數(shù)字信號第一章

第一章時域離散信號和系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列1.2線性移不變系統(tǒng)1.3線性常系數(shù)差分方程1.4連續(xù)時間信號的采樣一.序列1.信號及其分類(1).信號信號是傳遞信息的函數(shù),它可表示成一個或幾個獨立變量的函數(shù)。如，f(x);f(t);f(x,y)等。(2).連續(xù)時間信號與模擬信號在連續(xù)時間范圍內(nèi)定義的信號,幅值為連續(xù)的信號稱為模擬信號,連續(xù)時間信號與模擬信號常常通用。1-1離散時間信號-序列(3).離散時間信號與數(shù)字信號時間為離散變量的信號稱作離散時間信號；而時間和幅值都離散化的信號稱作為數(shù)字信號。nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012對信號我們主要討論數(shù)字信號的變換DFT——離散序列的傅里葉變換；FFT——快速傅里葉變換；ZT——序列的Z變換；DFS——周期序列的傅里葉級數(shù)；DTFT——序列的傅里葉變換；DCT——離散余弦變換；FCT——快速離散余弦變換；2.序列

離散時間信號又稱作序列。通常，離散時間信號的間隔是均勻的，所以可用x(n)表示序列﹛x(n)﹜。x(n)具有兩重意義：既代表一個序列，又代表序列中第個數(shù)值。需要特別說明，這里的x(n)僅對n為整數(shù)時才有定義,對于非整數(shù)的n，x(n)沒有意義，把它理解為零也不正確。

例:就默認序列是從n=0開始。式中小箭頭表示n=0時所對應的樣值，若無小箭頭或x2(n)={3522}x1(n)={11/21/41/8}n0

=(1/2)nx2(n)=3522n=0n=1n=2n=

1值的大小，有時為了描述序列的一般規(guī)律（變化趨勢），01234之間的關系。序列也常用譜線狀的圖形表示，以線段的長短表示序列也將端點用虛線（包絡線）聯(lián)起來，以方便觀察序列值x(n)n二.幾種常用序列1.單位樣值序列(單位沖激)

(n)n101234┅2.單位階躍序列...0123-1nu(n)3.矩形序列...012N-1-1n314.實指數(shù)序列5.復指數(shù)序列6.正弦型序列

其中，ω0為數(shù)字頻率。對模擬正、余弦信號采樣可以得到正、余弦序列。T為采樣周期

x(n)=x(nT)=sin(n0T)

=

sin(n0)例x(t)=sin(0t)其中0

=

0T為數(shù)字域頻率

數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率取歸一化值，即：推廣到一般：正、余弦序列的一般表示為=

T=/fs注:例：（1）x(n)=cos(n0)，若0

=/5，

2N=/5=10（2）sin(n0)，若0

=8/3，N=3令n=0，1，2，3，4，（3）sin(n0)，若0

=1/4，2/0

=/2sin(n0)=[0,0.2474,0.47943,0.68184,0.84147,0.94898,]7.用單位抽樣序列表示任意序列8.序列的能量

x(n)的能量定義為

1.序列相加2.序列相乘標量乘以序列對應項相加形成新的序列序列的每一項乘以標量對應項相乘形成新的序列y(n)=x1(n)+x2(n)y(n)=x1(n)x2(n)ax(n)=a{x(n)}二.序列的運算與變換

