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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為82.在三角形中,,,求()A. B. C. D.3.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.4.已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.5.在中,,,,若,則實數(shù)()A. B. C. D.6.將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.7.將函數(shù)的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度,若所得到的兩個圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.409.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合;②雙曲線E與過點的冪函數(shù)的圖象交于點Q,且該冪函數(shù)在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點.則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.10.已知點為雙曲線的右焦點,直線與雙曲線交于A,B兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.11.已知點是雙曲線上一點,若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.212.甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說:“我沒抓到.”乙說:“丙抓到了.”丙說:“丁抓到了”丁說:“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話,根據(jù)他們的說法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,圓,直線PM,PN分別與圓O相切,切點為M,N,若,則的最小值為________.14.已知橢圓Г:,F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點,A為橢圓Г的上頂點,延長AF2交橢圓Г于點B,若為等腰三角形,則橢圓Г的離心率為___________.15.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在和兩處取得極值,且,則實數(shù)的取值范圍是______.16.已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復數(shù)的實部為____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡是否有關?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)18.(12分)設函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設為的三個內(nèi)角,若,求的值;19.(12分)已知橢圓:的離心率為,右焦點為拋物線的焦點.(1)求橢圓的標準方程;(2)為坐標原點,過作兩條射線,分別交橢圓于、兩點,若、斜率之積為,求證:的面積為定值.20.(12分)已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關于點對稱.(1)求和的標準方程;(2)過點的直線與交于,與交于,求證:.21.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點的直線交橢圓于、兩點,若,在線段上取點,使,求證:點在定直線上.22.(10分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關系,可判斷二者平均數(shù)的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.2.A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用,考查計算能力,屬于中等題.3.C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計算.【詳解】由可得,因為,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵.4.C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域,計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線的斜率為,直線的斜率為,所以兩直線垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力,屬于??碱}.5.D【解析】

將、用、表示,再代入中計算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用,涉及到向量的線性運算,是一道中檔題.6.D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一,經(jīng)??疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn),在復習時要注意基礎知識的理解與落實.三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵,在函數(shù)解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.7.B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后,所得的兩個圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當時,最小值為,故選B.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關系,屬于簡單題目.8.B【解析】

,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.9.B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數(shù)為,設出切點通過導數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點為,F(xiàn)關于原點的對稱點;,,所以,,設,則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.10.D【解析】

設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設,得,求出的值,即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設,則,又.故,所以.故選:D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11.A【解析】

設點的坐標為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關鍵,屬于中檔題.12.A【解析】

可采用假設法進行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設甲:我沒有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜]有抓到就是真的,與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的;假設甲:我沒有抓到是假的,那么?。何覜]有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點睛】本題主要考查了合情推理及其應用,其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由可知R為中點,設,由過切點的切線方程即可求得,,代入,,則在直線上,即可得方程為,將,代入化簡可得,則直線過定點,由則點在以為直徑的圓上,則.即可求得.【詳解】如圖,由可知R為MN的中點,所以,,設,則切線PM的方程為,即,同理可得,因為PM,PN都過,所以,,所以在直線上,從而直線MN方程為,因為,所以,即直線MN方程為,所以直線MN過定點,所以R在以OQ為直徑的圓上,所以.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系,考查圓的切線方程,定點和圓上動點距離的最值問題,考查學生的數(shù)形結(jié)合能力和計算能力,難度較難.14.【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊,設,由題可得的長,在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的關系,從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖,若為等腰三角形,則|BF1|=|AB|.設|BF2|=t,則|BF1|=2a?t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,設∠BAO=θ,則∠BAF1=2θ,所以Г的離心率e=,結(jié)合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案為:.【點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應用,屬于中檔題.15.【解析】

先將函數(shù)在和兩處取得極值,轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實根,且,再令,將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點,且橫坐標滿足,用導數(shù)方法研究單調(diào)性,作出簡圖,求出時,的值,進而可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,又函數(shù)在和兩處取得極值,所以是方程的兩不等實根,且,即有兩不等實根,且,令,則直線與曲線有兩交點,且交點橫坐標滿足,又,由得,所以,當時,,即函數(shù)在上單調(diào)遞增;當,時,,即函數(shù)在和上單調(diào)遞減;當時,由得,此時,因此,由得.故答案為【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用,已知函數(shù)極值點間的關系求參數(shù)的問題,通常需要將函數(shù)極值點,轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應方程的根,再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點的問題來處理,屬于??碱}型.16.【解析】

利用復數(shù)的概念與復數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】,所以復數(shù)的實部為2.故答案為:2【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生的基本計算能力,是一道基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡有關;(2)分布列見解析,期望為.【解析】

(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡有關.(2)首先確定的取值,求出相應的概率,可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡有關.(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎勵的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進行判斷,另外,離散型隨機變量的分布列,在求解的過程中,注意變量的取值以及對應的概率要計算正確,注意離散型隨機變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.18.(1)(2)【解析】

(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因為在中,,所以,所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,19.(1);(2)見解析【解析】

(1)由條件可得,再根據(jù)離心率可求得,則可得橢圓方程;(2)當與軸垂直時,設直線的方程為:,與橢圓聯(lián)立求得的坐標,通過、斜率之積為列方程可得的值,進而可得的面積;當與軸不垂直時,設,,的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理和、斜率之積為可得,再利用弦長公式求出,以及到的距離,通過三角形的面積公式求解.【詳解】(1)拋物線的焦點為,,,,,,橢圓方程為;(2)(?。┊斉c軸垂直時,設直線的方程為:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)當與軸不垂直時,設,,的方程為由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距離綜上:為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,考查直線和橢圓的位置關系,考查韋達定理的應用,考查了學生的計算能力,是中檔題.20.(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設的標準方程為,由題意可設.結(jié)合中點坐標公式計算可得的標準方程為.半徑,則的標準方程為.(2)設的斜率為,則其方程為,由弦長公式可得.聯(lián)立直線與拋物線的方程有.設,利用韋達定理結(jié)合弦長公式可得.則.即.詳解:(1)設的標準方程為,則.已知在直線上,故可設.因為關于對稱,所以解得所以的標準方程為.因為與軸相切,故半徑,所以的標準方程為.(2)設的斜率為

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