統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)第五章

第5章平均指標(biāo)和標(biāo)志變異指標(biāo)

平均指標(biāo)5.1標(biāo)志變異指標(biāo)5.25.1平均指標(biāo)5.1.1平均指標(biāo)的概念和作用

5.1.2算術(shù)平均數(shù)5.1.3調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算5.1.4幾何平均數(shù)5.1.5眾數(shù)5.1.6中位數(shù)5.1.1平均指標(biāo)的概念和作用(一)平均指標(biāo)的含義(二)平均指標(biāo)的特點(diǎn)(三)平均指標(biāo)的作用(四)平均指標(biāo)的種類(一)平均指標(biāo)的含義平均指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，指同質(zhì)總體某一標(biāo)志值在一定的時(shí)間、地點(diǎn)、條件下所達(dá)到的一般水平，是總體的代表值，反映了總體分布的集中趨勢(shì)。例如，平均成績(jī)、平均工資、工人平均勞動(dòng)生產(chǎn)率等都屬于平均指標(biāo)。所謂“平均”，實(shí)質(zhì)上是對(duì)總體分布(變量數(shù)列)的均勻化。最基本的解釋是，對(duì)總體內(nèi)的全部標(biāo)志值進(jìn)行“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，使得總體各單位擁有同一水平的數(shù)量表現(xiàn)。平均指標(biāo)是總體分布的特征值之一。它是總體某一變量數(shù)列的代表值，是事物發(fā)展變化在數(shù)量上的共同表現(xiàn)，它依賴于總體各單位的實(shí)際數(shù)量水平，是對(duì)各數(shù)量標(biāo)志值進(jìn)行抽象概括的結(jié)果。(二)平均指標(biāo)的特點(diǎn)由于平均指標(biāo)是反映各總體單位的一般水平，抽象概括總體數(shù)量特征的指標(biāo)，因此它具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)總體同質(zhì)性。(2)一般代表性。(3)數(shù)量抽象性。(1)總體同質(zhì)性。平均指標(biāo)只能就同類現(xiàn)象計(jì)算，也就是平均指標(biāo)的各個(gè)單位必須具有同類性質(zhì)，這是計(jì)算平均指標(biāo)的基本前提。如果把不同類現(xiàn)象混同起來(lái)計(jì)算平均數(shù)，就會(huì)掩蓋現(xiàn)象間本質(zhì)的差別，所得出的結(jié)論，必然不符合客觀實(shí)際的真實(shí)情況。例如，在研究全國(guó)職工工資收入時(shí)，不能把農(nóng)民收入和個(gè)體經(jīng)營(yíng)者收入包括在內(nèi)加以計(jì)算，否則就會(huì)夸大或縮小全國(guó)職工工資收入水平，以致做出錯(cuò)誤的判斷和結(jié)論。又如在計(jì)算住校大學(xué)生平均每月支出時(shí)，便不能將走讀學(xué)生混入期內(nèi)，否則會(huì)掩蓋二者的區(qū)別，使平均數(shù)失去代表性。(2)一般代表性。平均指標(biāo)以一般水平代表總體各單位數(shù)量標(biāo)志值的具體表現(xiàn)，反映總體某一數(shù)量標(biāo)志的典型水平或代表性水平。例如某車間某班組有6名工人，他們某天在正常條件下的日產(chǎn)量(單位：件)分別為：20、22、23、23、24、26，他們的平均日產(chǎn)量為(21+22+23+23+24+26)÷6=23(件)。這個(gè)23件平均日產(chǎn)量雖然不能說(shuō)明任何一個(gè)工人日產(chǎn)量的實(shí)際產(chǎn)量，但卻把高產(chǎn)量和低產(chǎn)量拉平了，能夠說(shuō)明總體的一般水平，所以，平均日產(chǎn)量可作為全組每個(gè)工人日產(chǎn)量的代表值。(3)數(shù)量抽象性。統(tǒng)計(jì)平均指標(biāo)將總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的各個(gè)差異數(shù)值進(jìn)行抽象，概括地反映這—數(shù)量標(biāo)志在具體時(shí)間、地點(diǎn)、條件下達(dá)到的一般水平，使人們看不到先進(jìn)與落后的差別。例如，某企業(yè)職工的平均工資為960元，但各個(gè)職工的工工資水平有高有低，高于960元和低于960元的工資相互抵消、截長(zhǎng)補(bǔ)短，得出平均工資960元。由此可見(jiàn)，平均數(shù)將被研究對(duì)象總體各單位的標(biāo)志值的數(shù)量差異抽象化了。(三)平均指標(biāo)的作用(1)利用平均指標(biāo)可以將同類現(xiàn)象的一般水平在不同的空間和時(shí)間上進(jìn)行比較。(2)利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。(3)平均指標(biāo)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)重要參數(shù)。(四)平均指標(biāo)的種類平均指標(biāo)有多種不同的計(jì)算方法，因而也有不同的類別。平均指標(biāo)從反映的時(shí)間狀況看，分為靜態(tài)平均指標(biāo)和動(dòng)態(tài)平均指標(biāo)：靜態(tài)平均指標(biāo)是根據(jù)分配數(shù)列計(jì)算得到的，它主要是反映總體各單位在某一時(shí)間內(nèi)或時(shí)點(diǎn)上標(biāo)志值的一般水平。動(dòng)態(tài)平均指標(biāo)是根據(jù)時(shí)間數(shù)列計(jì)算得到的，它主要是反映同一總體在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)展變化的一般水平。本章主要研究的是靜態(tài)平均指標(biāo)。