3、移序或移位y(n)是原序列x(n)每項左移m位形成的序列。y(n)=x(nm)y(n)是原序列x(n)每項右移m位形成的序列。y(n)=x(n+m)m>04、折疊x(n+m)逐項右移（時延）m位x(nm)逐項左移（時延）

m位{y(n)}=x(n)y(n)是將x(n)以縱軸為對稱軸翻轉(zhuǎn)形成的序列。折疊位移序列y(n)=x(n±m(xù))5.尺度變換（1）抽?。簒(n)x(mn),

m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(2n)，相當于每兩個點取一點形成的；即時間軸壓縮了2倍。以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(n/2)，相當于兩個點之間插一個點形成的，即時間軸擴展了2倍；以此類推。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。6.累加和某一序列為x(n),則x(n)的累加序列

y(n)定義為

即表示n以前的所有x(n)的和。7.差分前向差分（先左移后相減）：后向差分（先右移后相減）：？差分的運算：8.卷積和（1）卷積的定義及計算方法：設序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為卷積和計算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。要記?。旱缺燃墧?shù)前n項和公式。例：求：解：1.翻褶.以m=0為對稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對應序號相乘，相加得y(0)；2.位移一個單元，對應序號相乘，相加得y(1)；3.重復步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亞變量坐標m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1對應相乘，逐個相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/2（2）卷積的性質(zhì)1）交換律x1(n)x2(n)=

x1(m)x2(nm)m==x2(m)x1(nm)=x2(n)x1(n)

m=2）分配律x1(n)[x2(n)+x3(n)]=x1(n)x2(n)+x1(n)x3(n)3）結(jié)合律x1(n)x2(n)x3(n)=x1(n)[x2(n)x3(n)]=[x1(n)x2(n)]x3(n)=x2(n)[x1(n)x3(n)]4)任意序列與(n)卷積5）任意序列與u(n)卷積(n)x

(n)=x(n)(nm)x

(n)=x(nm)u(n)x

(n)=

x(k)k=n4）卷積的移序y(n+m)=x1(n+m)x2(n)=x1(n)x2(n+m)

y(nm)=x1(nm)x2(n)=x1(n)x2(nm)

y(n+m1+m2)=x1(n+m1)x2(n+m2)

y(nm1m2)=x1(nm1)x2(n

m2)

1-2線性移不變系統(tǒng)系統(tǒng)實際上表示對輸入信號的一種運算，所以離散時間系統(tǒng)就表示對輸入序列的運算，即x(n)離散時間系統(tǒng)

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]

設系統(tǒng)具有：

那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。

一.線性系統(tǒng)二.移不變系統(tǒng)

如T[x(n)]=y(n),則T[x(n-m)]=y(n-m),滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作移不變系統(tǒng)。即系統(tǒng)對輸入信號的運算關系在整個運算過程中不隨時間改變，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應與輸入信號加入系統(tǒng)的時間無關。

*移（時）不變例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不變系統(tǒng).解：因為T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是移不變系統(tǒng).

例:判斷下列系統(tǒng)是否為線性非移變系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)；是非移變系統(tǒng)。=y(nn0)(1)

y(n)=T[x(n)]=ex(n)(2)

y(n)=T[x(n)]=nx(n)=

[y(n)]a解(1)

T[ax(n)]=eax(n)=[ex(n)]aay(n)T[x(nn0)]=ex(nn0)y1(n)=T[x1(n)]=nx1(n)

=anx1(n)+bnx2(n)=ay1(n)+by2(n)y2(n)=T[x2(n)]=nx2(n)

=n[ax1(n)+bx2(n)]T[ax1(n)+bx2(n)]是線性系統(tǒng)；T[x(nn0)]=nx(nn0)

y(nn0)是移變系統(tǒng)。=(nn0)x(nn0)(2)令三.單位抽樣響應與卷積和1.線性移不變系統(tǒng)具有移不變特性的線性系統(tǒng)。2.單位抽樣響應h(n)

當線性移不變系統(tǒng)的輸入為δ(n)，

其輸出h(n)稱為單位抽樣響應，即

h(n)=T[δ(n)](n)h(n)T[δ(n)]線性移不變系統(tǒng)

h(n)x(n)y(n)3.卷積和

y(n)=x(n)*h(n)四.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.交換律

2.結(jié)合律3.對加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)[例]：已知兩線性移不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位抽樣響應分別為

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,當輸入x(n)=u(n)

