《誘導(dǎo)公式》教案與導(dǎo)學(xué)案

《第五三角函數(shù)導(dǎo)公式教案【教材析】本節(jié)主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式六推導(dǎo)過程中涉及到對稱變換充分體現(xiàn)對稱變換思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在練習(xí)中加以應(yīng)用讓學(xué)生進(jìn)一步體會的任意性；綜合六組誘導(dǎo)公式總結(jié)出記憶誘導(dǎo)公式的口訣：“奇變偶不變符號看象限”了解從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的探究過程培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系變化的辯證唯物主義觀點去分析問題的能力誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡、求值中具有非常重要的工具作用，要求學(xué)生能熟練的掌握和應(yīng)用?！窘虒W(xué)標(biāo)與核心素】課程目1.借助單位圓，推導(dǎo)出正弦、余弦第二、三、四、五、六組的誘導(dǎo)公式，能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題2.通過公式的應(yīng)用了解未知到已知復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。數(shù)學(xué)學(xué)素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解六組誘導(dǎo)公式；2.邏輯推理：“借助單位圓中三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出六組誘導(dǎo)公式；3.數(shù)學(xué)運算：利用六組誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明【教學(xué)難點】重點借助單位圓推導(dǎo)出正弦余弦第二四五六組的誘導(dǎo)公式，能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)；難點：解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題．【教學(xué)法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)程】一、情導(dǎo)入

利用誘導(dǎo)公式（一將任意范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到

角后，又如何將[0,2

角間的角轉(zhuǎn)化[0,)

角呢？除此之外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關(guān)系，如關(guān)于坐標(biāo)軸對稱、關(guān)于原點對稱等。那么它們的三角函數(shù)值有何關(guān)系呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察研探.二、預(yù)課本，引入課閱讀課本188-192頁，思考并完成以下問題1.π±α，－α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關(guān)系？2．誘導(dǎo)公式二、三、四的內(nèi)容是什么？3.±α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關(guān)系？4.誘導(dǎo)公式五、六的內(nèi)容是什么？要求生獨立完成小組為單位內(nèi)可商量終選出代表回答問題。三、新探究1.公式一：:終邊相同的角sin(sinsin(k

cos(k

tan(

2.公式二：終邊關(guān)于X軸對稱的角

cos(

tan(

3.公式三：終邊關(guān)于Y軸對稱的角cos(180

tan(180

，tan(

4.公式四任意

終邊都是關(guān)于原點中心對稱的終邊關(guān)于原點

ππππ3ππππ3對稱的角sin

+)=?sinα（cos(+α)=?cosα,（

（+

,5.公式五:終邊關(guān)于直線y＝x對稱的角的誘導(dǎo)公式(公式五)：sin?α)=sin(?α)=cosα；2ccos(90

?α)=cos(?α)=sinα.26、公式六:

π2

＋α型誘導(dǎo)公式(公式六)：sin+α)=sin(+α)=cosα；2ccos(90

+α)=cos(+α)=?sinα.2【說明①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；【方法結(jié)：用誘導(dǎo)式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為[0,2π]內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)。可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值四、典分析、舉一三題型一角求值例1下列各三角函數(shù)式的值：(1)sin(－660°)

27π4

；(3)2cos660°＋sin630°；(4)tan

37π·sin6

36363636【答案】(1)

321；(2)－；(3)0；(4).222【解析】(1)因為－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝

32

.(2)因為

27π3π27π3π2＝6π＋，所以cos＝cos＝－.44442(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)1＝2cos60°－sin90°＝2×－1＝0.2(4)tan

37π5π·sin6π＝tan＋＝tan

ππ331·sin＝×＝.63322解題技巧利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟）利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟：跟蹤訓(xùn)一1．求下列各三角函數(shù)式的值：(1)sin1320°

31π．【答案】(1)－

33；(2)－；(3)-1．22【解析】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)

666π11π化簡9ππ5π22666π11π化簡9ππ5π22＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－