靜態(tài)平均指標(biāo)主要有算術(shù)平均指標(biāo)、調(diào)和平均指標(biāo)、幾何平均指標(biāo)、中位數(shù)和眾數(shù)等。其中前三種平均指標(biāo)都是根據(jù)各單位標(biāo)志值計(jì)算求得，因而稱為數(shù)值平均數(shù)。而中位數(shù)和眾數(shù)卻是根據(jù)標(biāo)志值所在的位置來(lái)確定，所以又稱為位置平均數(shù)。5.1.2算術(shù)平均數(shù)(一)算術(shù)平均指標(biāo)的基本形式(二)算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的區(qū)別(三)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)(四)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(一)算術(shù)平均指標(biāo)的基本形式算術(shù)平均指標(biāo)是統(tǒng)計(jì)中最基本最常用的一種綜合指標(biāo)。它是將總體各單位的標(biāo)志值相加求其算術(shù)總和，然后除以總體單位個(gè)數(shù)而得。其基本公式為：算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量÷總體單位總量利用公式計(jì)算平均數(shù)時(shí)應(yīng)注意：(1)公式的分子和分母存在著密切的關(guān)系，其分子(標(biāo)志總量)是由分母中總體單位本身所具有的某種標(biāo)志值加總而得到的。這是平均指標(biāo)與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)最本質(zhì)的區(qū)別；(2)總體標(biāo)志總量是數(shù)量標(biāo)志值之和，由于品質(zhì)標(biāo)志不能相加，因而不能計(jì)算算術(shù)平均數(shù)；(3)算術(shù)平均數(shù)是一個(gè)有名數(shù)，計(jì)量單位和標(biāo)志值的計(jì)量單位一致。(二)算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的區(qū)別在實(shí)際社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中，某些強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)會(huì)被誤認(rèn)為平均指標(biāo)，如“人均糧食占有量”、“人均鋼產(chǎn)量”等，雖然這類指標(biāo)有“人均”二字，有“平均”的含義，但它們不是平均指標(biāo)，而是強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)，必須弄清二者的區(qū)別。算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的區(qū)別主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：(1)分子、分母資料是否屬于同一總體范圍。平均指標(biāo)的分母、分子是同一總體的單位總量和某一標(biāo)志總量，且分子直接依附于分母；強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的分子與分母本質(zhì)上分別屬于兩種性質(zhì)不同但有聯(lián)系的現(xiàn)象總體；(2)分子與分母數(shù)值是否具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。平均指標(biāo)中分子的標(biāo)志總量就是分母的單位總量中每一單位的標(biāo)志值之和，且各個(gè)標(biāo)志值與各個(gè)單位一一對(duì)應(yīng)。(三)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)在計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)，若掌握的資料是總體各單位的標(biāo)志值，那么就可以將總體各單位的標(biāo)志值簡(jiǎn)單相加求得標(biāo)志總量，然后除以總體單位總量，即得平均數(shù)。這種方法通常稱為簡(jiǎn)單算術(shù)平均法。用公式表示：式中，x代表算術(shù)平均數(shù)；x代表各單位標(biāo)志值；n代表總體單位數(shù)；∑x為求和符號(hào)。(四)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)一般用來(lái)計(jì)算分組資料的算術(shù)平均數(shù)，它是用標(biāo)志值乘以相應(yīng)的各組單位數(shù)求出各組的標(biāo)志總量，并加總求得總體標(biāo)志總量，再除以總體單位總數(shù)即得。設(shè)有n個(gè)標(biāo)志值x1,x2，…，xn,如果以f1,f2，…，fn為各標(biāo)志值的權(quán)數(shù)或次數(shù)，則x的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式為：式中，x代表各組標(biāo)志值；f代表各組單位數(shù)。計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)有兩種情況：一是單項(xiàng)式變量數(shù)列計(jì)算；二是組距式數(shù)列計(jì)算。1.根據(jù)單項(xiàng)式變量數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)由單項(xiàng)式變量數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，是將各組的標(biāo)志值乘以相應(yīng)的各組的單位數(shù)，求出各組標(biāo)志總量，并加總得出總體的標(biāo)志總量，同時(shí)把各組單位數(shù)相加求出總體單位總數(shù)，然后，再用總體單位總數(shù)去除總體標(biāo)志總量，即得算術(shù)平均數(shù)。