時，求輸出。[解]：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)五.因果系統(tǒng)某時刻的輸出只取決于此刻以及以前時刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。*系統(tǒng)輸出變化不會發(fā)生在輸入變化之前；*實際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)；*y(n)=x(-n)是非因果系統(tǒng),因n<0的輸出決定n>0的輸入;線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0。六.穩(wěn)定系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是1-3常系數(shù)線性差分方程

一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：

或*常系數(shù)：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常數(shù)（不含n）.*階數(shù)：y(n)變量n的最大序號與最小序號之差，如N=N-0.*線性：y(n-k),x(n-m)各項只有一次冪,不含它們的乘積項。一.差分方程的建立

LTI離散系統(tǒng)的基本運算有延時（移序），乘法，加法，且系統(tǒng)的激勵和響應是時間的離散值，因此系統(tǒng)的數(shù)學模型需采用差分方程來描述。1.加法器x1(n)y(n)x2(n)+2.乘法器ax(n)y(n)3.單位(時間)延遲器x(n)y(n)二.差分方程的解法解差分方程的方法有三種，它們是遞推法（迭代法）、經(jīng)典法和變換域法。其中只有遞推法適合用計算機求解。1.時域經(jīng)典法（當系統(tǒng)階數(shù)較高或激勵較復雜時，適用經(jīng)典法。

）差分方程特征方程：齊次解：非重根時的齊次解L次重根時的齊次解共軛根時的齊次解特解：自由項為的多項式

則特解為自由項含有且不是齊次根，則特解自由項含有且是單次齊次根，

則特解自由項含有且是K次重齊次根 則特解特解：自由項為正弦或余弦表達式

則特解為是差分方程的特征方程的m次重根時，

則特解是完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù)，于是得到完全解的閉式。齊次解特解的形式代入差分方程特解完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù)，得到完全解的閉式2.用迭代法求解差分方程例1.設因果系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，輸入信號x(n)=δ(n)，求輸出信號y(n)。當差分方程階次較低時常用此法解該系統(tǒng)差分方程是一個一階差分方程，需要一個初始條件。下面假設兩種初始條件，順便分析初始條件對輸出的影響。

(1)設初始條件：

y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=ny(n)=an(2)設初始條件:y(-1)=1n=0y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=ny(n)=(1+a)an最后得到:y(n)=(1+a)anu(n)

例２.設系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，輸入信號x(n)=δ(n)。已知當n>0時，y(n)=0，求輸出信號y(n)。 解因為例題中已假設n>0時,y(n)=0，只能向n<0方向遞推，先把差分方程寫成下面形式:y(n-1)=a-1［y(n)-δ(n)］n=1y(0)=a-1［y(1)-δ(1)］=0n=0y(-1)=a-1［y(0)-δ(0)］=-a-1n=-1y(-2)=a-1［y(-1)-δ(-1)］=-a-2…

按照上面遞推規(guī)律，歸納得到y(tǒng)(n-1)=-an-1，再用n代替式中的n-1，將最后的結(jié)果寫成

y(n)=-anu(-n-1)觀察上式，由于初始條件限制，確實得到的是一個非因果的輸出信號。 例３.設因果系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，y(-1)=1，試分析該系統(tǒng)是否是線性、時不變系統(tǒng)。

解為了分析系統(tǒng)是否具有線性、時不變性質(zhì)，在上面假設的初始條件下，先分別求出系統(tǒng)對于以下三種不同輸入信號的輸出，然后再分析判斷。

(1)x(n)=δ(n),系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。 y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)

該情況在例1中已求出，系統(tǒng)的輸出為

y1(n)=(1+a)anu(n)

(2)x(n)=δ(n-1),系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)n=0y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=an=1y2(1)=ay2(0)+δ(0)=1+a2n=2y2(2)=ay2(1)+δ(1)=(1+a2)a…ny2(n)=(1+a2)an-1最后得到：y2(n)=(1+a2)an-1

u(n-1)+aδ(n)

