黑龍江省佳木斯市湯原高中2021-2022學年高三第三次測評數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，當時，（）A． B． C． D．2．已知是定義在上的奇函數，且當時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．3．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．54．已知P是雙曲線漸近線上一點，，是雙曲線的左、右焦點，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數列，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．設、分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（）A． B．0 C．1 D．36．已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．847．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．28．已知函數的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．9．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+111．某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為，設地球半徑為，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為（）A． B．C． D．12．在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則__________.14．角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點P（1，2），則sin（π﹣α）的值是_____．15．設等差數列的前項和為，若，，則______，的最大值是______.16．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內切圓面積的最大值是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足且（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.18．（12分）如圖，在矩形中，，，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數.（1）當時.①求函數在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當時，設，(為自然對數的底數)，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，求實數的取值范圍．22．（10分）在中，．（1）求的值；（2）點為邊上的動點（不與點重合），設，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據向量的坐標運算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數關系，屬于中檔題.2．B【解析】

利用函數奇偶性可求得在時的解析式和，進而構造出不等式求得結果.【詳解】為定義在上的奇函數，.當時，，，為奇函數，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點睛】本題考查函數奇偶性的應用，涉及到利用函數奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯點是忽略奇函數在處有意義時，的情況.3．D【解析】

根據雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.4．B【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設出的坐標，由題意求得，運用直線的斜率公式可得，，，再由等差數列中項性質和離心率公式，計算可得所求值．【詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線交于，可得，可取，則，設，，則，，，由，，成等差數列，可得，化為，即，可得，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5．C【解析】

先根據奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳驗?、分別是定義在上的奇函數和偶函數，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C?！军c睛】本題主要考查函數性質奇偶性的應用。6．D【解析】

利用等差數列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.7．A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．8．A【解析】

畫出函數的圖像，函數對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.9．D【解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F1（0，），F2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．10．B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.11．A【解析】

由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，結合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長半軸），設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關鍵，屬于中檔題.12．C【解析】

根據題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理問題，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數公式可得，兩邊平方，由同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式即可計算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．14．【解析】

計算sinα，再利用誘導公式計算得到答案.【詳解】由題意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數定義，誘導公式，意在考查學生的計算能力.15．【解析】

利用等差數列前項和公式，列出方程組，求出首項和公差的值，利用等差數列的通項公式可求出數列的通項公式，可求出的表達式，然后利用雙勾函數的單調性可求出的最大值.【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，所以，數列的通項公式為；（2），，令，則且，，由雙勾函數的單調性可知，函數在時單調遞減，在時單調遞增，當或時，取得最大值為.故答案為：；.【點睛】本題考查等差數列的通項公式、前項和的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．16．【解析】令直線：，與橢圓方程聯立消去得，可設，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內切圓半徑，其面積最大值為．故本題應填．點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(１)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法．(２)代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，求函數最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數的單調性法等．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）根據已知可得數列為等比數列，即可求解；（2）由（1）可得為等比數列，根據等比數列和等差數列的前項和公式，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又所以數列為等比數列，且首項為，公比為.故（2）由（1）知，所以所以【點睛】本題考查等比數列的定義及通項公式、等差數列和等比數列的前項和，屬于基礎題.18．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計算，再計算．【詳解】解：（Ⅰ）因為，，，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）過作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因為，，，所以，從而.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．19．（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據面面垂直的性質得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設，利用椎體的體積公式求得，利用導數研究函數的單調性，從而求得時，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以.因為，所以，所以，因為，所以平面.（2）解：設，則，四面體的體積.，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.故當時，四面體的體積取得最大值.以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的性質，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過程中，注意巧用導數求解體積的最大值.20．（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時，，，利用導數的幾何意義能求出函數在處的切線方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數在區(qū)間，上不單調，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線方程為.②，.令，則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當時，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減∵，，所以，函數在上的值域為.因為，，故，，①此時，當變化時、的變化情況如下：—0+單調減最小值單調增∵，，∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，使得成立，當且僅當滿足下列條件，即令，，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立.【點睛】本題考查了導數的幾何意義、應用導數研究函數的單調性、求函數最值問題，會利用導函數的正負確定函數的單調性，會根據函數的增減性求出閉區(qū)間上函數的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件．不等式恒成立常轉化為函數最值問題解決．21．(1)(2)當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為．【解析】

（1）當時，分類討論把不等式化為等價不等式組，即可求解．(2)由絕對值的三角不等式，可得，當且僅當時，取“”，分類討論，即可求解．【詳解】（1）當時，，不等式可化為或或，解得不等式的解集為．