2.根據(jù)組距式變量數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)如果掌握的是組距數(shù)列資料，其計(jì)算方法與上述方法基本相同，有一點(diǎn)不同的是，組距數(shù)列以各組的組中值作為變量值。利用組中值計(jì)算平均數(shù)有一定的假定性，首先假定各個(gè)組的標(biāo)志值在組內(nèi)的分布式均勻的，但實(shí)際上各組內(nèi)的標(biāo)志值分布不會(huì)絕對(duì)均勻。其次如果組距數(shù)列上下兩組是開(kāi)口組，還假定他們與同臨組組距相仿，這與實(shí)際也有出入，所以根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算出的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)只是近似值。(五)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)和應(yīng)用1.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)2.算術(shù)平均數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算1.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)(1)算術(shù)平均數(shù)與變量值個(gè)數(shù)的乘積等于各變量值之和。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：(2)若將各變量值x均加減上一常數(shù)A，則新平均數(shù)等于原平均數(shù)加減A。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：(3)若將各變量值x均乘以某一常數(shù)i，則新的平均數(shù)等于原平均數(shù)乘以i。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：

(4)各變量值x對(duì)算術(shù)平均數(shù)x的離差之和等于0。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù):加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：(5)各變量值與平均數(shù)離差的平方和最小。2.算術(shù)平均數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算在計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)，有時(shí)由于被平均的標(biāo)志值較大，計(jì)算繁瑣，有必要采用簡(jiǎn)捷法計(jì)算。其基本上思路是：通過(guò)變量值的線性變換，將原變量數(shù)列的標(biāo)志值簡(jiǎn)化，由此簡(jiǎn)化算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算過(guò)程。根據(jù)數(shù)學(xué)性質(zhì)(2)，可把原來(lái)較大的數(shù)值運(yùn)算變?yōu)楹?jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算，所得結(jié)果再變換為數(shù)據(jù)的平均數(shù)。以上數(shù)學(xué)性質(zhì)也可以綜合運(yùn)用，使計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)化。根據(jù)數(shù)學(xué)性質(zhì)(2)、(3)，推導(dǎo)出算術(shù)平均數(shù)的簡(jiǎn)算公式：(六)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)均為計(jì)算算術(shù)平均數(shù)的基本形式。二者的區(qū)別：一是，二者掌握總體單位資料的詳盡程度不同。如果掌握了每一個(gè)總體單位的標(biāo)志值,計(jì)算平均數(shù)時(shí),用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù);如果掌握了總體單位分組的標(biāo)志值及各組的單位數(shù),計(jì)算平均數(shù)時(shí),用加權(quán)算術(shù)平均數(shù);二是，二者的計(jì)算精確程度不同。用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的平均數(shù)是精確值,而用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的平均數(shù)是近似值。二者的聯(lián)系是,當(dāng)各組的權(quán)數(shù)相同時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就變成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。5.1.3調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算(一)調(diào)和平均數(shù)的概念(二)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)(三)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)(四)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系(五)運(yùn)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意的問(wèn)題(一)調(diào)和平均數(shù)的概念調(diào)和平均數(shù)也叫調(diào)和平均指標(biāo)，是根據(jù)標(biāo)志值的倒數(shù)計(jì)算的，它是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，所以，亦稱為倒數(shù)平均數(shù)，用xH來(lái)表示。