(3)x(n)=δ(n)+δ(n-1),系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。

y3(n)=ay3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)

n=0y3(0)=ay3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a

n=1y3(1)=ay3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2

n=2y3(2)=ay3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+a2)a …

ny3(n)=(1+a+a2)an-1

最后得到： y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)δ(n) 由(1)和(2)得到：

y1(n)=T［δ(n)］

y2(n)=T［δ(n-1)］

y1(n)=(1+a)anu(n)

y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+aδ(n)

觀察y1(n)和y2(n)，它們的輸入信號類型相同，只是y2(n)的輸入信號比y1(n)輸入信號延時一個單位;如果是時不變系統(tǒng)，y2(n)比y1(n)只是延時一個單位，但是

y2(n)≠y1(n-1)因此可斷言這是一個時變系統(tǒng)。情況(3)的輸入信號是情況(1)和情況(2)輸入信號的相加信號，如果是線性系統(tǒng)，應具有線性疊加性質(zhì)，但是y3(n)=T［δ(n)+δ(n-1)］y3(n)≠y1(n)+y2(n)y3(n)≠T［δ(n)］+T［δ(n-1)］

因此該系統(tǒng)也不是線性系統(tǒng)。但是如果將該例的初始條件改為y(-1)=0，這時對應于上面的三種情況的輸出信號為y1(n)=anu(n)y2(n)=an-1u(n-1)y3(n)=(1+a)an-1u(n-1)+δ(n)=an-1u(n-1)+anu(n-1)+δ(n)=an-1u(n-1)+anu(n)例:已知常系數(shù)線性差分方程為

y(n)-ay(n-1)=x(n)，試求單位抽樣響應h(n).解：因果系統(tǒng)有h(n)=0,n<0;方程可寫作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)

1.一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。2.我們討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。注意：

對信號進行時間上的離散化，這是對信號作數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。研究內(nèi)容：信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化）信號內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號）由離散信號恢復連續(xù)信號的條件

采樣的這些性質(zhì)對離散信號和系統(tǒng)的分析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采樣過程。

1-4連續(xù)時間信號的抽樣一、時域采樣離散樣值，如下圖所示。采樣就是利用“采樣器”，從連續(xù)信號中“抽取”信號的時域采樣是用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號的重要環(huán)節(jié)。xs(t)x(t)采樣器0xs(t)t0x(t)t1.采樣過程離散的樣值函數(shù)通常稱為“采樣”信號?！安蓸印币卜Q表示。采樣信號在時間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號，還須經(jīng)量化編碼轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。所以數(shù)字信號是時間離散化，樣值量化并被編碼的信號?！叭印?、“抽樣”。采樣信號是離散信號，一般用xs(t)b最簡單的采樣器如上圖所示，是一個電子開關。電子開關的作用，可以用一個如上圖b所示的乘法器開關接通，信號通過，開關斷開，信號被短路。而這個等效。乘法器輸出為零，等效為開關斷開，信號通不過去，圖中的p(t)是周期性開關函數(shù)。當p(t)為零時，xs(t)x(t)axs(t)x(t)p(t)p(t)0時信號通過。

實際抽樣：tp(t)0tTp(t)為脈沖序列…理想抽樣：tt…（沖激序列）周期開關函數(shù)p(t)的傅氏級數(shù)為對上式取傅氏變換，得到周期開關函數(shù)p(t)的頻譜此時頻譜應為二者的卷積，即因為xs(t)是x(t)與p(t)的乘積，由頻域卷積定理可知，p(t)=Pnejnstn=P()=F[p(t)]=F[

Pnejnst]n==

PnF[ejnst]n==2

Pn(ns)n=將得到Pn為加權(quán)系數(shù)。xs(t)Xs()

=2X()P()1Xs()

