流體力學 第1章

流體力學李忠賢E-mail:lizhongxian@南京信息工程大學大氣科學學院2流體力學是研究流體（宏觀）運動規(guī)律，以及流體與固體之間相互作用等方面的一門學科。水－－液體空氣－－氣體流體地球物理流體海洋大氣自然界的物質(zhì),按照其凝聚態(tài)（或分子平均間距）的不同，可以分為固體、液體和氣體，液體和氣體統(tǒng)稱為流體。第1章流體力學的基礎(chǔ)概念3(1)流動性流體的抗拉強度很小，只有在適當?shù)募s束下才能承受壓力；處于靜止狀態(tài)的流體不能承受任何剪切力作用，即在不論怎樣小的剪切力作用下，流體將發(fā)生連續(xù)不斷的變形，直到剪切力消失時，流體的變形才會停止。流體的這一特性稱之為流動性。1.1流體的主要物理性質(zhì)第1節(jié)流體的物理性質(zhì)和宏觀模型4(2)黏性處于相對運動狀態(tài)流體對剪切形變的阻礙的度量。當流體層之間存在相對運動時，流體就會反抗這種相對運動，使流體漸漸失去相對運動；這種阻礙流體相對運動的特性，稱為黏性。1.1流體的主要物理性質(zhì)第1節(jié)流體的物理性質(zhì)和宏觀模型5(3)壓縮性流體體積在外力作用下可以改變的特性。液體的壓縮性一般情況下很小，可略去不計，可視為不可壓縮流體。例如，水在溫度不變條件下，每增加一個大氣壓，體積減少率為0.005%。但在壓力變化很大或很突然時，則液體的壓縮性必須考慮。氣體的壓縮性一般較大，一般不能當做不可壓縮流體處理。例如，空氣在溫度不變條件下，當壓力由1個標準大氣壓增加到1.1個標準大氣壓時，體積減小率為0.1。真實流體都是可壓縮的，不可壓縮流體是一種抽象的理論模型，是對流場中體積（密度）變化較小的實際流體的一種近似。1.1流體的主要物理性質(zhì)第1節(jié)流體的物理性質(zhì)和宏觀模型6

在普通物理的質(zhì)點力學中，通常把實際物體抽象概括為“質(zhì)點”這樣一個理論模型，較簡便地研究物體的運動規(guī)律。

流體力學中也需要把實際流體抽象概括為一個宏觀理論模型，再來討論它的運動規(guī)律。這里理論模型不是質(zhì)點力學中的“質(zhì)點”，而是下文所介紹的連續(xù)介質(zhì)。

7實際流體是由無數(shù)流體分子（2.7X1019/cm3）構(gòu)成的不連續(xù)的離散系。若以單個分子為研究對象，由于其運動的隨機性，相應的物理量（如分子速度）隨時間作隨機變化，同時由于分子間存在間距，則物理量（如分子速度）在空間上存在不連續(xù)性。因而將流體視為分子構(gòu)成的粒子系求解流體運動方程是不可能的。1.2流體的連續(xù)介質(zhì)假設日常生活中所指的流體運動，屬于經(jīng)典力學范疇的宏觀運動，它并不要求涉及分子運動和分子的微觀結(jié)構(gòu)。連續(xù)介質(zhì)假設：把離散分子構(gòu)成的實際流體抽象為由無數(shù)流體質(zhì)點沒有空隙的連續(xù)分布而構(gòu)成的連續(xù)介質(zhì)這樣一種理想的物理模型。使用這一模型可以簡化流體運動的數(shù)學分析，描述流體物理性質(zhì)的各種物理量均視為時間和空間的連續(xù)函數(shù)，可直接應用牛頓定律及相應的數(shù)學工具（如，微積分）。89流體質(zhì)點，是宏觀質(zhì)點，每一個質(zhì)點均包含大量分子，流體質(zhì)點所具有的宏觀物理性質(zhì)是所含分子相應物理性質(zhì)的統(tǒng)計平均。在微觀上足夠大，以保證流體質(zhì)點中包含足夠多的分子，對它們進行統(tǒng)計平均能取得穩(wěn)定的宏觀量值，不會因少量分子出入流體質(zhì)點而影響該宏觀量值；同時，又要求宏觀上充分地小，要求流體質(zhì)點的線尺度和流動范圍相比要充分地小，以致可以把流體質(zhì)點近似地看成在幾何沒有維度的點。流體質(zhì)點10例如，在通常條件下，1cm3的空氣中含有2.7x1019個分子。因此，取10-3cm為邊長的立方體作為流體質(zhì)點，它對于一般流動規(guī)模已是充分地小，可當作一點（宏觀上充分?。?，而它還含有2.7x1010個分子，可認為它在微觀上充分大，足夠具有確定的統(tǒng)計平均效應。對于大多數(shù)情況的流體，一般均可以當做連續(xù)介質(zhì)來考慮，但對稀薄氣體運動或空氣動力學中的激波區(qū)則流體連續(xù)介質(zhì)模型不能使用。在50km左右（平流層頂以下）的高空大氣，仍然可以作為連續(xù)介質(zhì)。本課程僅討論連續(xù)介質(zhì)模型適用的情況。1112(1)拉格郎日(Lagrange)方法（隨體觀點）該方法觀察流體運動的出發(fā)點是設法描述每一個流體質(zhì)點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化的規(guī)律。第2節(jié) 流體的速度和加速度2.1描寫流體運動的兩種方法13考慮確定的參考系，取流體質(zhì)點的位置矢徑為，且可以表示為：Oxyz笛卡爾坐標系如果x,y,z在流體域內(nèi)連續(xù)取值，則上式就描述了流體域所有流體質(zhì)點的位置。14假定某一流體質(zhì)點的初始時刻位置位于點：則該流體質(zhì)點不同時刻的位置矢徑為，可以表示為：分量形式：變量x,y,z為Lagrange變量。15Lagrange觀點下有： 據(jù)速度的定義，求位置矢量隨時間的變化率，即：Lagrange觀點下流體運動的速度16例1-2-1已知Lagrange變量，求流體運動的速度。17(2)歐拉(Euler)方法（場的觀點）該方法觀察流體運動的出發(fā)點是設法描述任意瞬時流體質(zhì)點的物理量(例如，溫度、壓強、速度矢量等)在空間場的分布。18