在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中,由于只有各組標(biāo)志總量和各組變量值,而缺乏總體單位數(shù)資料,不能直接采用算術(shù)平均數(shù)計(jì)算,這時(shí)就需要將算術(shù)平均數(shù)的形式加以改變,按照算術(shù)平均數(shù)基本算式的需要,算出所需總體單位數(shù)，繼而再計(jì)算平均數(shù),這樣就得到另一種平均數(shù)的計(jì)算方法，這就是調(diào)和平均數(shù)。調(diào)和平均數(shù)分為簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。(二)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)這種方法適用于未分組資料或資料雖分組,但各組標(biāo)志總量均相等的情況。根據(jù)上述計(jì)算，可以得出簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：式中：xH為調(diào)和平均數(shù)；x為各標(biāo)志值；n為變量值的個(gè)數(shù)。(三)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)這種方法適用于資料已分組，且各組標(biāo)志總量不相等的情況。其計(jì)算公式為：式中：m代表各組標(biāo)志總量。(四)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系從形式上說(shuō)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的原式存在兩點(diǎn)區(qū)別：一是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)以x為變量，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)則以1x為變量：二是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的權(quán)數(shù)是f，代表次數(shù)(單位數(shù))，而加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)卻是xf，代表標(biāo)志總量。但兩者實(shí)質(zhì)上都是標(biāo)志總量與總體單位數(shù)之比。調(diào)和平均數(shù)可以稱為算術(shù)平均數(shù)的變形。在對(duì)算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的介紹當(dāng)中，可以發(fā)現(xiàn)這樣的特點(diǎn)：在計(jì)算平均指標(biāo)時(shí)，若缺少分子資料時(shí)，既缺少總體的標(biāo)志總量，則適宜采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)；若缺少分母資料時(shí),既缺少總體的單位總量，則適宜采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的方法。(五)運(yùn)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)當(dāng)變量數(shù)列有一變量x為零時(shí)，調(diào)和平均數(shù)公式的分母將等于無(wú)窮大，因而無(wú)法求出一確定的平均值。(2)調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)一樣，易受極端變量值的影響，當(dāng)數(shù)列存在極端大的數(shù)值時(shí)，調(diào)和平均數(shù)增大；當(dāng)數(shù)列存在極端小的數(shù)值時(shí)，調(diào)和平均數(shù)減小。(3)要注意調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的使用條件，因事制宜。5.1.4幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)也叫幾何平均指標(biāo)，是計(jì)算平均比率和平均速度最適用的一種方法,用xG表示，它也有簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)之分。它適合于各變量值之間存在環(huán)比關(guān)系的事物，例如，各年發(fā)展速度之間、流水生產(chǎn)線各車間的產(chǎn)品合格率之間、各年銀行存款利率之間等都存在這種關(guān)系。(一)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)(二)加權(quán)幾何平均數(shù)(一)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)是n個(gè)標(biāo)志值連乘積的n次方根，其計(jì)算公式為：簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)適用于各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)都為一次的情況。(二)加權(quán)幾何平均數(shù)對(duì)于分組資料x(chóng)1,x2,…,xn，若其相應(yīng)的次數(shù)為f1,f2,…,fn，則必須以指數(shù)形式給各變量值加權(quán)，然后求其平均數(shù)。