=2X()12

Pn(ns)n==

PnX(ns)n=上式表明，時域采樣信號頻譜

Xs()，是原信號頻譜X

()以采樣角頻率

s為間隔的周期重復，其中在理想取樣情況下，不難推出序列的頻譜函數(shù)。=

(tnT)n=p(t)

=T(t)式中，

T=2/s是取樣周期Xs(j)xs(t)

=x(t)

T(t)s為取樣角頻率

=

x(nT)

(tnT)n=xs(t)Xs

()所以可得Pn=(t)ejnstdt=T/2T1T/2=

PnX(ns)n==

X(ns)n=T1[

+X(+s)+X()+X(s)+]

T1=n=0

n=1

n=1T1是常數(shù)1/T

。上式表示，理想采樣的頻譜

Xs()，是原信號頻譜X()的加權(quán)周期重復，其中周期為

s，加權(quán)系數(shù)[

+X(+s)+X()+X(s)+]

T1Xs

()=理想采樣信號與頻譜如圖所示。01X()mm0x(t)t…(1)0…p(t)T2Tt…0xs(t)2TTt……Xs()ssmm1/T……P()sss如果從調(diào)制的角度分析可以認為X()是基帶頻譜，譜Xs()是由基帶頻譜與各次諧波調(diào)制頻譜組成的。而X(±s)是一次諧波調(diào)制頻譜，X(±2s)是二次諧波調(diào)制頻譜，以此類推。這樣，理想采樣的頻m1m1mmXs()m<s

/2m<s/2<m1

X(j)0……ssmm2s

1/Ts

20m=s/2ssmm2s

1/Ts

2Xs()0X(j)有混疊的重復。s/2<m1

x(t)為一限帶信號，最高頻率m

s/2，則Xs(j)是X(j)沒有混疊的重復，若最高頻率m>

s/2，則是Xs()0ss2ss

2m1m1

1/T2.取樣定理定。對于一個帶限信號，其取樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍，這就是奈奎斯特取樣頻率?；騧

s/2s2mT=1/fs

1/2fm一個頻譜受限的信號x(t)，其最高頻率為fm，可以用不大于T=1/(2fm)的時間間隔進行抽樣的抽樣值唯一地確

實際工作中，考慮到有噪聲，為避免頻譜混淆，采樣頻率總是選得比兩倍信號最高頻率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同時，為避免高于折疊頻率的噪聲信號進入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個保護性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于S/2頻率分量進入。例:確定信號x(t)=Sa(50t)的奈奎斯特頻率。解x(t)=Sa(50t)

，利用傅里葉變換的對稱性可得式中g(shù)100

()是中心在原點，寬度為100，幅度為1的門函數(shù)。即X(j)是最高角頻率為m=50rad/s的

501/50

>500X(j)=g100

()501=的奈奎斯特頻率fs=50Hz。矩形頻譜函數(shù)，信號的最高頻率fm=25Hz，所以x(t)二、原信號的恢復（插值）對采樣我們所討論的是采樣信號與被采樣信號頻譜之間的插值所要討論的問題是與之相逆的問題，即是已知在號的頻譜是被采樣信號頻譜沒有重疊的周期重復。信息。從頻譜分析可見，當滿足奈奎斯特頻率時，采樣信關系。由此可知采樣信號是否不失真地包含被采樣信號的系。即如何從xs(t)恢復x(t)。

基帶內(nèi)Xs(j)等于X(j)，討論它們時域信號對應的關中恢復原信號,其中低通的截止頻率應滿足：通過一個基帶濾波器（低通），可以提取x(t)H()是理想低通濾波器,可以從滿足采樣定理的xs(t)

CT式中H(j)=0

>CXs()

H()

=X()m≤c≤sm

圖

由理想低通恢復原信號的過程xs(t)x(t)

h(t)0xs(t)t0x(t)tT0H()cc0X()mm0……Xs()mm采樣信號通過此濾波器后，就可濾出原信號的頻譜：

也就恢復了模擬信號：

實際上，理想低通濾