gè)實(shí)根.∴在上單增.即方程最多有一個(gè)實(shí)根.∴方程有且僅有一個(gè)實(shí)根.1.定義1在區(qū)間

I

上連續(xù),(1)則稱圖形在I上是(向上)凹的(或凹弧);(2)則稱二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線經(jīng)過點(diǎn)凹凸性如果發(fā)生了改變,若x0是I的內(nèi)點(diǎn),(x0,

f(x0))時(shí),則稱點(diǎn)(x0,

f(x0))是該曲線的拐點(diǎn).若恒有若恒有圖形在I上是(向上)是凸的(或凸弧).定義2設(shè)函數(shù)定理2(1)若在

(a,b)

內(nèi)則f(x)在[a,b]內(nèi)圖形是凹的;(2)若在

(a,b)

內(nèi)則f(x)在[a,b]內(nèi)圖形是凸的.證明:則由lagrange定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),則且記兩式相減得(1)則即則圖形是凹的;(2)則即則圖形是凸的.而若若例1判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在內(nèi),是凸的.函數(shù)的定義域?yàn)槔?判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在內(nèi),函數(shù)的定義域?yàn)樵谑前嫉?故曲線在內(nèi),在是凸的.2確定函數(shù)y=f(x)凹凸性的一般步驟確定函數(shù)f(x)

的定義域;(1)以這些點(diǎn)(2)的凹凸性,從而判定函數(shù)求出使的點(diǎn)和不存在的點(diǎn),為界點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間.(3)確定各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),并求出凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).注:拐點(diǎn)的嫌疑點(diǎn):二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例3求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸函數(shù)的定義域?yàn)闉槎A導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).對(duì)應(yīng)例4求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:令得故該曲線在及上是凹的,是凸的,為拐點(diǎn).凹凹凸函數(shù)的定義域?yàn)樵谏宵c(diǎn)

及證明:當(dāng)時(shí),證明:則例5則曲線在時(shí)是凸弧設(shè)能否利用單調(diào)性證明?時(shí),即證明:當(dāng)時(shí),證明:則例5設(shè)當(dāng)時(shí),時(shí)單減,在

時(shí),即扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證明:∴即△AOB

的面積＜＜△AOD的面積注時(shí)不等式仍成立.設(shè)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)在I上是凹的曲線在I上是凸的曲線思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:單調(diào)增加