其計(jì)算公式為：綜上分析，由于幾何平均數(shù)是一種特殊的平均數(shù)，所以，在運(yùn)用幾何平均數(shù)時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題:(1)在數(shù)列的標(biāo)志中，若有一個(gè)變量數(shù)值為0，則幾何平均數(shù)等于0；(2)用等比級(jí)數(shù)數(shù)列計(jì)算幾何平均數(shù)不會(huì)受極端值的影響，而用環(huán)比數(shù)列計(jì)算幾何平均數(shù)，則受最初水平和最末水平的影響；(3)在我國(guó)統(tǒng)計(jì)實(shí)務(wù)中，幾何平均法主要用于計(jì)算平均發(fā)展速度，屬于動(dòng)態(tài)平均數(shù)。而計(jì)算靜態(tài)數(shù)列時(shí)，使用較少。5.1.5眾數(shù)(一)眾數(shù)的概念(二)眾數(shù)的確定(一)眾數(shù)的概念眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值，用MO表示。它能夠鮮明地反映數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)。它既不受極端變量值大小的影響，也不受極端變量值位置的影響。在總體單位數(shù)多且有明顯集中趨勢(shì)時(shí)，確定眾數(shù)既方便且意義明確。如總體單位數(shù)較少，或雖多但無(wú)明顯集中趨勢(shì)，就不存在眾數(shù)。變量數(shù)列中有兩個(gè)或幾個(gè)變量值的次數(shù)都比較集中時(shí)，就可能有兩個(gè)或幾個(gè)眾數(shù)，這時(shí)稱為復(fù)眾數(shù)，在實(shí)際工作中應(yīng)用較為普遍，如服裝、鞋帽的尺碼。(二)眾數(shù)的確定1.單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)2.組距式數(shù)列確定眾數(shù)1.單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)對(duì)于單項(xiàng)式數(shù)列，可以根據(jù)定義直接求出。2.組距式數(shù)列確定眾數(shù)對(duì)于組距式數(shù)列，應(yīng)先根據(jù)定義確定眾數(shù)所在的組，然后用眾數(shù)的上限或下限公式求出眾數(shù)的具體數(shù)值。下限公式：上限公式：式中：L為眾數(shù)所在組的下限；U為眾數(shù)所在組的上限；Δ1為眾數(shù)所在組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；Δ2為眾數(shù)所在組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；d為組距。5.1.6中位數(shù)(一)中位數(shù)的概念(二)中位數(shù)的確定方法(一)中位數(shù)的概念中位數(shù)(Me)是指位于總體分布中點(diǎn)位置上的標(biāo)志值。所謂分布中點(diǎn)，意味著有一半單位的標(biāo)志值小于該點(diǎn)的標(biāo)志值，而另—半單位的標(biāo)志值必定大于該點(diǎn)的標(biāo)志值。由此可見(jiàn)，中位數(shù)的大小不受兩端值的影響，也不受各變量變動(dòng)大小的影響，僅受所處位置的影響。由于許多事物的分布均呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，因此，中位數(shù)可以從另一側(cè)面反映次數(shù)分布的集中趨勢(shì)。(二)中位數(shù)的確定方法1.根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)2.根據(jù)分組資料確定中位數(shù)1.根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)對(duì)于未分組的資料x(chóng)1,x2,…,xn進(jìn)行排序后，按下列公式確定眾位數(shù)的位置。中位數(shù)位置=（n+1）÷2式中，n代表數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。如果項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則居于中間位置的那個(gè)變量值就是中位數(shù)。2.根據(jù)分組資料確定中位數(shù)分組資料可以分為單項(xiàng)式變量數(shù)列和組距式變量數(shù)列。(1)對(duì)于單項(xiàng)式變量數(shù)列。首先，要確定中位點(diǎn)∑f/2所在的組，即累計(jì)次數(shù)的半值；其次，找出中位數(shù)所在的組，即含累計(jì)次數(shù)半值的組，該組的變量值就是中位數(shù)。(2)對(duì)于組距式變量數(shù)列。由組距數(shù)列確定中位數(shù)，同樣要先按中位點(diǎn)的公式∑f2,確定中位數(shù)所在的組，然后按照下限公式或上限公式來(lái)計(jì)算中位數(shù)的近似值。中位數(shù)的下限公式：中位數(shù)的上限公式：式中：L為中位數(shù)所在組的下限；Sm-1為中位數(shù)所在組前一組的累計(jì)次數(shù)(其累計(jì)次數(shù)按向上累計(jì)計(jì)算)；fm為中位數(shù)所在組的次數(shù)；d為中位數(shù)所在組的組距；U為中位數(shù)所在組的上限；Sm+1為中位數(shù)組后一組的累計(jì)次數(shù)(累計(jì)次數(shù)按向下累計(jì)計(jì)算)。5.2標(biāo)志變異指標(biāo)5.2.1標(biāo)志變異指標(biāo)概述

