廈門市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,當(dāng)時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.2.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.43.對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績(單位:分)進行統(tǒng)計得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析.①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性,故平均成績?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步.其中正確的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.14.已知拋物線y2=4x的焦點為F,拋物線上任意一點P,且PQ⊥y軸交y軸于點Q,則的最小值為()A. B. C.l D.15.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.6.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù),則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.7.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.8.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.89.已知為坐標(biāo)原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.10.若的展開式中的系數(shù)之和為,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.111.已知雙曲線的左右焦點分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.12.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)已知,且,則的值是____________.14.已知是拋物線上一點,是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點,則的最小值為________.15.已知數(shù)列的前項和為,且滿足,則______16.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點,若,則的值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)實數(shù)為的最小值,若實數(shù),,滿足,求的最小值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設(shè),求三棱錐的體積.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.20.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點,且,求r的值.21.(12分)在直角坐標(biāo)平面中,已知的頂點,,為平面內(nèi)的動點,且.(1)求動點的軌跡的方程;(2)設(shè)過點且不垂直于軸的直線與交于,兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.22.(10分)已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,直線與拋物線交于另一點.(1)設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為,試用表示點的橫坐標(biāo);②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時,求直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.2.D【解析】

模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結(jié)論.【詳解】;如此循環(huán)下去,當(dāng)時,,此時不滿足,循環(huán)結(jié)束,輸出的值是4.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結(jié)論.3.C【解析】

利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性,最高130分,平均成績?yōu)榈陀?30分,①錯誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步,故④不正確.故選:C.【點睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】

設(shè)點,則點,,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點,則點,,,,當(dāng)時,取最小值,最小值為.故選:A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運算,考查學(xué)生的計算能力,是基礎(chǔ)題.5.C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.6.C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù),再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,由此可求解出對應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有:種,3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有:,共種,所以目標(biāo)事件的概率.故選:C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合,涉及到背景文化知識,難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析;當(dāng)情況數(shù)較多時,可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.7.B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù),即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因為,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】

由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.9.C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.10.B【解析】

由,進而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù),令二者之和等于,可求出實數(shù)的值.【詳解】由,則展開式中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為,二者的系數(shù)之和為,得.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點,根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點,因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因為圓與直線的切點為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.12.D【解析】

先計算集合,再計算,最后計算.【詳解】解:,,.故選:.【點睛】本題主要考查了集合的交,補混合運算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由于,且,則,得,則.14.【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo),求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)動點距離的最小值問題,涉及到的知識點有點關(guān)于直線的對稱點,點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.15.【解析】

對題目所給等式進行賦值,由此求得的表達式,判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得的值.【詳解】解:,可得時,,時,,又,兩式相減可得,即,上式對也成立,可得數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,可得.【點睛】本小題主要考查已知求,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于中檔題.16.【解析】

建系,設(shè)設(shè),由可得,進一步得到的坐標(biāo),再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點,AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【點睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積,考查學(xué)生的運算求解能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)首先通過對絕對值內(nèi)式子符號的討論,將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因為函數(shù)定義域為,即恒成立,所以恒成立由單調(diào)性可知當(dāng)時,有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng),,時,等號成立【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】

(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因為,所以,所以當(dāng),即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.20.【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,可得圓心到直線的距離,再由勾股定理,計算即得.【詳解】以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,可得曲線C:()的直角坐標(biāo)方程為,表示以原點為圓心,半徑為r的圓.由直線l的方程,化簡得,則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d,則,又,即,所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.21.(1)();(2)證明見解析.【解析】

(1)設(shè)點,分別用表示、表示和余弦定理表示,將表示為、的方程,再化簡即可;(2)設(shè)直線方程代入的軌跡方程,得,設(shè)點,,,表示出直線,取,得,即可證明直線過軸上的定點.【詳解】(1)設(shè),由已知,∴,∴(),化簡得點的軌跡的方程為:();(2)由(1)知,過點的直線的斜率為0時與無交點,不合題意故可設(shè)直線的方程為:(),代入的方程得:.設(shè),,則,,.∴直線:.令,得.直線過軸上的定點.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求定點問題,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.22.(1)證明見解析;(2)①;②.【解析】

(1)設(shè)過的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達定理表示出,化簡即可;(2)由(1)知點在軸上

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