32

.31π5π(2)cos＋＝－cos

π3＝－.62(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝題型二簡、求值例2

sin2πcosπαcosαcos2cosπαsin3παsinπαsinα2

.【答案】見解析.【解析】原式=

sincosαsinαsinαcosαsinαsinαcosα

=

sinαcosα

=tanα解題技巧：(化簡求值的方法用誘導(dǎo)公式化簡求值的方法：1.對于三角函數(shù)式的化簡求值問題，一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則，即先用誘導(dǎo)公式化簡變形，達(dá)到角的統(tǒng)一，再進(jìn)行切化弦，以保證三角函數(shù)名最少2.對于kπ±α和

π2

±α這兩套誘導(dǎo)公式，切記運用前一套公式不變名，而后一套公式必須變名.即“奇變偶不變，符號看象限”.跟蹤訓(xùn)二1.化簡:

cos??-2sin??2

·sin(π-α)·cos(2πα).12．已知cos＋α，求3

sin＋α－αcos

＋的值．2【答案】1.見解析；.3

πcos(-??)πsin012600001000πcos(-??)πsin012600001000【解析】1.原式=2sin(??)2

·sinα·cosα=·sinα·cossinα.cos2.

原式＝

cosαsinαsinαsinα＋＝－sin－sinα＝－2sin.α－sinα1又cos＋，31所以－sinα＝.32所以原式＝－2sinα＝.3題型三值求值例3知in53

?α),且0

<??<0

,求0

α的值.【答案】?.【解析】因為?

<??

，所以1<53?α

,又因為sin(53

?α)=所以5

?α在第二象限.所以c53

?α)=?

26易知53

?α)(0

α)

，所以s37

α)[

?(

?α)]cos(

?)?

26解題技巧給值求值解題技巧）1．給值求值型問題，若已知條件或待求式較復(fù)雜，有必要根據(jù)誘導(dǎo)公式化到最簡，再確定相關(guān)的值．2用相關(guān)角的關(guān)系會簡化解題過程所求角與已知角是否具有互余、互補(bǔ)等特殊關(guān)系.在轉(zhuǎn)化過程中可以由已知到未知也可以由未知索已知.常見的πππ互余關(guān)系有－α，＋α；＋，363ππππ2ππ－α；＋α，－α常見的互補(bǔ)關(guān)系有＋θ，－θ；＋θ，6443343π－θ等．4跟蹤訓(xùn)三

+(-),cos(1.已知cos(-??)=,求cos(ππ3π3+(-),cos(1.已知cos(-??)=,求cos(ππ3π33π3π2π3.23πππ363

+??)的值.【答案】cos(

3

+??)

=-;sin(-)=;(36

+??)=.3【解析】cos(+??)3

=cos(

π3

-??)]=-cos(

23

-??)

=-.3sin(-

π6

)

=sin

-(-??)]23=cos(

23

-??)=.3cos(

43

+??)

=cosπ-(

π3

-??)]=cos(

23

-??)=

33五、課小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板設(shè)計5.3

誘導(dǎo)公公式一

例1

例2

例3公式二公式三公式四公式五公式六總結(jié)（奇變偶不變吧，符號看象限）七、作課本194頁習(xí)題【教學(xué)思】誘導(dǎo)公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系在求任意角的三角函數(shù)值解決有關(guān)的三角變換等方面有重要的作用，特別是誘導(dǎo)公式中的

角可以是任意角，即，

????它在終邊具有某種對稱性的角的三角函數(shù)變換中應(yīng)用廣泛如后續(xù)課中畫余弦曲線就是利用誘導(dǎo)公式把正弦曲線向左平移長度單位而得到的．2誘導(dǎo)式》導(dǎo)案【學(xué)習(xí)標(biāo)】知識目1.借助單位圓，推導(dǎo)出正弦、余弦第二、三、四、五、六組的誘導(dǎo)公式，能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題2.通過公式的應(yīng)用了解未知到已知復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。核心素1.數(shù)學(xué)抽象：理解六組誘導(dǎo)公式；2.邏輯推理：“借助單位圓中三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出六組誘導(dǎo)公式；3.數(shù)學(xué)運算：利用六組誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明【重點難點】重點借助單位圓推導(dǎo)出正弦余弦第二三四五六組的誘導(dǎo)公式，能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)；難點：解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題．【學(xué)習(xí)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本188-192頁，填寫。1.公式一：:終邊相同的角sin(