流體運動的流速矢量是空間和時間的函數(shù):分量形式：Euler觀點下流體運動的速度場19分量形式：上式通常稱為流速場或流場。Euler觀點下流體運動的速度場變量u,v,w為Euler變量。20若某時刻流場不隨空間變化-----------均勻流場；反之，為非均勻流場；若流場不隨時間變化-----------定常（穩(wěn)定）流場；反之，為非定常（不穩(wěn)定）場。幾個與流場有關(guān)的基本概念Euler觀點下流體運動的速度場21例1-2-2已知Lagrange變量，其中均為常數(shù),且，求流體運動的加速度。2.2流體運動的加速度加速度是指流體質(zhì)點的速度矢量隨時間的變化率，即：22已知Euler變量，求流體運動的加速度場例如流體速度場如下：Euler觀點下的流體運動的加速度場23求解Euler觀點下的流體運動的加速度場24引入那勃勒算子25定義微商算符：上式適用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如溫度、氣壓等標量。26物理意義？27微商算符的常用形式：①②③普通情況下：

物理量的局地變化由兩部分組成，個別變化和平流變化。28流體運動加速度場產(chǎn)生的原因流體運動加速度場產(chǎn)生的原因：流場的非定常性和非均勻性。定常流場均勻流場29例題1-2-3已知流體運動的速度場如下，分別求流體運動的加速度場；并說明各種情況下產(chǎn)生加速度的原因。（a為常數(shù)）；（m、n為常數(shù)）；

①②③30例題1-2-4已知流體運動的速度場，求流體運動的加速度場。31第3節(jié)跡線和流線流體運動的物理圖象？直觀和形象地描述流體的運動情況跡線和流線的概念引入323.1跡線用拉格朗日方法描述流體的流動時，流體質(zhì)點在流動過程中所形成的軌跡，稱為流體質(zhì)點的跡線。每個流體質(zhì)點都具有自己的跡線。同一空間點，在不同瞬時，可能為不同的流體質(zhì)點所占據(jù)，因此，不同流體質(zhì)點的跡線在空間相互間是可能相交的。33參數(shù)方程跡線消去參數(shù)t跡線-----拉格郎日(Lagrange)變量密切相關(guān)34例1-3-1假設流體運動的Lagrange變量為：解：消去參數(shù)t，即可得跡線方程：

求跡線方程？35為了用幾何的方法來表示流動流體的速度場，在某一瞬時t，可以在流動流體所占據(jù)的空間中畫出一系列曲線，使得曲線上的每一點的切線方向正好與該時刻該處的流速方向相同，這樣的曲線，稱為該瞬時的流線。3.2流線362015年1月1日00時的流線。2015年2月1日00時的流線。37同一瞬時，每個空間點上均只可能有一個流體速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于無窮大這兩種特殊情況下，同一瞬時的流線在空間是不可能相交的。非定常流場的局地速度是隨時在變化的，因此，其流線是隨時變化的空間曲線。38式中x、y、z、t為四個相互獨立的變量，積分時將t作常數(shù)處理。積分流線設為流線的線元矢量：流線的求解39例1-3-2已知流體運動的速度場如下：求出t=0時刻，過點M（1,1）的流線方程。40下列有關(guān)流線的描述正確嗎？定常流場流線不隨時間變化流線不隨時間變化定常流場41定常流動即流體質(zhì)點經(jīng)過某固定空間位置時流速是相同的，其流線是一些不隨時變化的空間曲線，而且其每條流線上的所有流體質(zhì)點的跡線均和這條流線相重合。42例1-3-3流體運動的速度場由Euler變量表示為：