5.2.2標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算5.2.1標(biāo)志變異指標(biāo)概述(一)標(biāo)志變異指標(biāo)的概念(二)標(biāo)志變異指標(biāo)的作用(三)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類(一)標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)是用來(lái)說(shuō)明總體各單位的標(biāo)志值之間差異程度的綜合指標(biāo)，也稱為標(biāo)志變動(dòng)度。平均指標(biāo)是將總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的差異抽象化，只反映總體的一般水平與共性，反映的是總體的集中趨勢(shì)，同時(shí)，也掩蓋了總體各單位的數(shù)量差異，不能全面描述總體分布的特征。標(biāo)志變異度指標(biāo)彌補(bǔ)了這個(gè)不足，反映了總體各單位的標(biāo)志值之間的差異性，從另一方面說(shuō)明總體分布的特征，反映的是總體分布的離中趨勢(shì)。因此，兩者緊密聯(lián)系，分別從不同角度分析現(xiàn)象的特征。平均指標(biāo)與標(biāo)志變異指標(biāo)的區(qū)別主要是：(1)前者是抽象變量值之間的差異而成的結(jié)果，后者則是反映變量之間差異而成的結(jié)果；(2)前者反映了總體分布的集中趨勢(shì)，后者反映了總體分布的離中趨勢(shì)。(二)標(biāo)志變異指標(biāo)的作用1.標(biāo)志變異指標(biāo)是衡量平均指標(biāo)代表性大小的重要尺度2.標(biāo)志變異指標(biāo)是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的均衡性與協(xié)調(diào)性的重要指標(biāo)3.標(biāo)志變異指標(biāo)是抽樣方案設(shè)計(jì)的依據(jù)之一(三)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類根據(jù)比較的標(biāo)準(zhǔn)不同，可將標(biāo)志變異指標(biāo)分為三類：1.以標(biāo)志值之間相互比較的方式來(lái)說(shuō)明變異情況2.以平均數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)明標(biāo)志變異情況3.以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)明分配數(shù)列的偏離情況5.2.2標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算(一)全距的概念和特點(diǎn)(二)平均差的概念、特點(diǎn)及計(jì)算(三)標(biāo)準(zhǔn)差的概念、特點(diǎn)及計(jì)算(四)變異系數(shù)的意義和計(jì)算(一)全距的概念和特點(diǎn)全距也叫極差，通常用R表示。它是測(cè)定標(biāo)志變動(dòng)度最簡(jiǎn)單的方法，計(jì)算總體各單位標(biāo)志值中最大值與最小值之差。它表示總體各單位標(biāo)志變動(dòng)度的大小，也反映了總體分散與集中的程度。一般說(shuō)來(lái)，全距大，總體各單位變異程度大；全距小，總體各單位變異程度小。全距=最大的標(biāo)志值-最小標(biāo)志值全距反映總體標(biāo)志變動(dòng)度比較直觀，且計(jì)算簡(jiǎn)單，但其反映總體標(biāo)志變動(dòng)度不是太準(zhǔn)確。(二)平均差的概念、特點(diǎn)及計(jì)算平均差是指各標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。常用A.D表示。其計(jì)量單位與標(biāo)志值的計(jì)量單位相同。由于各個(gè)標(biāo)志值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的離差有正有負(fù)，其和為零。因此需采用離差的絕對(duì)值來(lái)計(jì)算。平均差僅反映總體各單位的標(biāo)志值對(duì)其平均數(shù)的平均離差量。平均差愈大，表明標(biāo)志變異程度愈大；反之，則表明標(biāo)志變異程度愈小。1.對(duì)未分組資料，采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均式A.D=∑x-xn2.對(duì)分組資料，采用加權(quán)算術(shù)平均式A.D=∑x-xf∑f平均差綜合了總體各單位的數(shù)量差異，因此，能全面地反映總體分布的變異程度。但是，它采用絕對(duì)值的方式來(lái)消除離差的正負(fù)號(hào)，不便于代數(shù)運(yùn)算，在數(shù)學(xué)處理上也不夠嚴(yán)密。(三)標(biāo)準(zhǔn)差的概念、特點(diǎn)及計(jì)算1.標(biāo)準(zhǔn)差(σ)的概念2.標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法3.標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)與簡(jiǎn)捷計(jì)算4.是非標(biāo)志標(biāo)準(zhǔn)差1.標(biāo)準(zhǔn)差(σ)的概念所謂標(biāo)準(zhǔn)差就是總體各單位的標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，故又稱為均方根差，簡(jiǎn)稱均方差。標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差。標(biāo)準(zhǔn)差的意義與平均差相同，它也是各個(gè)標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的平均離差。但在數(shù)學(xué)處理上與平均差有所不同，它是采用平方的方法來(lái)消除離差的正負(fù)號(hào)的，因此，它比平均差更能準(zhǔn)確地反映變量數(shù)列之間的離中程度，是統(tǒng)計(jì)中最常用的標(biāo)志變異度指標(biāo)。2.標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算步驟為：首先，求總體各標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)；其次，求總體各標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差；第三，求離差的平方；第四，求各項(xiàng)離差平方的算術(shù)平均數(shù)；第五，對(duì)離差平方