高中數(shù)學(xué) 二項(xiàng)式定理性質(zhì) 新人教A選修23

二項(xiàng)式定理(2).復(fù)習(xí)提問

1.二項(xiàng)式定理的內(nèi)容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn01kn右邊多項(xiàng)式叫(a+b)n的二項(xiàng)展開式；2.二項(xiàng)式系數(shù):3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk+1=針對(a+b)n的標(biāo)準(zhǔn)形式而言(b+a)n，(a-b)n的通項(xiàng)則分別為:4.在定理中，令a=1，b=x，則.觀察猜想展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有什么變化規(guī)律？二項(xiàng)式系數(shù)最大的是哪一項(xiàng)？(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-rbr+…+Cnbn01rn為了研究它的一般規(guī)律，我們先來觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？.當(dāng)時(shí)，求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，及二項(xiàng)式系數(shù)的和。.把（a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)取出來，當(dāng)n依次取1，2，3，…時(shí)，可列成下表：(a+b)1→11(a+b)2→121(a+b)3→1331(a+b)4→14641(a+b)5→15101051(a+b)6→1615201561……上面的表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)1在我國,很早就有人研究過二項(xiàng)式系數(shù)表,南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其所著的《詳解九章算法》中就有出現(xiàn)..當(dāng)時(shí)，求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，及二項(xiàng)式系數(shù)的和。

通過觀察，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？二項(xiàng)式系數(shù)求和：.

(a+b)1……………11(a+b)2……………121(a+b)3…………1331(a+b)4………14641(a+b)5……15101051(a+b)6…1615201561性質(zhì)聯(lián)系函數(shù)觀察二項(xiàng)式系數(shù)表，尋求其規(guī)律：

不難發(fā)現(xiàn),表中每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的系數(shù)相等；而且在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和；同一行中系數(shù)先增后減。.(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是:

(1)對稱性:

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．(3)增減性與最大值.增減性的實(shí)質(zhì)是比較的大小.(2)遞推性:

除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和..(3)增減性與最大值.增減性的實(shí)質(zhì)是比較的大小.所以相對于的增減情況由決定．

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。.

還可運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，結(jié)合“楊輝三角”和函數(shù)圖象，研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．

(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是

可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r),其定義域是{0,1,2,…,n},對于確定的n,可以畫出它的圖像。例如：當(dāng)n=6時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)...----------1084621620f(r).....369r.例題分析:

例1．證明：（1）(a+b)n的展開式中,各二項(xiàng)式系數(shù)的和

啟示：在二項(xiàng)式定理中a,b可以取任意實(shí)數(shù)，因此我們可以通過對a,b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問題的一種重要方法——賦值法。令a=b=1，則.1答案2答案繼續(xù)思考1:（2）試證明在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.即證：證明：在展開式中令a=1，b=－1得

小結(jié)：賦值法在二項(xiàng)式定理中，常對a,b賦予一些特定的值1，-1等來整體得到所求。.賦值法.例2.小結(jié)：求奇次項(xiàng)系數(shù)之和與偶次項(xiàng)系數(shù)的和可以先賦值，然后解方程組整體求解思考：.

1.當(dāng)n10時(shí)常用楊輝三角處理二項(xiàng)式系數(shù)問題;2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值;3.常用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)問題.課外思考:1.求證：2.(1﹣x

)13

的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是()(A)第六項(xiàng)(B)第七項(xiàng)（C）第八項(xiàng)(D)第九項(xiàng)C.類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的..思考32答案思考2求證:略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開后比較xn的系數(shù)得：再由得.思考:求證：證明：∵倒序相加法.思考3.在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng);(3)系數(shù)最大的項(xiàng);解:(2)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng).則即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r