其中k為常數(shù)：（1）求流線方程；（2）請問同一地點不同時刻流速是否相同？同一流體質(zhì)點不同時刻的流速是否相同？

(3)求出t=0時刻，過點（a，b，c）的跡線方程。43第4節(jié)速度分解剛體運動的速度構(gòu)成：經(jīng)典力學中，剛體運動的速度剛體上任一質(zhì)點A的速度VA可以分為隨同剛體上任意一點M0的平動VM0和繞M0的相對轉(zhuǎn)動線速度。有平動和轉(zhuǎn)動速度44流動性和壓縮性等形變流體運動的速度構(gòu)成平動、轉(zhuǎn)動亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解為平動速度、轉(zhuǎn)動線速度和形變線速度三部分。45選擇參考點及鄰近一點某瞬時t，以位于流動流體中的任意一個空間點M0處的流體質(zhì)點為基點，對流體微團內(nèi)的任意一個與M0點的相對失徑為處的流體質(zhì)點M的流動速度進行速度分解。46某瞬時t4748定義:49y方向作類似處理：50z方向作類似處理：51亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解為平動速度、轉(zhuǎn)動線速度和形變線速度三部分。52形變張量矩陣53流體轉(zhuǎn)動的角速度54剛體運動：轉(zhuǎn)動是作為一個整體來進行的；

流體運動：流體的轉(zhuǎn)動角速度是一個局地量，流體域內(nèi)各點可以以不同的角速度轉(zhuǎn)動。

55例1-4-1已知流場：其中m為常數(shù)，計算坐標原點O附近點的轉(zhuǎn)動線速度和形變線速度。O56第5節(jié)渦度、散度和形變率引進其他的物理量，表征流體質(zhì)點在運動過程中的各種特征。流體質(zhì)點運動位置變化形狀大小變化流體質(zhì)點自身可以旋轉(zhuǎn)。575.1渦度定義渦度矢為矢量微商符和速度矢的矢性積，即：①渦度的定義58表示流體沿閉合曲線流動趨勢的程度。②渦度的物理意義首先引入速度環(huán)流的概念在流體中取任一閉合曲線,

沿閉合曲線對該曲線上的每一點的流速分量求和：59應用斯托克斯（Stokes）公式，線積分曲面積分：60當閉合曲線l向內(nèi)無限收縮（閉合曲線所圍面積趨向零）渦度是度量流體旋轉(zhuǎn)程度的物理量。表示流體沿閉合曲線流動趨勢的程度。61③渦度與流體旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系例1-5-1流體質(zhì)點在xoy平面上圍繞oz軸作逆時針圓周運動（假設旋轉(zhuǎn)角速度大小為a），其流速與流體質(zhì)點到oz軸的距離成正比，試求流體的渦度場。

62④與渦度有關(guān)的幾個問題：A直線有旋運動B無旋圓周運動C有旋圓周運動63例1-5-2已知流體運動的速度場為，求流體運動的渦度。

645.2散度定義散度為矢量微商符和速度矢的數(shù)性積，即：①散度的定義65為了說明散度的概念及意義，引入流體通量F②散度的物理意義σ為流體中的任一封閉曲面上式表示單位時間內(nèi)經(jīng)整個閉合曲面的流體體積通量66流體散度即為單位體積的流體通量。當曲面面元向內(nèi)無限收縮時，即體積元趨于零：應用奧—高公式，將以上曲面積分轉(zhuǎn)化為體積分，則有：Ostrovski-Gaussformula67流體凈流出源(輻散)

流體凈流入?yún)R(輻合)場的觀點若流體中的任一封閉曲面為幾何面時：散度的物理意義（一）：68封閉曲面向外膨脹

封閉曲面向內(nèi)收縮流體中的任一封閉曲面為流體質(zhì)點組成的物質(zhì)面時：體現(xiàn)了流體體積的變化。散度的物理意義（二）：69例1-5-3已知流體二維速度場為，分別計算渦度和散度。70①法形變率法形變率（線形變率）：即單位長度的速度變化率（單位長度單