cos(k

tan(tantan(

ππππ2.公式二：終邊關(guān)于X軸對稱的角cos(

tan(

3.公式三：終邊關(guān)于Y軸對稱的角

cos(180cos(tan(180

，tan(

4.公式四任意對稱的角

終邊都是關(guān)于原點中心對稱的終邊關(guān)于原點sin+)=?sinα（

cos(

+α)=?cosα,（（+

,

5.公式五:終邊關(guān)于直線y＝x對稱的角的誘導(dǎo)公式(公式五)：sin

?α)=sin(

π

?α)=___________；ccos(90

2?α)=cos(?α)=____________.26、公式六:

π2

＋α型誘導(dǎo)公式(公式六)：sin

+α)=sin(

π

+α)=_____________；ccos(90

2+α)=cos(+α)=____________.2【說明①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③記憶方法：“______________________________”；【方法結(jié)：用誘導(dǎo)式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；

432236π11π例2化簡9π432236π11π例2化簡9π②化為[0,2π]內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)?？筛爬椋骸柏?fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值【小試刀】1．(1)sin

25π6

7π＝________；(2)tanπ2．(1)sin；(2)cos330°＝________；3．(1)sin

5π6

＝________1560°＝________.4．(1)sin225°＝________

7π6

＝________.15．(1)若sinα＝，則cos－；34(2)若cosα＝，則sin－5【自主究】題型一

給角求例1下列各三角函數(shù)式的值：(1)sin(－660°)

27π4

；(3)2cos660°＋sin630°；(4)tan

37π·sin6跟蹤訓(xùn)一1．求下列各三角函數(shù)式的值：31π(1)sin1320°．題型二

化簡、值sinπcosπαcos(α22cosπαsin3παsinπαsin(α2跟蹤訓(xùn)二

.

πcos(α-)5π222．已知cos＋α，求012(-),cos(-??)=,求cos(πcos(α-)5π222．已知cos＋α，求012(-),cos(-??)=,求cos(1.化簡:

2·sin(π-α)·cos(2α).sin()2題型三

sin＋α－α13cos給值求

＋

錯的值．例3已知sin53跟蹤訓(xùn)三

?α),且270<??<?90,求05

α的值.1.已知cos(【課堂測】

3ππ

值.1．已

32

，sin(為（）A.

B.—

C.

3D.—22．cos(+α)=—

，<α<2,sin(α)值為（）A.

B.

C.

D.—

3．化簡：12sin(?cos(（）A.2C.sin2

B.cos22D.±cos224．已知tan

3，那么cos

的值是5．求值：2sin(－sin960o+2cos(＝．6．已知方程sin(3)=2cos(4)求答案小試牛

sin(5cos(22sin(

的值。

36336311．(1)(2)1.22．(1)－

33(2).2213．(1)(2)－3.24.(1)－

23(2)－22

.145.(1)(2).35自主探例1答案】(1)

321；(2)－；(3)0；(4).222【解析】(1)因為－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝

32

.(2)因為

27π3π27π3π2＝6π＋，所以cos＝cos＝－.44442(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)1＝2cos60°－sin90°＝2×－1＝0.2(4)tan

37π5π·sin6π＝tan＋＝tan

ππ331·sin＝×＝.63322跟蹤訓(xùn)一1答案】(1)－

33；(2)－；(3)-1．22【解析】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)

666πcos(-??)πsin.666πcos(-??)πsin.＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－

32

.31π5π(2)cos＋＝－cos

π3＝－.62(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝例2答案】見解析.【解析】原式=

sincosαsinαsinαcosαsinαsinαcosα

=

sinαco